壓氣機特性曲線精確分步擬合方法研究

房友龍，劉東風，賀 星，余良武，鄧志明

(1.海軍工程大學動力工程學院，武漢430033；2.中國人民解放軍91663部隊，山東青島266012；3.海軍士官學校機電系，安徽蚌埠233012)

1 引言

燃氣輪機部件特性是進行熱力計算和性能評估的基礎(chǔ)，部件特性的精度，特別是壓氣機特性的精度，對燃氣輪機性能計算結(jié)果有較大影響。通常，部件特性曲線是在昂貴的裝備測試中獲得，往往是有限、離散的平面曲線簇的形式，其中的信息不能滿足性能計算的需要，還常常需要采用擬合[1-3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4-5]和插值等方法予以進一步處理。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是隱式內(nèi)部知識表達形式，且往往泛化能力不足。插值法是用網(wǎng)格離散壓氣機特性圖上的等轉(zhuǎn)速線和等效率線，將得到的數(shù)據(jù)用數(shù)據(jù)表的形式存儲在計算機中進行二維插值求解的方法，其缺陷是當插值點不在網(wǎng)格節(jié)點上時計算要經(jīng)過多次插值才能完成，導致計算量增大、精度降低[6]。擬合有多項式分步擬合[1]和橢圓分步擬合[3]等方法，可以任意精度逼近非線性函數(shù)，但擬合階次過高會產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象，以致泛化能力不足。賀星等[6]基于改進Levenberg_Marqardt算法對燃氣輪機低壓壓氣機特性進行擬合優(yōu)化，趙雄飛等[7]提出以殘差平方和等5個統(tǒng)計學檢驗指標來確定燃氣輪機部件特性方程的最佳擬合次數(shù)，劉喜超[8]提出偏最小二乘方法擬合曲線，涂環(huán)[9]提出基于Kriging算法的壓氣機特性建模，Yang等[10]提出一種利用橢圓坐標縮放、變換和旋轉(zhuǎn)的擬合方法。

文獻[1]采用最小二乘法，分兩步擬合，兩步擬合中間要進行坐標變換，但文中對坐標變換的參數(shù)選取方法闡述不夠明確，僅說明變換參數(shù)取值應使得變換后的各等速線有效流量段相同，對如何保證沒有說明。本文在文獻[1]、[6]、[7]的基礎(chǔ)上，擬改進坐標變換方法，進一步探究擬合中坐標變換的意義，以及第二步系數(shù)擬合中牛頓插值法和最小二乘法的適用情形，并用多個指標對擬合結(jié)果進行評估，給出擬合階次的選取方法。

2 特性曲線分步擬合方法

以高壓壓氣機流量擬合為例進行說明。先對壓比進行坐標變換，由于不同轉(zhuǎn)速下的變換參數(shù)是變化的，故變換參數(shù)先對轉(zhuǎn)速進行擬合；在不同轉(zhuǎn)速下，流量對坐標變換后的壓比進行多項式擬合；擬合系數(shù)再對轉(zhuǎn)速進行多項式擬合。具體如下：

(1)在等折合轉(zhuǎn)速特性曲線右側(cè)劃一條曲線作為流量阻塞線，在流量阻塞線和左側(cè)的喘振線間的各等折合轉(zhuǎn)速線上，均取樣本點若干。

(2)壓比坐標變換。

一般情況下，p和q取低階，不大于3。

(3) 在不同折合轉(zhuǎn)速下，折合流量對π′HC進行r階多項式擬合。

式中：下標i表示不同的折合轉(zhuǎn)速。

(4)系數(shù)Sj,i( j =0,1,…,r)對折合轉(zhuǎn)速進行第二步擬合。

對于等效率線，參考文獻[11]的方法，將擬合區(qū)域分為兩部分：連接每條等效率閉合線的凸點劃出一條依據(jù)線，將擬合區(qū)域分為上半部分和下半部分，分別采用步驟(2)至(4)進行多項式擬合。

關(guān)于坐標變換的意義，除文獻[1]中所述使變換后的各等速線的壓比段大致相同(約為-0.5～0.5，文獻[1]中是流量段相同)，保證所有擬合用數(shù)據(jù)點都在有效擬合區(qū)內(nèi)外，筆者認為還有比較重要的一點是，坐標變換改變了折合流量對壓比的擬合系數(shù)在不同轉(zhuǎn)速下的變化規(guī)律，使其接近線性變化，使得系數(shù)的第二步擬合精度提高。

由于擬合區(qū)域越大精度越低，故在保證計算需要的前提下應盡量減少擬合的轉(zhuǎn)速范圍和各等轉(zhuǎn)速線的壓比或流量范圍。如需擬合的等轉(zhuǎn)速線的條數(shù)過多使擬合精度降低，可以分兩個或多個轉(zhuǎn)速區(qū)分別進行擬合。

