Kramers-Kronig關(guān)系的研究與發(fā)展

閻春生

(1.浙江大學(xué) 圖書館，浙江 杭州 310058；2.浙江大學(xué) 光電科學(xué)與工程學(xué)院，浙江 杭州 310058)

1 KK關(guān)系的提出

KK關(guān)系指的是響應(yīng)函數(shù)的實部與虛部之間的一種數(shù)學(xué)關(guān)系，自從Kronig(1926)[1]和Kramers(1927)[2]利用原子氣體模型推導(dǎo)出來以后，它就在光學(xué)、材料、非線性、通信等領(lǐng)域得到了廣泛而重要的應(yīng)用。KK關(guān)系的獨特魅力在于，雖然它原始的推導(dǎo)基于具體的物理模型，或者是基于信號的線性、因果性和無限頻率下對激勵的響應(yīng)為0這樣的物理實在，但它的確可以不依賴于任何模型而存在，它的美在于它純粹的數(shù)學(xué)性之中蘊(yùn)含的應(yīng)用的普適性，這是兩位提出者始料未及的[3]。

2 KK關(guān)系的本質(zhì)

KK關(guān)系本質(zhì)上是希爾伯特變換的一個特例。

2.1 希爾伯特變換[4]

2.2 KK關(guān)系本質(zhì)上是具有因果關(guān)系的平方可積函數(shù)的希爾伯特變換

對于解析函數(shù)，即任何具有因果關(guān)系的平方可積L2函數(shù)a(x)而言，希爾伯特變換便演化為KK關(guān)系，它揭示了其傅立葉變換a(x)=u(x)+iv(x)實部和虛部之間數(shù)學(xué)上的內(nèi)在聯(lián)系[6]，即：

(1)

(2)

此處P為柯西主值積分，其積分區(qū)域是將被積函數(shù)的極點x′用極小的半圓去除后形成的，圖1中除了該點以外整個的上半復(fù)平面(帶實軸)。

圖1 公式(1)的積分區(qū)域(R→∞,r→0)Fig.1 Integral region of formula 1(R→∞,r→0)

若a(t)是實函數(shù)，則a(-x)=a*(x)，*號為復(fù)共軛，因此a(x)的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，這在量子力學(xué)散射問題中稱為交叉條件。上述條件賦予了函數(shù)a(t)和a(x)重要的物理意義，例如a(t)代表系統(tǒng)的時域響應(yīng)，a(x)代表其頻率響應(yīng)，若將x用頻率ω代替可得[7]：

(3)

(4)

2.3 因果關(guān)系的兩層涵義[8]

因果性或因果關(guān)系是KK關(guān)系的基石，一般有兩層涵義，前者具有更普遍的意義。

(1)原始因果性：結(jié)果不能超前于原因，即t<0時，a(t)=0；

(2)相對論因果性：任何信號的傳播速度都不能超過光速。

3 超收斂定理和求和規(guī)則[6,9-10]

KK關(guān)系涉及到了∞的積分，為了研究柯西積分函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的漸近行為，引入超收斂定理以及f求和規(guī)則。

3.1 超收斂定理

(5)

3.2 f求和規(guī)則

(6)

4 介質(zhì)的線性KK關(guān)系

4.1 響應(yīng)函數(shù)

4.1.1 反射譜

通常通過測量垂直入射光反射估計高吸收樣品(如金屬、薄膜、半導(dǎo)體等)的光學(xué)常數(shù)，其反射譜為r(ω)=|r(ω)|eiθ(ω)，或ln[r(ω)]=ln|r(ω)|+iθ(ω)，|r(ω)|為振幅，R(ω)=|r(ω)|2為反射光強(qiáng)度，θ(ω)為相移，KK關(guān)系可以表示為[12]：

(7)

(8)

(9)

其中，式(8)[13-15]又稱為微分KK關(guān)系;式(9)[16-17]增加了ln|r(ω)|項，保證被積函數(shù)總是有限的。

實驗測得反射率R(ω)或其振幅|r(ω)|，由公式(7)到(9)計算出相位θ(ω)，根據(jù)菲涅爾公式r(ω)=[(ω)-1]/[(ω)+1]，就可以計算出復(fù)折射率=n+iκ，n和κ分別為折射率和消光系數(shù)。

4.1.2 透射譜

對于透射光譜，還需要考慮光在介質(zhì)中傳輸產(chǎn)生的相移，KK關(guān)系修正為[18]：

(10)

