北斗空間信號誤差統(tǒng)計特征及描述方法研究

馮 帥，李 亮，程 春，劉媛媛

(哈爾濱工程大學自動化學院，哈爾濱 150001)

0 引言

衛(wèi)星導航定位技術(shù)是以衛(wèi)星技術(shù)和通信技術(shù)為基礎(chǔ)，利用導航衛(wèi)星發(fā)送導航定位信息為目標用戶提供測距和授時服務。繼美國的全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System，GPS)和俄羅斯的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System，GLONASS)之后，中國的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(BeiDou Navigation Satellite System，BDS)成為世界上第三個面向全球提供服務的衛(wèi)星導航系統(tǒng)。BDS在衛(wèi)星導航市場面臨著GPS和GLONASS的競爭與挑戰(zhàn)，系統(tǒng)的性能即成為決勝市場的關(guān)鍵。對于實時導航的用戶而言，廣播星歷是其能夠正常導航定位的前提，而廣播星歷中衛(wèi)星軌道和時鐘的精度是影響導航定位精度的重要因素[1]。

空間信號誤差(Signal-In-Space Errors，SISEs)反映的是與衛(wèi)星有關(guān)的誤差，主要由衛(wèi)星軌道和衛(wèi)星時鐘誤差組成，其大小將會影響導航用戶的定位精度及可靠性。用戶測距誤差(User Range Error，URE)是廣播星歷軌道和衛(wèi)星時鐘誤差的綜合體現(xiàn)，指在接收機到衛(wèi)星視線方向上的投影，反映了空間信號的精度，并最終影響實時導航用戶定位精度。用戶測距精度(User Range Accuracy，URA)用來描述URE的精度。Zhang等通過一個月廣播星歷的SISE統(tǒng)計分析，與武漢大學精密星歷相比，得到中地球軌道衛(wèi)星(Medium Earth Orbit，MEO)、傾斜地球同步軌道衛(wèi)星(Inclined GeoSynchronous Orbit，IGSO)和地球同步軌道衛(wèi)星(Geostationary Earth Orbit，GEO)的軌道URE值分別為0.5m、0.6～0.8m和0.9～1.8m[2]。毛亞等統(tǒng)計了廣播星歷軌道誤差1d的均方根(Root-Mean-Square，RMS)和衛(wèi)星時鐘誤差的標準差(Standard Deviation，STD)，結(jié)果表明多數(shù)衛(wèi)星時鐘誤差精度優(yōu)于10ns，軌道精度優(yōu)于5m。若URE的分布服從零均值正態(tài)分布，那么URA就可表示為URE的1-sigma界限[3]。Walter和Blanch已經(jīng)證明，GPS SIS URE的URA值為2.4m，GPS SIS URE的精度可由其URA準確描述[4]。對于BDS，Liu等通過分析2013年3月到2016年9月的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，北斗廣播星歷播發(fā)的2.0m的URA過于樂觀地描述了北斗URE的精度，能夠滿足URE 1-sigma界限的URA應為2.4m[5]。

本文利用2018年1月到6月的導航數(shù)據(jù)進行BDS空間信號誤差的統(tǒng)計特征研究，分析了影響空間信號誤差的因素，建立了北斗URE的描述方法，并驗證了廣播星歷播發(fā)的URA是否適用于BDS。

1 SISE計算

對空間信號誤差的研究主要是針對衛(wèi)星軌道誤差和衛(wèi)星時鐘誤差的研究。在利用內(nèi)插對比法進行星歷對比前，首先要統(tǒng)一時空基準，然后計算時鐘和軌道誤差。

1.1 軌道誤差

進行軌道對比時，首先要統(tǒng)一空間基準。主要包括兩部分：

1)統(tǒng)一坐標參考框架。通過比較廣播星歷和精密星歷來計算SISE，必須確保廣播星歷和精密星歷參考坐標系的一致性。北斗廣播星歷軌道參考2000國家大地坐標系(China Geodetic Coordinate System 2000，CGCS2000)，精密軌道參考IGS14坐標系(The International GNSS Service 14，IGS14)，但這2個框架相差在幾厘米之內(nèi)，對于米級的軌道誤差影響極小[6]，所以在對比過程中忽略坐標系統(tǒng)的差別。

