壓氣機(jī)特性曲線精確分步擬合方法研究

房友龍，劉東風(fēng)，賀 星，余良武，鄧志明

(1.海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院，武漢430033；2.中國人民解放軍91663部隊(duì)，山東青島266012；3.海軍士官學(xué)校機(jī)電系，安徽蚌埠233012)

1 引言

燃?xì)廨啓C(jī)部件特性是進(jìn)行熱力計(jì)算和性能評估的基礎(chǔ)，部件特性的精度，特別是壓氣機(jī)特性的精度，對燃?xì)廨啓C(jī)性能計(jì)算結(jié)果有較大影響。通常，部件特性曲線是在昂貴的裝備測試中獲得，往往是有限、離散的平面曲線簇的形式，其中的信息不能滿足性能計(jì)算的需要，還常常需要采用擬合[1-3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4-5]和插值等方法予以進(jìn)一步處理。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是隱式內(nèi)部知識表達(dá)形式，且往往泛化能力不足。插值法是用網(wǎng)格離散壓氣機(jī)特性圖上的等轉(zhuǎn)速線和等效率線，將得到的數(shù)據(jù)用數(shù)據(jù)表的形式存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行二維插值求解的方法，其缺陷是當(dāng)插值點(diǎn)不在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上時(shí)計(jì)算要經(jīng)過多次插值才能完成，導(dǎo)致計(jì)算量增大、精度降低[6]。擬合有多項(xiàng)式分步擬合[1]和橢圓分步擬合[3]等方法，可以任意精度逼近非線性函數(shù)，但擬合階次過高會(huì)產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象，以致泛化能力不足。賀星等[6]基于改進(jìn)Levenberg_Marqardt算法對燃?xì)廨啓C(jī)低壓壓氣機(jī)特性進(jìn)行擬合優(yōu)化，趙雄飛等[7]提出以殘差平方和等5個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)指標(biāo)來確定燃?xì)廨啓C(jī)部件特性方程的最佳擬合次數(shù)，劉喜超[8]提出偏最小二乘方法擬合曲線，涂環(huán)[9]提出基于Kriging算法的壓氣機(jī)特性建模，Yang等[10]提出一種利用橢圓坐標(biāo)縮放、變換和旋轉(zhuǎn)的擬合方法。

文獻(xiàn)[1]采用最小二乘法，分兩步擬合，兩步擬合中間要進(jìn)行坐標(biāo)變換，但文中對坐標(biāo)變換的參數(shù)選取方法闡述不夠明確，僅說明變換參數(shù)取值應(yīng)使得變換后的各等速線有效流量段相同，對如何保證沒有說明。本文在文獻(xiàn)[1]、[6]、[7]的基礎(chǔ)上，擬改進(jìn)坐標(biāo)變換方法，進(jìn)一步探究擬合中坐標(biāo)變換的意義，以及第二步系數(shù)擬合中牛頓插值法和最小二乘法的適用情形，并用多個(gè)指標(biāo)對擬合結(jié)果進(jìn)行評估，給出擬合階次的選取方法。

2 特性曲線分步擬合方法

以高壓壓氣機(jī)流量擬合為例進(jìn)行說明。先對壓比進(jìn)行坐標(biāo)變換，由于不同轉(zhuǎn)速下的變換參數(shù)是變化的，故變換參數(shù)先對轉(zhuǎn)速進(jìn)行擬合；在不同轉(zhuǎn)速下，流量對坐標(biāo)變換后的壓比進(jìn)行多項(xiàng)式擬合；擬合系數(shù)再對轉(zhuǎn)速進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。具體如下：

(1)在等折合轉(zhuǎn)速特性曲線右側(cè)劃一條曲線作為流量阻塞線，在流量阻塞線和左側(cè)的喘振線間的各等折合轉(zhuǎn)速線上，均取樣本點(diǎn)若干。

(2)壓比坐標(biāo)變換。

一般情況下，p和q取低階，不大于3。

(3) 在不同折合轉(zhuǎn)速下，折合流量對π′HC進(jìn)行r階多項(xiàng)式擬合。

式中：下標(biāo)i表示不同的折合轉(zhuǎn)速。

(4)系數(shù)Sj,i( j =0,1,…,r)對折合轉(zhuǎn)速進(jìn)行第二步擬合。

對于等效率線，參考文獻(xiàn)[11]的方法，將擬合區(qū)域分為兩部分：連接每條等效率閉合線的凸點(diǎn)劃出一條依據(jù)線，將擬合區(qū)域分為上半部分和下半部分，分別采用步驟(2)至(4)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。