3 評價指標

文獻[7]所列的5個評價指標中，殘差平方和與均方誤差一致，本文選取下列指標評價擬合效果。

(1)相對誤差RE

式中：yi為樣本值，y?i為擬合值。RE絕對值越小，擬合效果越好。

(2)均方誤差根RMSE

式中：n為擬合時各等折合轉(zhuǎn)速線上選取的工況點的個數(shù)，m取1。RMSE越接近0，擬合效果越好。

(3)復相關(guān)系數(shù)R2

(4)檢驗指標Q1

(5)檢驗指標Q2

4 壓氣機流量特性擬合實例

4.1 未經(jīng)坐標變換的高壓壓氣機流量特性兩步擬合

在各等折合轉(zhuǎn)速下，第一步，高壓壓氣機折合流量對壓比進行三次多項式(即r取3)最小二乘擬合。未進行坐標變換，將折合流量對壓比的擬合系數(shù)對轉(zhuǎn)速進行第二步擬合，同樣用三次多項式(即tj均取3)，結(jié)果見圖1。高壓壓氣機流量特性兩步擬合曲線見圖 2，圖中同時顯示了 1.020(0表示額定折合轉(zhuǎn)速)等轉(zhuǎn)速線的流量特性擬合結(jié)果。圖中0.950和0.980等轉(zhuǎn)速線擬合誤差較大，1.020等轉(zhuǎn)速線不符合曲線簇形狀。可見未進行坐標變換的兩步擬合誤差較大，且泛化能力差。其原因是圖1所示的折合流量對壓比的擬合系數(shù)在不同轉(zhuǎn)速下變化不規(guī)律，系數(shù)的第二步擬合誤差過大。

圖1 未進行坐標變換時高壓壓氣機折合流量對壓比的多項式擬合系數(shù)對轉(zhuǎn)速的第二步擬合Fig.1 Polynomial coefficients second fitted with the speed which are the ones fitted of the high pressure compressor corrected flow rate with compression ratio without coordinate transformation

圖2 未進行坐標變換的高壓壓氣機流量特性兩步擬合曲線Fig.2 Two-step fitting curve of high pressure compressor flow rate without coordinate transformation

4.2 經(jīng)坐標變換的高壓壓氣機流量特性兩步擬合

按第2節(jié)中步驟(3)和(4)進行兩步擬合，其中0.950曲線作為擬合結(jié)果驗證而未參與擬合，同時計算了1.020的流量擬合結(jié)果。表1列出了兩步擬合中不同多項式階數(shù)對應的評價指標值。表中，下標min、max分別表示其他5條等轉(zhuǎn)速線擬合結(jié)果的最小和最大值；RE 取絕對值，RE表示 0.950轉(zhuǎn)速線流量擬合的最大相對誤差；Q、Q分別表示 0.950曲線的流量擬合Q1和Q2評價指標。由表中可看出，隨著擬合階數(shù)的提高，擬合精度隨之提高，但當?shù)谝徊綌M合階數(shù)r達到3階以上時擬合的泛化能力開始變差，表現(xiàn)為 0.950和 1.020曲線變形，如圖 3所示。第二步擬合階數(shù)tj均取3階時相對誤差均較大，且Q1偏大、Q2遠離0.5，說明擬合精度不夠。tj均取5階比取4階擬合精度有上升，但提升幅度不大，且可能出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。綜上，r取2，tj取4。不同轉(zhuǎn)速下折合流量對進行二次多項式擬合，有：

表1 高壓壓氣機流量特性最小二乘擬合不同多項式階數(shù)的評價指標Table 1 Evaluation indexes of high pressure compressor flow rate fitting using the least square method with different orders

圖3 坐標變換后的高壓壓氣機流量特性兩步擬合Fig.3 Two-step fitting curve of high pressure compressor flow rate after coordinate transformation

將以上擬合系數(shù)用最小二乘法分別對轉(zhuǎn)速進行第二步擬合，結(jié)果如圖4所示，有：

圖4 坐標變換后高壓壓氣機折合流量對壓比的多項式擬合系數(shù)對轉(zhuǎn)速的第二步擬合Fig.4 Polynomial coefficients second fitted with the rotational speed which are the ones fitted of the high pressure compressor corrected flow rate with pressure ratio after coordinate transformation

由圖4可知，坐標變換后折合流量對壓比的擬合系數(shù)變換更接近線性規(guī)律，便于進一步精確擬合。故高壓壓氣機流量特性為：

坐標變換后的高壓壓氣機流量特性兩步擬合曲線見圖 5。圖中同時顯示了 0.950和 1.020等轉(zhuǎn)速線的流量特性擬合結(jié)果，可見其形狀符合等折合轉(zhuǎn)速線流量變化規(guī)律。兩步擬合的折合流量最大相對誤差在-1.8%～1.7%之間，大部分誤差在±0.5%之內(nèi)。與一步擬合后誤差相比，兩步擬合后誤差有所增加，不過在可接受范圍內(nèi)，滿足工程計算需要。