2)校正天線相位中心。精密星歷以衛(wèi)星質(zhì)心為坐標零點，而廣播星歷以天線相位中心為零點。所以，在比較廣播星歷和精密星歷之前，通常進行天線相位中心偏移校正。修正參數(shù)來源于igs14_1949_plus.atx文件。

由于廣播星歷和精密星歷都基于地心地固坐標系(Earth-Centered，Earth-Fixed，ECEF)，而本文研究的是衛(wèi)星導航系統(tǒng)的空間部分。由于在衛(wèi)星軌道坐標系(Radial-Along-Cross，RAC)下可以更明確地展現(xiàn)出衛(wèi)星的運動特性，因此在進行統(tǒng)計之前，本文將ECEF坐標系下的各向誤差轉(zhuǎn)換到RAC坐標系下進行計算[7]。

設(shè)P1,P2,…，Pn為某顆衛(wèi)星在某個等差時間段內(nèi)的已知位置，可通過8階拉格朗日多項式內(nèi)插法計算出該衛(wèi)星在這個時間段內(nèi)的任意時刻的速度[8]。由位置向量和速度向量可求出單位方向向量。

(1)

其中，ei是單位方向向量(i=radial,along,cross)，Δx、Δy、Δz分別為ECEF坐標系下的軌道徑向、切向和法向誤差，R、A、C分別為RAC坐標系下的軌道徑向、切向和法向誤差。

1.2 衛(wèi)星時鐘誤差

北斗廣播時鐘Tb以單頻B3I信號為參考。然而，本文選用的德國地球科學研究中心(GeoForschungsZentrum，GFZ)發(fā)布的北斗精密時鐘產(chǎn)品Tp是通過使用雙頻(B1I和B2I)無電離層組合計算得到的，因此，應移除14s的BDT-GPST偏移量。在比較Tb和Tp之前，還應考慮時間群延遲(tgd)[9]：

(2)

(3)

(4)

由于在Tb和Tp的計算過程中采用了不同的參考原點，因此為了獲得正確的廣播衛(wèi)星時鐘誤差，還應該去除公共時間尺度偏差。在歷元k的衛(wèi)星i的時間偏移量可以表達為

(5)

其中，μ(k)是在歷元k處的公共時間尺度偏差；δTi(k)是衛(wèi)星i的廣播時鐘誤差;Δi(k)是噪聲。通過加權(quán)最小二乘方法可以估計公共時間尺度偏差

(6)

在估計共同時間尺度偏差之后，衛(wèi)星時鐘誤差通過以下計算得到

(7)

2 北斗URE描述方法

BDS衛(wèi)星軌道和時鐘的解算方式不同于GPS，所以在計算北斗URE時不能完全套用GPS URE的描述方法，必須針對BDS的特點對傳統(tǒng)URE的描述方法加以修改，使其能夠恰當準確地描述BDS的URE。

2.1 瞬時用戶測距誤差

瞬時用戶測距誤差(Instantaneous SISURE，IURE)就是指某一時刻的瞬時URE。北斗IURE計算公式為

(8)

2.2 全球平均用戶測距誤差

地球上不同地點的GNSS用戶會遇到不同的UREs。為衡量空間信號整體上的精度，綜合軌道誤差和衛(wèi)星時鐘誤差，提出了全球平均用戶測距誤差(Global-Average URE，avgURE)。對于GPS，avgURE由式(9)計算

(9)

式中，A表示軌道的切向誤差，C表示軌道的法向誤差。(R-δT)代表著衛(wèi)星時鐘誤差和徑向軌道誤差之間具有負相關(guān)性，這是由GPS的軌道和衛(wèi)星時鐘誤差解算算法決定的。然而，北斗采用雙向衛(wèi)星時間、頻率傳遞(Two-Way Satellite Time and Frequency Transfer，TWSTFT)方法來確定衛(wèi)星時鐘。TWSTFT測量衛(wèi)星和地面站之間的下行和上行偽距觀測值，以計算相對于地面主時鐘的衛(wèi)星時鐘誤差。該方法將衛(wèi)星時鐘與軌道分開估算。因此，北斗徑向軌道誤差與衛(wèi)星時鐘誤差之間的相關(guān)性并不顯著。同時由于BDS衛(wèi)星軌道高度與GPS軌道高度不同，因此BDS的URE的計算可區(qū)別如下。

對于GEO/IGSO衛(wèi)星

(10)

