區(qū)間變時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒非脆弱H∞控制

宋 睿，張合新，吳玉彬,張憲宇,曹建

(1. 火箭軍士官學(xué)校，濰坊 262500；2. 火箭軍工程大學(xué)，西安 710025;3. 中國(guó)人民解放軍96713部隊(duì)，上饒 334102)

0 引言

現(xiàn)實(shí)世界的許多動(dòng)力學(xué)模型系統(tǒng)，如網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、過(guò)程控制系統(tǒng)以及核反應(yīng)堆控制系統(tǒng)等，在數(shù)據(jù)和物質(zhì)的傳輸過(guò)程中，都包含非常明顯的時(shí)滯。在眾多的時(shí)滯類型中，區(qū)間變時(shí)滯更具代表性，它的時(shí)滯下界不一定為0，且時(shí)滯處于一個(gè)變化的區(qū)間之內(nèi)，常見于化學(xué)反應(yīng)器、內(nèi)燃機(jī)和網(wǎng)絡(luò)控制等工程實(shí)際應(yīng)用中。因而近年來(lái)，區(qū)間變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析成為一個(gè)熱門的研究領(lǐng)域[1-29]。

針對(duì)區(qū)間時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,最常見的方法是采用基于時(shí)域內(nèi)直接構(gòu)造L-K(Lyapunov-Krasovskii)泛函并結(jié)合線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality，LMI)來(lái)實(shí)現(xiàn)；針對(duì)其鎮(zhèn)定問(wèn)題，一般采用狀態(tài)反饋的形式來(lái)實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[2-9]討論了在狀態(tài)反饋控制器作用下系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題，但所給出的控制器無(wú)論是無(wú)記憶或者有記憶還是H∞控制器，都要求能夠精確實(shí)現(xiàn)，不具有魯棒性。在控制器的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)中，由于硬件(如A/D、D/A轉(zhuǎn)換)和軟件(如計(jì)算截?cái)嗾`差)等原因，控制器不同程度上存在一定的不確定性[10]。Keel等[11]指出，當(dāng)控制器參數(shù)存在攝動(dòng)時(shí)，常規(guī)的魯棒控制器表現(xiàn)出高度的脆弱性，從而造成閉環(huán)系統(tǒng)的性能下降甚至控制器失效。因此非脆弱控制器的研究便成為大家關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題[12-17]。文獻(xiàn)[12-14]和文獻(xiàn)[16-17]分別針對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的非脆弱H∞控制問(wèn)題和非脆弱保性能控制問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。在這些研究中，主要圍繞如何降低所得結(jié)論的保守性和滿足一定的性能指標(biāo)而展開。由于時(shí)滯相關(guān)條件相比時(shí)滯無(wú)關(guān)條件具有更小的保守性，因此，如何選取合適的L-K泛函和界定條件，進(jìn)一步得到保守性更小的時(shí)滯相關(guān)條件，進(jìn)而設(shè)計(jì)有效的控制器，便成為目前時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制綜合的重點(diǎn)問(wèn)題。

本文針對(duì)一類區(qū)間變時(shí)滯不確定系統(tǒng)，提出了一個(gè)形式簡(jiǎn)單的保守性更低的時(shí)滯相關(guān)有界實(shí)判據(jù)。該判據(jù)借鑒時(shí)滯中點(diǎn)法[16]的思想，把時(shí)滯區(qū)間分割成兩等份，針對(duì)每一分割區(qū)間構(gòu)造新的L-K泛函，并采用新的積分不等式和互凸組合技術(shù)給出不包含任何多余參量的LMI形式結(jié)論。在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了魯棒非脆弱控制器。最后把該控制器應(yīng)用于垂直起降(Vertical Take-Off and Landing，VTOL )直升機(jī)的飛行控制當(dāng)中，仿真結(jié)論表明，所推導(dǎo)的有界實(shí)判據(jù)相比已有文獻(xiàn)結(jié)論具有更低的保守性，所設(shè)計(jì)的控制器相比一般魯棒控制器具有更好的鎮(zhèn)定效果和明顯的非脆弱性。

1 問(wèn)題描述

考慮如下一類具有區(qū)間變時(shí)滯的線性系統(tǒng)

(1)

針對(duì)系統(tǒng)(1)定義如下性能指標(biāo)

(2)

其中，γ>0為給定標(biāo)量。

本文主要目標(biāo)是在外部干擾作用下，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋非脆弱H∞控制器

u(t)=(K+ΔK)x(t)

(3)