圖5 坐標變換后的高壓壓氣機流量特性兩步擬合曲線(r=2，tj=4)Fig.5 Two-step fitting curve of high pressure compressor flow rate after coordinate transformation(r=2，tj=4)

4.3 低壓壓氣機流量特性分區(qū)擬合

4.4 第二步擬合牛頓插值法與最小二乘法的選擇

圖6 坐標變換后低壓壓氣機折合流量對壓比擬合的多項式系數(shù)對折合轉(zhuǎn)速的擬合曲線Fig.6 Polynomial coefficients second fitted with the rotational speed which are the ones fitted of the low pressure compressor corrected flow rate with compression ratio after coordinate transformation

圖7 低壓壓氣機流量特性分區(qū)兩步擬合曲線Fig.7 Two-step partitions fitting curve of low pressure compressor flow rate

表2 高壓壓氣機流量特性第二步擬合最小二乘法與牛頓插值法的評價指標Table 2 Evaluation indexes of high pressure compressor flow rate fitting with least square method and Newton interpolation method in the second fitting step

擬合3條等轉(zhuǎn)速線時，第一步擬合階次r取2，第二步采用最小二乘法(tj均取2)和牛頓插值法所得擬合曲線如圖 8 所示，圖中列出 1.020和 0.950的擬合結(jié)果作為檢驗。由圖8和表2可知，需擬合的等轉(zhuǎn)速線較少的情況下，采用牛頓插值函數(shù)法與采用最小二乘法的精度相當；由0.950轉(zhuǎn)速線擬合指標相對誤差最大值等比較可知，當?shù)诙阶钚《朔ǖ碾A次為擬合等轉(zhuǎn)速線條數(shù)減1時，牛頓插值法精度略優(yōu)于最小二乘法精度，當然隨著第二步最小二乘法擬合階次的提高，最小二乘法精度會優(yōu)于牛頓插值法精度。這一結(jié)論與文獻[1]中在需擬合的等轉(zhuǎn)速線較少的情況下采用構(gòu)造插值函數(shù)法精度較高、采用最小二乘擬合誤差會加大的結(jié)論不同。

圖8 高壓壓氣機流量特性第二步牛頓插值法和最小二乘法擬合曲線(3條)Fig.8 Fitting curves of high pressure compressor flow rate with Newton interpolation method and the least square method in the second fitting step

擬合6條等轉(zhuǎn)速線的高壓壓氣機流量特性時，第一步擬合階次r取3，第二步牛頓插值法和最小二乘法(tj均取4)所得曲線如圖9所示?？梢?，當擬合的等轉(zhuǎn)速線較多時，牛頓插值法階次較高，對1.020轉(zhuǎn)速線的擬合曲線有變形，此時最小二乘法泛化能力相對較好，1.020轉(zhuǎn)速線的擬合曲線不至于失真變形。故當需擬合的等轉(zhuǎn)速線較多時牛頓插值法不適用，存在過擬合現(xiàn)象，此時要用最小二乘法。這一結(jié)論與文獻[1]中的相同。

圖9 高壓壓氣機流量特性第二步牛頓插值法和最小二乘法擬合曲線(6條)Fig.9 Fitting curves of high pressure compressor flow rate with Newton interpolation method and least square method in the second fitting step

5 結(jié)論

提出了先對壓比進行坐標變換，后折合流量或效率分兩步對壓比和折合轉(zhuǎn)速進行擬合的部件特性曲線擬合改進方法。明確了坐標變換的方法，即變換中的參數(shù)對轉(zhuǎn)速進行擬合。用多個指標對擬合結(jié)果進行了評估，給出了擬合階次選擇方法。列舉多個算例驗證了該分步擬合方法的可行性。主要結(jié)論為：

(1)坐標變換不但保證了所有擬合用數(shù)據(jù)點都在有效擬合區(qū)內(nèi)，而且還改變了折合流量或效率對壓比的擬合系數(shù)在不同轉(zhuǎn)速下的變化規(guī)律，使其接近線性變化，系數(shù)的第二步擬合精度提高。

(2)評價擬合效果除均方根誤差等指標外，更重要的是要擬合方程的泛化能力，即未知曲線應符合一致的變化規(guī)律。

(3)在保證計算需要的前提下，應盡量減少擬合的轉(zhuǎn)速范圍和各等轉(zhuǎn)速線的壓比或流量范圍。需擬合的等轉(zhuǎn)速線條數(shù)過多時，可分兩個或多個轉(zhuǎn)速區(qū)分別進行擬合，以提高擬合精度。

(4)在第二步擬合過程中，需擬合的等轉(zhuǎn)速線條數(shù)較少時，采用牛頓插值函數(shù)法與最小二乘法的精度相當；需擬合的等轉(zhuǎn)速線條數(shù)較多時，牛頓插值法不適用，應用最小二乘法。