對于MEO衛(wèi)星

(11)

avgURE涉及軌道誤差和衛(wèi)星時鐘誤差，是軌道誤差和衛(wèi)星時鐘誤差的綜合體現(xiàn)。

2.3 軌道部分的用戶測距誤差

根據(jù)式(10)和式(11)，在不考慮衛(wèi)星時鐘誤差的情況下，軌道部分的用戶測距誤差(Orbit-only URE，OrbitURE)公式為

(12)

(13)

OrbitURE是將軌道誤差和衛(wèi)星時鐘誤差進行誤差剝離，僅考慮軌道誤差在計算avgURE時的作用，為下面分析軌道誤差和衛(wèi)星時鐘誤差何者在計算avgURE時占主導地位奠定了基礎(chǔ)。

2.4 最差用戶測距誤差

就SIS完好性而言，最差用戶測距誤差(Worst-case URE，worstURE)對評估SIS性能至關(guān)重要。對于BDS，衛(wèi)星時鐘誤差與徑向誤差之間沒有顯著相關(guān)性。因此，衛(wèi)星時鐘誤差和徑向誤差被獨立傳播到最差SIS URE[10]。因此，北斗worstURE的公式可以用式(14)來描述

worstURE=

(14)

本節(jié)根據(jù)北斗獨有的衛(wèi)星時鐘誤差測定方法會導致衛(wèi)星軌道徑向誤差和衛(wèi)星時鐘誤差之間相關(guān)性較弱這一推論，對GPS的URE描述方法進行了修改，使之符合BDS空間信號誤差的特點。相比于直接套用GPS的URE計算公式，修改后的描述方法可以更準確地描述BDS的URE，更加簡潔的公式也有利于之后對其統(tǒng)計特征的分析。

3 實驗結(jié)果及分析

實驗首先基于內(nèi)插對比法分析了北斗衛(wèi)星軌道和衛(wèi)星時鐘誤差的變化規(guī)律及精度。為了探究軌道誤差和衛(wèi)星時鐘誤差對于SISRE的影響，驗證SISRE描述方法修改的正確性，以及確定適合描述SISRE的URA，實驗還對北斗空間信號誤差的統(tǒng)計特征進行了分析。

3.1 廣播星歷和精密星歷數(shù)據(jù)源以及數(shù)據(jù)預處理

本文采用的廣播星歷和精密星歷來源于多GNSS實驗網(wǎng)(Multi-GNSS Experiment，MGEX)(ftp://cddis.gsfc.nasa.gov/，廣播星歷數(shù)據(jù)為brdm0010.18p到brdm1820.18p，精密星歷sp3數(shù)據(jù)為gbm19821.sp3到gbm20080.sp3，精密星歷clk數(shù)據(jù)為gbm19821.clk到gbm20080.clk，數(shù)據(jù)時間跨度為6個月)?；趦?nèi)插對比法，以GFZ提供的精密軌道和時鐘作為真值，分析從2018年1月1日到2018年6月30日的廣播星歷軌道和衛(wèi)星時鐘誤差。為保證樣本獨立性，采樣率選為15min。同時在比較廣播星歷和精密星歷之前，應排除2個數(shù)據(jù)集中的無效星歷。無效星歷可用以下條件篩選[11]：

1)導航信息不健康，即健康狀態(tài)字為1。

2)|tk-Toe|>1h或|tk-Toc|>1h。其中tk是歷元k的時間，Toe是星歷參數(shù)的參考時間，Toc是時鐘參數(shù)的參考時間。

3)精密星歷/時鐘壞值或缺失被設(shè)置為“0.000000”/“999999.999999”。

3.2 鐘軌誤差分析

圖1展示了C01、C06和C11號衛(wèi)星廣播星歷的軌道誤差。

圖1 北斗衛(wèi)星軌道誤差圖Fig.1 BDS orbit error

C01號衛(wèi)星為GEO，GEO為地球同步軌道衛(wèi)星，其軌道周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期，為23h56min4s。為了得到軌道變化的一些細節(jié)，圖1給出了C01號衛(wèi)星1月1日到11日的軌道誤差圖。從放大圖中可以看出，軌道徑向、切向和法向的誤差變化都具有周期性，而且三者的變化具有一致性，周期大約為24h，這也與GEO的軌道周期相符。