關(guān)于坐標(biāo)變換的意義，除文獻(xiàn)[1]中所述使變換后的各等速線的壓比段大致相同(約為-0.5～0.5，文獻(xiàn)[1]中是流量段相同)，保證所有擬合用數(shù)據(jù)點(diǎn)都在有效擬合區(qū)內(nèi)外，筆者認(rèn)為還有比較重要的一點(diǎn)是，坐標(biāo)變換改變了折合流量對壓比的擬合系數(shù)在不同轉(zhuǎn)速下的變化規(guī)律，使其接近線性變化，使得系數(shù)的第二步擬合精度提高。

由于擬合區(qū)域越大精度越低，故在保證計(jì)算需要的前提下應(yīng)盡量減少擬合的轉(zhuǎn)速范圍和各等轉(zhuǎn)速線的壓比或流量范圍。如需擬合的等轉(zhuǎn)速線的條數(shù)過多使擬合精度降低，可以分兩個(gè)或多個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)分別進(jìn)行擬合。

3 評價(jià)指標(biāo)

文獻(xiàn)[7]所列的5個(gè)評價(jià)指標(biāo)中，殘差平方和與均方誤差一致，本文選取下列指標(biāo)評價(jià)擬合效果。

(1)相對誤差RE

式中：yi為樣本值，y?i為擬合值。RE絕對值越小，擬合效果越好。

(2)均方誤差根RMSE

式中：n為擬合時(shí)各等折合轉(zhuǎn)速線上選取的工況點(diǎn)的個(gè)數(shù)，m取1。RMSE越接近0，擬合效果越好。

(3)復(fù)相關(guān)系數(shù)R2

(4)檢驗(yàn)指標(biāo)Q1

(5)檢驗(yàn)指標(biāo)Q2

4 壓氣機(jī)流量特性擬合實(shí)例

4.1 未經(jīng)坐標(biāo)變換的高壓壓氣機(jī)流量特性兩步擬合

在各等折合轉(zhuǎn)速下，第一步，高壓壓氣機(jī)折合流量對壓比進(jìn)行三次多項(xiàng)式(即r取3)最小二乘擬合。未進(jìn)行坐標(biāo)變換，將折合流量對壓比的擬合系數(shù)對轉(zhuǎn)速進(jìn)行第二步擬合，同樣用三次多項(xiàng)式(即tj均取3)，結(jié)果見圖1。高壓壓氣機(jī)流量特性兩步擬合曲線見圖 2，圖中同時(shí)顯示了 1.020(0表示額定折合轉(zhuǎn)速)等轉(zhuǎn)速線的流量特性擬合結(jié)果。圖中0.950和0.980等轉(zhuǎn)速線擬合誤差較大，1.020等轉(zhuǎn)速線不符合曲線簇形狀。可見未進(jìn)行坐標(biāo)變換的兩步擬合誤差較大，且泛化能力差。其原因是圖1所示的折合流量對壓比的擬合系數(shù)在不同轉(zhuǎn)速下變化不規(guī)律，系數(shù)的第二步擬合誤差過大。

圖1 未進(jìn)行坐標(biāo)變換時(shí)高壓壓氣機(jī)折合流量對壓比的多項(xiàng)式擬合系數(shù)對轉(zhuǎn)速的第二步擬合Fig.1 Polynomial coefficients second fitted with the speed which are the ones fitted of the high pressure compressor corrected flow rate with compression ratio without coordinate transformation

圖2 未進(jìn)行坐標(biāo)變換的高壓壓氣機(jī)流量特性兩步擬合曲線Fig.2 Two-step fitting curve of high pressure compressor flow rate without coordinate transformation