使得滿足以下2個(gè)條件：

1)ω(t)=0時(shí)，由式(3)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定；

把非脆弱控制器(3)代入系統(tǒng)(1)，則閉環(huán)系統(tǒng)為

(4)

其中,Ak=A+BuK+BuΔK,Ck=C+DuK+DuΔK。

為了方便穩(wěn)定性判據(jù)的證明，現(xiàn)將下一步需用到的引理歸納如下：

引理2[25]假定任意的正定矩陣M=MT>0，標(biāo)量h>0和向量函數(shù)：x(t):[0,h]→Rn，則有以下不等式成立

引理3[28]假定任意的正定矩陣M=MT>0，標(biāo)量0≤α,ε≤1，hm≤h(t)≤hM和向量函數(shù)：x(t):[0,h]→Rn，則有以下不等式成立

其中

引理4[17]給定具有適當(dāng)維數(shù)的矩Q=QT,H,E和R=RT，則有Q+HF(t)E+ETF(t)THT<0,對(duì)任意滿足F(t)TF(t)≤R的F(t)成立的充要條件是存在?>0,使得:

Q+?-1HHT+?ETE<0

2 時(shí)滯相關(guān)有界實(shí)判據(jù)

定理1對(duì)于給定的標(biāo)量hm、hM和λ1、λ2(λ1>λ2)，若存在正定對(duì)稱矩陣Pi(i=1,2,3,4,5)，Q1，Q2，U1，U2，Xj，Rj(j=1,2,3,4)，使得如下LMIs成立：

Φ=(Φi,j)10×10<0

(5)

則系統(tǒng)(4)在非脆弱控制器(3)的作用下不僅漸近穩(wěn)定，而且在零初始條件下具有給定的H∞擾動(dòng)抑制水平γ。其中

Φ13=X2，Φ14=0，Φ15=2P2+hmR2，

Φ16=(2-ε)(hM-hm)R4，

Φ23=-(α-2)X4，Φ24=(1+α)X4，

Φ25=Φ26=Φ27=Φ28=Φ29=Φ210=0，

Φ33=Q2-Q1-X2+(α-2)X4，Φ35=-2P2，

Φ36=Φ37=2P3，Φ34=Φ38=Φ39=Φ310=0，

Φ44=-Q2-(1+α)X4，Φ46=Φ47=-2P3，

Φ45=Φ48=Φ49=Φ410=0，Φ55=-X1-R2，

Φ58=-2P4，Φ56=Φ57=Φ59=Φ510=0，

Φ66=(α-2)X3-(2-ε)R4，Φ67=Φ68=0，

Φ69=Φ610=-2P5，Φ77=-(α+1)X3-(1+ε)R4，

Φ78=0，Φ79=Φ710=-2P5，Φ88=-R1-U1，

Φ89=Φ810=0，Φ99=-(2-ε)R3-U2，

Φ910=-U2，Φ1010=(1+ε)R3-U2，

證明：首先基于時(shí)滯中點(diǎn)值hΔ,把時(shí)滯區(qū)間分成相等的兩部分,即[hm,hΔ]和[hΔ,hM],下面分兩種情況討論。

情形1:當(dāng)hΔ≤h(t)≤hM時(shí)，設(shè)計(jì)如下L-K泛函

V(x(t))=V1(x(t))+V2(x(t))+V3(x(t))+

V4(x(t))+V5(x(t))

(6)

其中

計(jì)算L-K泛函V(x(t))沿系統(tǒng)(4)的導(dǎo)數(shù)，可得

(7)

其中

hΔ)Q2x(t-hΔ)-xT(t-hM)Q2x(t-hM)

由引理1與引理2可得

(8)

(9)

其中

由引理3可得

(10)

同樣可以得到

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

εΓ3+(1-ε)Γ4]ζ(t)

(18)

其中：

因?yàn)?≤α,ε≤1，根據(jù)互凸組合技術(shù)，如下不等式成立，

α(Γ1+λ1I)+(1-α)(Γ2+λ1I)<0

(19)

ε(Γ3-λ2I)+(1-ε)(Γ4-λ2I)<0

(20)

即

αΓ1+(1-α)Γ2<-λ1I

(21)

εΓ3+(1-ε)Γ4<λ2I

(22)

由于λ1>λ2，合并式(21)、式(22)，可得：

αΓ1+(1-α)Γ2+εΓ3+(1-ε)Γ4<(λ2-λ1)I<0

(23)

對(duì)于給定的γ,考慮性能指標(biāo)J(ω),則把z(t)Tz(t)-γ2ωT(t)ω(t)加到不等式(18)兩邊，可得

ΨTΨ+αΓ1+(1-α)Γ2+εΓ3+(1-ε)Γ4)ζ(t)