C06號衛(wèi)星為IGSO，IGSO是傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，與GEO一樣，其軌道周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期，約為24h。與C01號GEO相比，C06號衛(wèi)星的軌道誤差明顯要小，尤其是切向和法向誤差。從放大圖中可以看出，三向誤差具有相同的變化周期，軌道徑向和切向誤差變化具有一致性，而法向誤差變化落后徑向和切向半個周期。

C11號衛(wèi)星為MEO，MEO是中地球軌道衛(wèi)星，運轉(zhuǎn)周期約為12h。與其他兩類衛(wèi)星相比，MEO的軌道誤差最小。從放大圖中可以看出，3個方向上的軌道誤差都具有一定的周期，大約為12h。圖中還展示出了另一個大約7d的周期。在這個周期內(nèi)，軌道三向誤差的變化具有一致性。

圖2展示了北斗三類衛(wèi)星的時鐘誤差。從圖2中可以看出，GEO的時鐘誤差在5m以內(nèi)，大多為負值；IGSO的時鐘誤差在3m以內(nèi)，大多為正值；MEO的時鐘誤差在2m以內(nèi)，大多為負值。整體來看，MEO的時鐘誤差最小，IGSO次之，GEO的時鐘誤差最大。

圖2 北斗衛(wèi)星時鐘誤差圖Fig.2 BDS clock error

圖3展示了三向誤差的均值和標準差。從圖3中可以看出，在徑向上，GEO、IGSO和MEO可近似為零均值，三類衛(wèi)星的標準差都較小，在1m以內(nèi)；在切向上，三類衛(wèi)星均值圍繞零值上下波動，幅度較小，但是GEO標準差較大，達到了4m；在法向上，三類衛(wèi)星均值都接近0，但標準差差距比較明顯。GEO標準差最大能達到7m，IGSO標準差最大為1m，MEO標準差則在1m以內(nèi)；對于衛(wèi)星時鐘誤差，大多數(shù)衛(wèi)星時鐘誤差不具有零均值，但標準差都小于1m。較小的標準差說明其波動較小，穩(wěn)定性好。從圖4中也可以看出，整體上，MEO的軌道精度最高，IGSO次之，GEO軌道誤差最大。

圖3 軌道三向誤差的均值和標準差Fig.3 Mean and STD for RAC

圖4 軌道三向誤差和衛(wèi)星時鐘誤差均方根Fig.4 RMS for RAC and clock error

3.3 URE的統(tǒng)計特征

統(tǒng)計特征的分析對于評估系統(tǒng)的整體性能起到了十分重要的作用。對于統(tǒng)計特征的研究主要包括以下4個方面[12]：

1)計算SISRE的均值、標準差和均方根值，分析軌道誤差R、A、C和衛(wèi)星時鐘誤差δT在計算SIS URE時的權(quán)重；

2)計算每個衛(wèi)星的軌道誤差R、A、C和衛(wèi)星時鐘誤差δT之間的相關(guān)系數(shù)，以此證明之前對于BDS SISRE描述方法修改的正確性；

3)通過對峰值和偏度值的分析驗證IURE的分布是否滿足正態(tài)分布；

4)為了研究URA能否正確描述SISRE，將avgURE和worstURE的經(jīng)驗累積分布函數(shù)與當前給出的URA進行比較，并結(jié)合URE的RMS值，確定當前適合描述BDS的URA值。

圖5展示了軌道誤差和衛(wèi)星時鐘誤差之間的相關(guān)性。從圖5中可以看出，A-R之間基本為負相關(guān)，C-R之間相關(guān)性較大，A-T和C-T之間相關(guān)性很弱。A-R、A-C、C-R、R-T中C10相關(guān)性較大。除了C10，R-T之間也是弱相關(guān)，從而驗證了式(10)、式(11)對于avgURE的修改。

圖5 軌道和衛(wèi)星時鐘誤差相關(guān)性圖Fig.5 Orbit and satellite clock error correlation graph

假定URE服從零均值正態(tài)分布，則URA是對URE的1σ估計，68%的URE應處于以URA為上邊界的區(qū)域中[13]。從圖6中可以看出，對于GEO、IGSO和MEO，若URE的分布服從零均值正態(tài)分布，則1σ上界分別為4.1m、2.4m和1.3m。

圖6 全球平均URE和最差URE的經(jīng)驗CDF圖Fig.6 Empiricial CDF of global averageURE and worst-case URE

