關(guān)于四元數(shù)系數(shù)多項式特殊根的研究

姜蓮霞

（喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 新疆 喀什 844000）

近年來，有關(guān)四元數(shù)系數(shù)多項式求根方法的研究引起國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注，并取得可喜成果[1-7]，如文獻[8]給出了求四元數(shù)系數(shù)多項式純虛數(shù)四元根的一種方法；文獻[9]討論了四元數(shù)系數(shù)多項式有某些特殊根的充分必要條件；文獻[10]給出了畢達哥拉斯運動曲線可由次數(shù)較低的另一條曲線生成的充分必要條件是其生成四元數(shù)系數(shù)多項式有一個復(fù)根.

經(jīng)典的Sturm算法是確定常系數(shù)多項式實根個數(shù)的一種有效方法[11]，但對于具有符號系數(shù)的多項式，該算法極不方便. 參數(shù)多項式完全根的分類已應(yīng)用于多問題的研究中，并建立了多種方法[12-16]. 而對四元數(shù)系數(shù)多項式

的根進行計數(shù)和分類卻未發(fā)現(xiàn)類似結(jié)果， H表示實四元數(shù)體.

本文通過構(gòu)造從四元數(shù)系數(shù)多項式 Q(t)根的集合到由 Q(t)確定的某些實(復(fù))多項式的實(復(fù))根集合的一個雙射，來確定 Q(t)的球形根、實根、孤立復(fù)根、純虛數(shù)四元根，以及在或中根的集合.結(jié)果表明，實(復(fù))系數(shù)多項式根的計數(shù)和分類適用于四元數(shù)系數(shù)多項式的根.

1 四元數(shù)

R、C 分別表示實數(shù)域和復(fù)數(shù)域，實四元數(shù)體 H中的元素形如q=x0+x1i+x2j+x3k，其中x0,x1,x2,x3∈R.q的共軛定義為=x0-x1i-x2j-x3k，q的實部和虛部分別為 Re q=x0和Imq=x1i+x2j+x3k.若Req=0，則稱q 是純虛數(shù)四元數(shù)；q的范數(shù)|q|定義為數(shù)量

對兩個四元數(shù)q 和q′，若使 得q′=wqw-1，則稱它們等價，記作q～q′.顯然，q～q′?Req=Req′且|q|=|q′|.q的等價類集合為

文獻[13]指出，每個 [q] 恰√好包含復(fù)數(shù)z=x0+和其共軛

設(shè)H[t]是H上變量t的 多項式環(huán). 每個f(t)∈H[t]可寫成f(t)=a0tn+a1tn-1+···+an，其中n∈Z+，a0,···,且a0≠0.對，定義f(t)在q處的值為

一般地，f(t)不是H[t]到H的環(huán)同態(tài).若f(q)=0，則稱四元數(shù)q 是f(t)的零點或根.

設(shè)q是 f(t)的一個根.若q不是實數(shù)且對?z∈[q]，有 f(z)=0，則稱q生成一個球形根，簡稱q 是球形根；若q是實數(shù)或不能生成球形根，則稱它為孤立根；若等價類中有兩個元素均為 f(t)的根，則該等價類中的所有元素都是f(t)的根[3]. 由于每個等價類恰好包含復(fù)數(shù)z和其共軛z，所以由 f(t)根 的復(fù)數(shù)對{z,z}可確定f(t)的所有球形根.

2 純虛數(shù)四元數(shù)根

設(shè)Q(t)=antn+an-1tn-1+···+a0.當(dāng)n 為奇數(shù)時，令；當(dāng)n為偶數(shù)時，令h(t)=. 再設(shè)gi(t),hi(t)∈R[t],(i=1,2,3,4)使得g(t)=g1(t)+g2(t)i+g3(t)j+g4(t)k，h(t)=h1(t)+h2(t)i+h3(t)j+h4(t)k.用 E(t)表 示多項式g1(t),···,g4(t),h1(t),···,h4(t)的最大公因式. 考慮多項式

若令L (t)=gcd(F(t),G(t))， 則E (t)|L(t).

和

均是雙射.

證明 設(shè)x=x1i+x2j+x3k≠0是Q(t)的一個純虛數(shù)四元根，則.令有 x2=-N.因此，Q(x)=0意味著g(N)x+h(N)=0.進一步，因為x≠0，所以g(N)=0?h(N)=0.假設(shè) x定義了Q(t)的一個球形根，則?y∈[x]都有Q(y)=0. 因y 是滿足|x|=|y|的 純虛數(shù)四元數(shù)，故y2=-|y|2=-|x|2=x2≠0.于是，對?y∈[x]有g(shù)(N)y=-h(N).從而，g(N)=h(N)=0 . 又因 N 是實數(shù)，且E (N)=0，故N∈ε.反過來，若，則g(N)=h(N)=0. 因此，對每個純虛數(shù)四元數(shù)x，其中√，都有Q(x)=g(N)x+h(N)=0.于是，[x]是 Q(t)的一個球形根. 綜上可知，σ 是雙射.

因E(t)|F(t),G(t)，故E(t)|L(t). 設(shè)L(t)≠E(t) ，x是Q(t) 的滿足g (N)h(N)≠0的孤立純虛數(shù)四元數(shù)根. 于是，有g(shù)(N)x+h(N)=0，從而|g(N)|2|x|2=|h(N)|2. 所以，N 是F(t)的一個根. 此外，|g(N)|2. 又因Rex=0，故G (N)=0. 因此，N是L(t)的一個正實根，即N∈L.反過來，設(shè)N∈L，|g(N)|2. 因G(N)=0，故Rex=0.此外，由于 N 是F (t)的一個根，故.從而，x是純虛數(shù)四元數(shù)且x2=-|x|2=-N ，Q(x)=g(N)x+h(N)=0. 綜上可知，τ是雙射.