4.2 經(jīng)坐標(biāo)變換的高壓壓氣機(jī)流量特性兩步擬合

按第2節(jié)中步驟(3)和(4)進(jìn)行兩步擬合，其中0.950曲線作為擬合結(jié)果驗(yàn)證而未參與擬合，同時(shí)計(jì)算了1.020的流量擬合結(jié)果。表1列出了兩步擬合中不同多項(xiàng)式階數(shù)對應(yīng)的評價(jià)指標(biāo)值。表中，下標(biāo)min、max分別表示其他5條等轉(zhuǎn)速線擬合結(jié)果的最小和最大值；RE 取絕對值，RE表示 0.950轉(zhuǎn)速線流量擬合的最大相對誤差；Q、Q分別表示 0.950曲線的流量擬合Q1和Q2評價(jià)指標(biāo)。由表中可看出，隨著擬合階數(shù)的提高，擬合精度隨之提高，但當(dāng)?shù)谝徊綌M合階數(shù)r達(dá)到3階以上時(shí)擬合的泛化能力開始變差，表現(xiàn)為 0.950和 1.020曲線變形，如圖 3所示。第二步擬合階數(shù)tj均取3階時(shí)相對誤差均較大，且Q1偏大、Q2遠(yuǎn)離0.5，說明擬合精度不夠。tj均取5階比取4階擬合精度有上升，但提升幅度不大，且可能出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。綜上，r取2，tj取4。不同轉(zhuǎn)速下折合流量對進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，有：

表1 高壓壓氣機(jī)流量特性最小二乘擬合不同多項(xiàng)式階數(shù)的評價(jià)指標(biāo)Table 1 Evaluation indexes of high pressure compressor flow rate fitting using the least square method with different orders

圖3 坐標(biāo)變換后的高壓壓氣機(jī)流量特性兩步擬合Fig.3 Two-step fitting curve of high pressure compressor flow rate after coordinate transformation

將以上擬合系數(shù)用最小二乘法分別對轉(zhuǎn)速進(jìn)行第二步擬合，結(jié)果如圖4所示，有：

圖4 坐標(biāo)變換后高壓壓氣機(jī)折合流量對壓比的多項(xiàng)式擬合系數(shù)對轉(zhuǎn)速的第二步擬合Fig.4 Polynomial coefficients second fitted with the rotational speed which are the ones fitted of the high pressure compressor corrected flow rate with pressure ratio after coordinate transformation

由圖4可知，坐標(biāo)變換后折合流量對壓比的擬合系數(shù)變換更接近線性規(guī)律，便于進(jìn)一步精確擬合。故高壓壓氣機(jī)流量特性為：

坐標(biāo)變換后的高壓壓氣機(jī)流量特性兩步擬合曲線見圖 5。圖中同時(shí)顯示了 0.950和 1.020等轉(zhuǎn)速線的流量特性擬合結(jié)果，可見其形狀符合等折合轉(zhuǎn)速線流量變化規(guī)律。兩步擬合的折合流量最大相對誤差在-1.8%～1.7%之間，大部分誤差在±0.5%之內(nèi)。與一步擬合后誤差相比，兩步擬合后誤差有所增加，不過在可接受范圍內(nèi)，滿足工程計(jì)算需要。

圖5 坐標(biāo)變換后的高壓壓氣機(jī)流量特性兩步擬合曲線(r=2，tj=4)Fig.5 Two-step fitting curve of high pressure compressor flow rate after coordinate transformation(r=2，tj=4)

4.3 低壓壓氣機(jī)流量特性分區(qū)擬合

4.4 第二步擬合牛頓插值法與最小二乘法的選擇

圖6 坐標(biāo)變換后低壓壓氣機(jī)折合流量對壓比擬合的多項(xiàng)式系數(shù)對折合轉(zhuǎn)速的擬合曲線Fig.6 Polynomial coefficients second fitted with the rotational speed which are the ones fitted of the low pressure compressor corrected flow rate with compression ratio after coordinate transformation

圖7 低壓壓氣機(jī)流量特性分區(qū)兩步擬合曲線Fig.7 Two-step partitions fitting curve of low pressure compressor flow rate

表2 高壓壓氣機(jī)流量特性第二步擬合最小二乘法與牛頓插值法的評價(jià)指標(biāo)Table 2 Evaluation indexes of high pressure compressor flow rate fitting with least square method and Newton interpolation method in the second fitting step