但是如果URE的分布服從非零均值正態(tài)分布，那么利用1σ的URE界限確定URA是不合理的。為了驗證BDS的URE是否服從零均值正態(tài)分布，以GAMG測站為例，對其IURE統(tǒng)計特性進行分析。為了盡可能準確描述IURE的分布，在分析IURE分布之前剔除異常值。本文以4.42倍URAUB為門限值剔除異常值，其中URAUB表示廣播星歷播發(fā)URA的上邊界。圖7展示的是GAME測站GEO衛(wèi)星的IURE頻率分布直方圖。圖中藍色區(qū)域是衛(wèi)星IURE的直方圖，紅線是IURE的正態(tài)概率分布擬合曲線。從圖7中可以看出，C01、C04和C05號衛(wèi)星存在較為明顯的側(cè)偏。

圖7 GEO衛(wèi)星IURE頻率分布直方圖Fig.7 GEO satellite IURE frequency distribution histogram

從圖8的IGSO衛(wèi)星IURE頻率分布直方圖中可以看出，C07和C09號衛(wèi)星存在側(cè)偏，所有IGSO衛(wèi)星IURE均值都不為0。

圖9中，C11和C14號衛(wèi)星存在側(cè)偏。另外，圖8、圖9中擬合的正態(tài)分布曲線均值明顯都不為0。

圖9 MEO衛(wèi)星IURE頻率分布直方圖Fig.9 MEO satellite IURE frequency distribution histogram

為了進一步研究IURE的分布特性，圖10展示了IURE的峰度與偏度。峰度是研究數(shù)據(jù)分布陡峭或平滑的統(tǒng)計量，正態(tài)分布的峰度視為0。偏度是描述數(shù)據(jù)分布對稱性的統(tǒng)計量，正態(tài)分布的偏度為0。從圖7可以看出，IURE的峰度均大于0，曲線較為陡峭；大部分衛(wèi)星IURE的偏度值達到了0.5，個別衛(wèi)星超過1，說明IURE的分布存在一定的側(cè)偏，曲線對稱性較差，不滿足正態(tài)性。所以，將URE的分布假定為零均值正態(tài)分布并不是十分合理。因此，本文選擇利用URE的均方根來確定URA。

圖11展示了每顆衛(wèi)星和每類衛(wèi)星URE的RMS值。從圖11中可以看出，GEO、IGSO和MEO的OrbitURE分別為1.3m、0.8m、0.6m。對于所有衛(wèi)星，OrbitURE為1.0m。

圖10 IURE分布的峰度與偏度Fig.10 Kurtosis and skewness of IURE

圖11 全球平均、僅軌道、最差URE和衛(wèi)星時鐘誤差的RMS圖Fig.11 RMS for global average， orbit-only， worst-caseURE and clock error

為了探究鐘差對avgURE的影響作用，圖11將δT和OrbitURE的RMS值進行比較。結(jié)果表明，與OrbitURE相比，δT的RMS值與avgURE的RMS值更為相近，最大差值僅為0.6m，而OrbitURE與avgURE的RMS值之差最大可超過1m。由此可以推斷出在avgURE的計算過程中，軌道誤差所占權(quán)重較低，尤其是切向和法向誤差。雖然徑向誤差所占權(quán)重大，但其量級小，在avgURE中的作用并不明顯。所以這三者對于avgURE的計算結(jié)果影響較少，URE的大小由衛(wèi)星時鐘誤差δT主導。

worstURE代表最差情況下的URE，也就是某一時段內(nèi)URE的最大值。從完好性方面考慮，應用worstURE的RMS確定URA[14]

URAi=rms(worstUREi)

(15)

其中，i=GEO,IGSO,MEO。對于GEO、IGSO和MEO，根據(jù)式(15)，從圖11中可以看出其對應的URA分別為3.0m、1.9m和1.6m。

4 總結(jié)

本文針對BDS空間信號誤差特點，對其用戶測距誤差描述方法進行了修改，并對用戶測距精度進行了驗證，實驗結(jié)果表明：

1)北斗軌道徑向誤差和鐘差之間為微相關(guān)，對其用戶測距誤差描述方法的修改是正確的。

2) MEO的空間信號精度最高，IGSO次之，GEO最差。

3)空間信號誤差各分量不服從正態(tài)分布，所以不能用用戶測距精度的1-sigma上界來確定URA的值。對于GEO、IGSO和MEO，利用worstURE的RMS值確定的URA分別為3.0m、1.9m和1.6m。