(24)

如果：

Ω+ΨTΨ+αΓ1+(1-α)Γ2+
εΓ3+(1-ε)Γ4<0

(25)

那么

(26)

-V(t)|t=∞+V(x(t))|t=0<0

(27)

情形2:當(dāng)hm≤h(t)≤hΔ時(shí)，設(shè)計(jì)如下L-K泛函

V1(x(t))=V11(x(t))+V12(x(t))+

V13(x(t))+V14(x(t))+V15(x(t))

(28)

其中

其中

Pi(i=1,2,3,4,5)，Q1，Q2，U1，U2，Xj，Rj(j=1,2,3,4)，同式(6)中所定義的矩陣。利用同樣的方法，可得

εΓ13+(1-ε)Γ14]ζ1(t)

(29)

其中

εΓ13+(1-ε)Γ14)ζ1(t)

(30)

如果

Ω+ΨTΨ+αΓ11+(1-α)Γ12+εΓ13+

(1-ε)Γ14<0

(31)

那么

(32)

從而閉環(huán)系統(tǒng)在零初始條件下具有給定的H∞擾動(dòng)抑制水平γ。

由于hM-hΔ=hΔ-hm，對(duì)式(18)或式(29)應(yīng)用引理3，則其等價(jià)于式(5)。證畢。

注2 在式(5)中，新的穩(wěn)定性判據(jù)沒(méi)有涉及冗余的自由權(quán)矩陣，只是巧妙地采用新的積分不等式來(lái)界定LKF導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的交叉項(xiàng)，并利用極少數(shù)自由矩陣來(lái)表示相關(guān)項(xiàng)之間的關(guān)系，因此減少了理論推導(dǎo)和計(jì)算上的復(fù)雜性，從而降低了結(jié)論的保守性。

注3 在式(10)、式(11)和式(14)中，互凸組合處理技術(shù)[22]作為一種非傳統(tǒng)方法用來(lái)更有效地界定LKF導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的交叉項(xiàng)，可以得到保守性更低的穩(wěn)定性結(jié)論。

3 非脆弱H∞控制器的設(shè)計(jì)

基于時(shí)滯相關(guān)有界實(shí)判據(jù)，設(shè)計(jì)非脆弱H∞控制器。

(33)

則不確定系統(tǒng)(1)在非脆弱控制器(3)的作用下不僅漸近穩(wěn)定，而且在零初始條件下具有給定的H∞擾動(dòng)抑制水平γ,且控制器增益K=YΞ-T。其中

證明：由于定理1中式(5)給出的條件為非線性矩陣不等式,不能直接得到控制器的解。下面給出控制器的設(shè)計(jì)方法，首先將式(5)中的不確定項(xiàng)(即含ΔK項(xiàng))分離，即

(34)

其中,Φ′為Φ中分離不確定項(xiàng)(含ΔK項(xiàng))所得結(jié)果。由引理4可得

(35)

其中

進(jìn)而對(duì)式(35)應(yīng)用Schur補(bǔ)可得

(36)

令T1=T2=Ξ-1,其中Ξ為非奇異矩陣，對(duì)式(36)兩邊左乘Ψ，右乘其轉(zhuǎn)置，其中

4 數(shù)值仿真與比較

下面通過(guò)2個(gè)數(shù)值例子仿真來(lái)比較說(shuō)明本文所提出的時(shí)滯相關(guān)有界實(shí)判據(jù)和基于此設(shè)計(jì)的魯棒非脆弱控制器都在不同程度上改善了已有文獻(xiàn)的結(jié)論。其中，最大允許時(shí)延 (Maximum Allowable Delay Bound，MADB) 定義為保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最大允許時(shí)滯上界值，是時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)論保守性最普遍的衡量標(biāo)準(zhǔn)；最低允許性能指標(biāo) (Minimum Allowable Performance Inde，MAPI) 定義為保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最小允許性能指標(biāo)值，是時(shí)滯系統(tǒng)在零初始條件下所具有H∞擾動(dòng)抑制水平的衡量標(biāo)準(zhǔn)。

例1首先考慮一類具有區(qū)間變時(shí)滯的線性系統(tǒng)，形如式(1)所示，其系統(tǒng)參數(shù)如下

在該數(shù)值例子中，考慮2個(gè)性能指標(biāo)，即H∞性能指標(biāo)γ和MADB值hM。根據(jù)定理1，當(dāng)時(shí)滯變化率μ=0和hm=0時(shí)，針對(duì)不同的H∞性能指標(biāo)γ，表1仿真給出了相應(yīng)的MADB值；針對(duì)不同的MADB值，表2仿真給出了相應(yīng)的H∞性能指標(biāo)γ。