擬合3條等轉(zhuǎn)速線時(shí)，第一步擬合階次r取2，第二步采用最小二乘法(tj均取2)和牛頓插值法所得擬合曲線如圖 8 所示，圖中列出 1.020和 0.950的擬合結(jié)果作為檢驗(yàn)。由圖8和表2可知，需擬合的等轉(zhuǎn)速線較少的情況下，采用牛頓插值函數(shù)法與采用最小二乘法的精度相當(dāng)；由0.950轉(zhuǎn)速線擬合指標(biāo)相對誤差最大值等比較可知，當(dāng)?shù)诙阶钚《朔ǖ碾A次為擬合等轉(zhuǎn)速線條數(shù)減1時(shí)，牛頓插值法精度略優(yōu)于最小二乘法精度，當(dāng)然隨著第二步最小二乘法擬合階次的提高，最小二乘法精度會(huì)優(yōu)于牛頓插值法精度。這一結(jié)論與文獻(xiàn)[1]中在需擬合的等轉(zhuǎn)速線較少的情況下采用構(gòu)造插值函數(shù)法精度較高、采用最小二乘擬合誤差會(huì)加大的結(jié)論不同。

圖8 高壓壓氣機(jī)流量特性第二步牛頓插值法和最小二乘法擬合曲線(3條)Fig.8 Fitting curves of high pressure compressor flow rate with Newton interpolation method and the least square method in the second fitting step

擬合6條等轉(zhuǎn)速線的高壓壓氣機(jī)流量特性時(shí)，第一步擬合階次r取3，第二步牛頓插值法和最小二乘法(tj均取4)所得曲線如圖9所示?？梢姡?dāng)擬合的等轉(zhuǎn)速線較多時(shí)，牛頓插值法階次較高，對1.020轉(zhuǎn)速線的擬合曲線有變形，此時(shí)最小二乘法泛化能力相對較好，1.020轉(zhuǎn)速線的擬合曲線不至于失真變形。故當(dāng)需擬合的等轉(zhuǎn)速線較多時(shí)牛頓插值法不適用，存在過擬合現(xiàn)象，此時(shí)要用最小二乘法。這一結(jié)論與文獻(xiàn)[1]中的相同。

圖9 高壓壓氣機(jī)流量特性第二步牛頓插值法和最小二乘法擬合曲線(6條)Fig.9 Fitting curves of high pressure compressor flow rate with Newton interpolation method and least square method in the second fitting step

5 結(jié)論

提出了先對壓比進(jìn)行坐標(biāo)變換，后折合流量或效率分兩步對壓比和折合轉(zhuǎn)速進(jìn)行擬合的部件特性曲線擬合改進(jìn)方法。明確了坐標(biāo)變換的方法，即變換中的參數(shù)對轉(zhuǎn)速進(jìn)行擬合。用多個(gè)指標(biāo)對擬合結(jié)果進(jìn)行了評估，給出了擬合階次選擇方法。列舉多個(gè)算例驗(yàn)證了該分步擬合方法的可行性。主要結(jié)論為：

(1)坐標(biāo)變換不但保證了所有擬合用數(shù)據(jù)點(diǎn)都在有效擬合區(qū)內(nèi)，而且還改變了折合流量或效率對壓比的擬合系數(shù)在不同轉(zhuǎn)速下的變化規(guī)律，使其接近線性變化，系數(shù)的第二步擬合精度提高。

(2)評價(jià)擬合效果除均方根誤差等指標(biāo)外，更重要的是要擬合方程的泛化能力，即未知曲線應(yīng)符合一致的變化規(guī)律。

(3)在保證計(jì)算需要的前提下，應(yīng)盡量減少擬合的轉(zhuǎn)速范圍和各等轉(zhuǎn)速線的壓比或流量范圍。需擬合的等轉(zhuǎn)速線條數(shù)過多時(shí)，可分兩個(gè)或多個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)分別進(jìn)行擬合，以提高擬合精度。

(4)在第二步擬合過程中，需擬合的等轉(zhuǎn)速線條數(shù)較少時(shí)，采用牛頓插值函數(shù)法與最小二乘法的精度相當(dāng)；需擬合的等轉(zhuǎn)速線條數(shù)較多時(shí)，牛頓插值法不適用，應(yīng)用最小二乘法。