基于插值法的潮汐預測問題研究

張曉勇

摘 要：該研究通過兩種數(shù)學插值方法對某一時間段的潮汐開展實證研究，以此為基礎利用插值函數(shù)對潮汐現(xiàn)象進行預測。然后，對潮汐數(shù)據(jù)進行仿真和模擬處理，構造函數(shù)曲線。結果發(fā)現(xiàn)：與其他的Lagrange插值法、New-ton插值法等的相比，雖然三次樣條插值方法的計算量是比較繁瑣且龐大的，但是由于它能提高擬合曲線的光滑度，在潮汐變化及預測的應用研究中的效果較好。

關鍵詞：潮汐 Lagrange插值 三次樣條插值

中圖分類號：P731.23 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）02（b）-0241-03

Abstract： This paper presents an empirical study of tidal time over a certain period of time using two mathematical interpolation methods， and uses this function as a basis to make predictions using interpolation functions. Then， the tidal data is simulated and simulated and the function curve is constructed. Using Lagrange interpolation and cubic spline interpolation in tidal numerical simulation and prediction， it is found that compared with other Lagrange interpolation methods， New-ton interpolation methods， etc.， although the calculation of cubic spline interpolation method is relatively tedious and Huge， but because it can improve the smoothness of the fitting curve， it works well in applied research of tidal changes and prediction.

Key Words： Tidal； Lagrange interpolation； Cubic spline interpolation

潮汐能是一種清潔、保護環(huán)節(jié)、對維護生態(tài)平衡有重要作用的可再生能源，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)和國防建設方面有著巨大作用。海岸河口更是有著人口密度大、經(jīng)濟較為發(fā)達和開發(fā)程度較高的優(yōu)勢。即使在現(xiàn)代的科技社會，捕魚、曬鹽仍要利用潮汐漲落的規(guī)律，海上的航行，更與潮汐、潮流緊密相關。許多港口大船要等高潮水深時才能夠進駐；航船無論是在海上航行或者是駛離碼頭，都要利用到潮汐的特性。建筑海港，更要考慮潮汐潮流長期的變化規(guī)律，使它既不會被淹沒淤塞，又能節(jié)約造價成本。這些都說明潮汐的預測和分析對河口海岸和相關的管理部門有著重大的意義。只有對其進行深入研究，我們才能對其更好地進行開發(fā)利用。

函數(shù)插值在實際生活中的應用非常廣泛，如人口預報問題、潮汐預測、土地勘測、地貌生成技術問題等，研究人員可以通過插值與擬合的基礎知識和計算方法來解決實際問題，運用科學的計算方法和MATLAB實驗來使人們的工作變得更加高效、科學。在現(xiàn)實生活的潮汐預測過程中，就常用到插值的方法。由于監(jiān)測指標的監(jiān)測點不可能密布整個潮汐發(fā)生區(qū)域，同時，區(qū)域監(jiān)測點數(shù)量有限、分布不均，一般采用空間插值的手段建立潮汐擬合模型來解決，提高潮汐預測的科學及合理性。

從理論來說，通過對潮汐數(shù)據(jù)的插值方法的研究，去深入分析不同潮汐類型的物理過程和分潮組成，提出可以應用于不同類型的潮汐數(shù)據(jù)的插值新方法，具有一定的理論意義。在生活中的其他領域，通過對插值問題的性質(zhì)與求解方法的研究，可以發(fā)現(xiàn)在許多實際問題的解決過程中，經(jīng)常涉及到大量數(shù)據(jù)條件下，采取適當?shù)臄?shù)學方法給出擬合函數(shù)的情況。如今我們正身處數(shù)據(jù)時代之中，解決像這樣的大樣本數(shù)據(jù)插值問題已經(jīng)成為時代發(fā)展的必經(jīng)之路。

1 三次樣條插值

插值法能用一個“簡單函數(shù)”逼近被計算函數(shù)，然后用該簡單函數(shù)的函數(shù)值近似替代被計算函數(shù)的函數(shù)值。這是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法，是離散數(shù)據(jù)的公式化。對于潮汐預測問題來說，由于監(jiān)測指標的監(jiān)測點不可能密布整個潮汐發(fā)生區(qū)域，同時，區(qū)域監(jiān)測點數(shù)量有限、分布不均，所以利用多項式插值就可以較為簡便地建立一個潮汐擬合模型來解決，從而提高潮汐預測的科學及合理性。下面，該文把常見的三次樣條插值方法做一個簡單的介紹。

1.1 三次樣條函數(shù)的定義

在插值區(qū)間[a，b]上取n+1個插值結點

已知函數(shù)在這n+1個點的函數(shù)值為

則在[a，b]上函數(shù)的m次樣條插值函數(shù)滿足如下條件：

（1）在（a，b）上直到m-1階導數(shù)連續(xù)；

（2），k=0，1，2，…，n；

（3）在區(qū)間（k=0，1，2，…，n-1）上，是m次多項式。

1.2 三次樣條函數(shù)的推導與計算

在[a，b]上函數(shù)的三次樣條插值函數(shù)滿足：

（1）在（a，b）上0、1、2階導數(shù)連續(xù)，即：

，，（k=0，1，2，…，n-1）

（2），k=0，1，2，…，n；

（3）在區(qū)間（k=0，1，2，…，n-1）上，是三m次多項式。

由二階導數(shù)連續(xù)，設（k=0，1，2，…，n），mk是未知待定的數(shù)。因是分段三次多項式，則在每個區(qū)間內(nèi)是分段一次多項式，記：