表1 針對(duì)不同的H∞性能指標(biāo)γ，不同方法仿真給出的MADB值hM

表2 針對(duì)不同的MADB值hM，不同方法仿真給出的MAPI值γ

通過(guò)比較表1和表2可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于指定的H∞性能指標(biāo)γ，由定理1可以得出相應(yīng)的MADB值。相比文獻(xiàn)[11-12,14,19,23]，本文所提出的時(shí)滯相關(guān)有界實(shí)判據(jù)擴(kuò)大了系統(tǒng)穩(wěn)定的最大允許時(shí)滯上界范圍，具有更低的保守性；另一方面，對(duì)于指定的MADB值hM，也可以求得相應(yīng)的MAPI值。相比文獻(xiàn)[11-12,14,23]，本文所提出的判據(jù)可以獲得保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更小更佳H∞性能指標(biāo)γ值。

例2下面以VTOL直升機(jī)為研究對(duì)象進(jìn)行仿真。VTOL直升機(jī)的垂直起降控制過(guò)程是一種典型的含有時(shí)滯的動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)[18]，其模型可描述為

(37)

其中

在不加外部控制(即u(t)=0)時(shí)，該控制系統(tǒng)的開環(huán)響應(yīng)曲線如圖1所示，顯然系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

圖1 VTOL系統(tǒng)狀態(tài)開環(huán)響應(yīng)曲線Fig.1 State response of the open-loop system

為了說(shuō)明本文所設(shè)計(jì)魯棒非脆弱H∞控制器的優(yōu)越性，下面以VTOL系統(tǒng)在不同控制器作用下的鎮(zhèn)定性能來(lái)分析比較。

首先考慮控制器不存在外部干擾和增益攝動(dòng)的情況。此時(shí)攝動(dòng)參數(shù)Da和Ea均為0，取γ=0.9716，設(shè)時(shí)滯下界hm=0，hM=7，由定理2可得一般魯棒控制器增益矩陣為:

在K1作用下，系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖2所示。

圖2 一般魯棒控制器下系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 State response of the close-loopsystem under general robust controller

其次考慮控制器存在外部干擾和增益攝動(dòng)的情況。假設(shè)外部干擾為幅值0.1的正弦信號(hào)，控制器增益攝動(dòng)參數(shù)Da和Ea均不為0，取γ=0.9716，針對(duì)hM=7的定常時(shí)滯進(jìn)行仿真，其中攝動(dòng)參數(shù)取為

擾動(dòng)矩陣Fa∈R2×2，由定理2可得相應(yīng)的魯棒非脆弱控制器增益矩陣為

在K2作用下，系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 魯棒非脆弱控制器下系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.3 State response of the close-loop systemunder the non-fragile controller

以狀態(tài)x1(t)為研究對(duì)象，圖4比較給出了相同條件下，一般魯棒控制器和非脆弱控制器的鎮(zhèn)定效果。

圖4 不同控制器作用下的狀態(tài)x1響應(yīng)曲線Fig.4 Statex1response of the close-loopsystem under different controllers

由圖2～圖4可以看出，在非脆弱控制器K2作用下，系統(tǒng)狀態(tài)能夠獲得更佳的性能指標(biāo)，且容許控制器增益的攝動(dòng)；而在一般控制器K1的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)表現(xiàn)出明顯的脆弱性，振蕩較大，收斂較慢。

5 結(jié)論

本文對(duì)一類區(qū)間變時(shí)滯線性系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒非脆弱H∞控制問(wèn)題進(jìn)行了研究，其創(chuàng)新性體現(xiàn)在如下3個(gè)方面：

1)采用時(shí)滯中點(diǎn)分割法和互凸組合技術(shù)并結(jié)合新的積分不等式對(duì)泛函導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的交叉積分項(xiàng)進(jìn)行巧妙處理，進(jìn)而獲得有效結(jié)論；

2)獲得了LMI形式的時(shí)滯相關(guān)有界實(shí)判據(jù)和非脆弱H∞控制器。該控制器無(wú)需任何的參數(shù)調(diào)整和迭代處理，只需通過(guò)LMI的可行解即可得到控制器的參數(shù)表達(dá)式；

3)將控制器應(yīng)用于VTOL直升機(jī)的飛行過(guò)程，通過(guò)仿真來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明所設(shè)計(jì)的控制器相比一般魯棒控制器具有更好的鎮(zhèn)定性能和非脆弱性。