推論1 Q(t)球形 根的數(shù)量等于E(t)正根的數(shù)量，同時，Q(t)的孤立純虛數(shù)四元數(shù)根的數(shù)量等于L(t)的正根(非E(t)的根)數(shù)量.

推論2 設(shè)l1,···,lv是 L(t)的滿足g(li)h(li)≠0,(i=1,···,v)的正實根. 于是，四元數(shù)qi=-g-1(li)h(li),(i=1,···,v) 均為 Q(t)的孤立純虛數(shù)四元數(shù)根.

證明 因映射τ是雙射，故 L(t)的 根(也是E (t)的根)ρ滿足g(ρ)=h(ρ)=0，而其他的根則滿足g(ρ)≠0和 h(ρ)≠0.因此，這些根ρ生成Q(t)的孤立純虛數(shù)四元數(shù)根g-1(ρ)h(ρ).

3 球形根和中的根

設(shè)Q(t)∈H[t]C[t]且 deg(Q(t))≥1是首1多項式. 記

定理2 1) Q(t)的 實根集合與Δ (t)的實根集合相同；

2) Q(t)的球形根可由Δ(t)的一對共軛復(fù)根表示；

3) Q(t)的孤立復(fù)根集合與Λ(t)的根集合相同.

證明 1) 設(shè)x∈R.由Q(x)=0 ?f1(x)= f2(x)=g1(x)=g2(x)=0，即Δ(x)=0可知Q(t)的實根集與Δ(t)的實根集相同.

2) 設(shè)z∈C，由Q(t)= f(t)+kg(t) 可知Q(z)=0 ?f(z)+kg(z)=0，即f(z)=g(z)=0.假設(shè)Q(t)有一個球形根q，令z和z是q的等價類中唯一的一對共軛復(fù)數(shù)，則，即有且.由此可見，實系數(shù)多項式整除 f(z)和 g (z). 進而，整除多項式f1(t),f2(t),g1(t),g2(t).因此，z和z是Δ(t)的一對共軛復(fù)根.反過來，假設(shè)z和是Δ(t)的一對共軛復(fù)根.于是，z和z是f(t)和g(t)的根，進而是Q(t)的根. 因此，z 是Q(t)的一個球形根.可見，由Q(t)的球形根到Δ(t)的一對共軛復(fù)根之間存在一個雙射.

3) 記Q(t)= f～(t)+ig～(t). 同理可證所要的結(jié)果.

4 應(yīng)用舉例

例1 求多項式P(t)=t3+(2+k)t+i-j的純虛數(shù)四元數(shù)根.

解:沿用第3節(jié)的符號，g(t)=-t+2+k，h(t)=ij.于是，g1(t)=-t+2，g2(t)=g3(t)=0，g4(t)=1，h1(t)=h4(t)=0， h2(t)=1，h3(t)=-1，則它們的最大公因式E(t)=1.因此，P(t)無球形的純虛數(shù)四元數(shù)根. 又多項式F(t)=((-t+2)2+1)t-(1+1)=t3-4t2+5t-2， G(t)=0.

于是，L(t)=gcd(F(t)，G(t))=t3-4t2+5t-2 . L(t)的實根為1 和2. 通過計算可得-g-1(1)h(1)=-(1+k)-1(i-j)= j，-g-1(2)h(2)=-k-1(i-j)= j+i. 因此，由推論2可知P (t)的 孤立的純虛數(shù)四元數(shù)根是j和i+j.

例2 求多項式Q(t)=t6+jt5+it4-t2-jt-i的根.

解:沿用第4節(jié)的符號，f1(t)=t6-t2，f2(t)=t4-1，g1(t)=t5-t ，g2(t)=0.于是，Δ(t)=gcd(f1(t),f2(t),g1(t),g2(t))=t4-1.由定理2，Q(t)有 實根± 1，一對共軛復(fù)根t3=(1-i-j-k)/2,t4=(-1+i-j-k)/2和一個由t5=i生成的球形根.

例3 求多項式R(t)=t4-(2+k)t3+(3+j+2k)t2-2(1+j+k)t+2(1+j)的根.

解: 沿用第4節(jié)的符號，記R(t)= f(t)+kg(t)，其中f(t) = t4-2t3+3t2-2t+2 ，g(t) =-t3+(2+i)t2-2(1+i)t+2i. 于是，

Δ(t)的共軛復(fù)根為1±i，其生成了R (t)的一個球形根. 因Λ(t)=E(t)/Δ(t)=t-i，故i是 R (t)的孤立復(fù)根.

沿用第3節(jié)的符號， g(t)=-2+2t-2 j+(-2+t)k，h(t)=2-3t+t2+(2-t)j-2tk . 于是，F(xiàn)(t)=28t-30t2+11t3-8-t4， G(t)=-4t+6t2-2t3. 于是，L(t)=gcd(F(t),G(t))=t2-3t+2=(t-1)(t-2)， -g-1(1)h(1)=i,-g-1(2)h(2)=k+i.因此，多項式 R(t)無其他根.

綜上可知，R (t) 的孤立復(fù)根為i，純虛數(shù)四元數(shù)根為i +k ，球形根為1 +i.