則

將上式在區(qū)間上積分兩次，并且由等式、可以確定積分常數(shù)。當時，

利用一階導數(shù)連續(xù)的性質(zhì)，對上式求導可得：

在上式中，令，得：

將上式中的k換成k-1得在上的表達式，將代入，

而聯(lián)立上述兩式，得到關于m的方程：

整理可得：

上式中，等式左邊含未知量mk-1、mk、mk+1，等式右邊yk-1、yk、yk+1是已知的，令，

則得：

因為三次樣條插值方法將插值曲線的整體光滑度進行了提高，所以其應用廣泛，但從上述計算過程不難發(fā)現(xiàn)，它的計算量是比較繁瑣且龐大的。

2 基于插值方法的潮汐預測

2.1 數(shù)據(jù)收集及整理

根據(jù)中國海事網(wǎng)潮汐實時發(fā)布的數(shù)據(jù)，該課題采集了天津塘沽港口潮汐觀測站2018年4月15日的數(shù)據(jù)。這里需要說明的是，該研究采集數(shù)據(jù)的時間步長為1小時（h），超高的單位為厘米（cm）。該課題選取天津塘沽港，作為潮汐現(xiàn)象的試驗區(qū)與數(shù)據(jù)采集地。之所以選取天津塘沽港潮汐現(xiàn)象作為研究對象，主要有以下兩點原因：（1）天津塘沽港潮汐屬于不規(guī)則日潮，不規(guī)則日潮作為潮汐現(xiàn)象的一種類型具有較多的不確定性，當前的研究尚未明確其變化規(guī)律；（2）天津塘沽港潮汐地作為我國海潮的觀測站之一，數(shù)據(jù)易于采集。

2.2 基于插值方法的潮汐預測

2.2.1 Lagrange插值法

在上述分析的基礎上，該研究基于Lagrange插值法，利用MATLAB2014（b）編寫程序，對天津塘沽潮汐觀測站的數(shù)據(jù)進行插值計算與數(shù)值仿真，所得的仿真結果為：

2.2.2 三次樣條插值法

在上述分析的基礎上，該研究基于三次樣條法，利用MATLAB2012（b）編寫程序，對天津塘沽潮汐觀測站的數(shù)據(jù)進行插值計算與數(shù)值仿真，所得的仿真結果如圖1所示。

從上一節(jié)中可以看出，基于Lagrange插值法與三次樣條插值法的天津塘沽港口潮汐仿真與模擬效果存在著較大的差別，主要有以下兩點。

（1）Lagrange插值法的潮汐變化整體走勢基本符合要求，但是在非插值點存在較大的誤差，且在潮汐仿真的尾部出現(xiàn)嚴重的龍格現(xiàn)象，導致預測效果近乎失真；但是，這種的方程較為簡單，并且可以求解。

（2）三次樣條插值法的潮汐變化整體走勢符合要求，與原始的觀測數(shù)據(jù)幾乎吻合，效果較好；同時，在非插值點存在沒有較大的誤差，且在潮汐仿真的尾部沒有出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。但是，三次樣條插值的方程過于復雜，難以用數(shù)值軟件進行處理。

2.3 潮汐結果預測

在上述研究結果的基礎上，該研究基于4月15日的觀測數(shù)據(jù)對4月16日的觀測數(shù)據(jù)進行了預測。這里由于基于Lagrange插值法的數(shù)值仿真效果失真（預測的結果如表1所示），故僅采用三次樣條插值法進行預測，預測結果如表2所示。

從表1與表2中可以看出：基于三次樣條插值法的天津塘沽潮汐預測結果與真實數(shù)據(jù)相差不大（數(shù)值相差不超過15CM），相對誤差的浮動率均在0～5%之間。而，朗格朗日插值法的誤差較大，數(shù)據(jù)失真（出現(xiàn)嚴重的龍格現(xiàn)象導致）。這一數(shù)據(jù)分析說明，三次樣條插值的效果相對較好，是一種研究潮汐變化相對較好的函數(shù)。

3 研究總結

通過上述研究過程的梳理，該研究主要得出如下一些結論：雖然三次樣條插值方法的計算量是比較繁瑣且龐大的，但是由于它能提高擬合曲線的光滑度，在潮汐變化及預測的研究中具有重要的作用。與其他的Lagrange插值法、New-ton插值法等相比，對潮汐變化數(shù)據(jù)的仿真與預測效果相對較好。

該研究的不足在于對天津塘沽潮汐變化數(shù)據(jù)的采集周期相對較短；三次樣條插值的方程難以計算。由于潮汐變化數(shù)據(jù)的整體變化規(guī)律近似于三角函數(shù)，基于傅里葉函數(shù)的變換與擬合方法，應該更適合于這項研究，但是由于傅里葉變換過程較為繁瑣，還需要數(shù)學、地理學、統(tǒng)計學等的專家與學者對傅里葉函數(shù)的變換與擬合在潮汐變化仿真與預測進行進一步的深入研究與分析。

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