其中，T為透射譜函數(shù)的振幅，d為厚度。

4.2 電學(xué)特性參數(shù)

4.2.1 復(fù)極化率和復(fù)介電常數(shù)

4.2.1.1 導(dǎo)體

(11)

(12)

其中用到了積分變換將(-∞,∞)的積分范圍變換到(0,∞)：

(13)

(14)

(15)

4.2.1.2 納米結(jié)構(gòu)

納米結(jié)構(gòu)[20-21]需要考慮局域場效應(yīng)對系統(tǒng)哈密頓量的貢獻(xiàn)，但并不改變系統(tǒng)格林函數(shù)的因果關(guān)系，KK關(guān)系仍然適用且形式不變。

4.2.1.3 非導(dǎo)電介質(zhì)

4.2.2 電阻抗

電阻抗Z=Zr+iZj是評測電路、電極、電化學(xué)系統(tǒng)的重要參數(shù)，Zr代表阻抗，Zj代表電抗，其線性KK關(guān)系為[22-24]：

(16)

Zr(ω)-Zr(∞)=

(17)

Zr(ω)-Zr(0)=

(18)

4.3 磁學(xué)特性參數(shù)[25-26]

(19)

(20)

4.4 光學(xué)特性參數(shù)

4.4.1 復(fù)折射率和復(fù)介電常數(shù)

復(fù)折射率從宏觀角度描述了光與物質(zhì)的相互作用，其實部n與光波的相速度vφ=c/n有關(guān)，虛部κ一般是正的，代表光的衰減。

4.4.1.1 均勻薄膜或薄板

厚度為L的均勻薄膜或薄板，κ=-c/(2ωL)，其KK關(guān)系[27]為：

(21)

(22)

求和規(guī)則為：

(23)

(24)

4.4.1.2 超材料板

厚度為deff、復(fù)折射率為Neff的超材料板，其消光系數(shù)為κeff=-Re[ln(eiNeffk0deff)]/k0deff，利用式(21)即可確定其有效折射率neff[28]。

4.4.1.3 氣體分子

4.4.1.4 負(fù)折射率介質(zhì)

(25)

(26)

4.4.1.5 增益介質(zhì)

(27)

4.4.2 光電導(dǎo)率

光照引起材料電導(dǎo)變化的現(xiàn)象稱為光電導(dǎo)效應(yīng)，是內(nèi)光電效應(yīng)的一種，變化的電導(dǎo)率部分稱為光電導(dǎo)率σopt=σ1+iσ2[32]，滿足線性響應(yīng)中的Kubo-Greenwood理論[33-34]，其KK關(guān)系[35]為：

(28)

(29)

4.4.3 X射線的復(fù)原子散射因子[36-37]

X射線吸收光譜XAS和近邊X射線吸收精細(xì)結(jié)構(gòu)NEXAFS測試中，都涉及到極紫外EUV和X射線光譜，其復(fù)折射率定義為：

N(ω)=1-δ+iβ=

(30)

(31)

(32)

其中，Z是每原子的電子數(shù)。

4.5 聲學(xué)特性參數(shù)

4.5.1 絕熱壓縮系數(shù)

(33)

(34)

其中，k=ω/cp(ω)+iα(ω)是超聲波的波數(shù)，k2=ω2ρ0K(ω)，ρ0是介質(zhì)的密度，cp(ω)和α(ω)分別是相速度和衰減系數(shù)，二者也滿足KK關(guān)系[40]：

(35)

4.5.2 聲折射率[41]

聲折射率的KK關(guān)系與式(25)的形式完全一樣。

4.5.3 散射函數(shù)[41]

當(dāng)材料中存在許多尺寸相同各向同性的散射體時，聲波的色散關(guān)系變?yōu)椋?/p>

(36)

(37)

(38)

5 非線性KK關(guān)系

當(dāng)激發(fā)場很強(qiáng)時，必須考慮非線性效應(yīng)[42-43]，如和頻、差頻、四波混頻、自相位調(diào)制、交叉相位調(diào)制、多光子吸收、多次諧波產(chǎn)生、光孤子、拉曼散射、布里淵散射等。

5.1 非線性極化率

5.1.1n階非線性極化率

5.1.1.1 單變量積分

非線性介質(zhì)的n階極化響應(yīng)為：

(39)

非退化n階非線性極化率的KK關(guān)系為：

χ(n)(ω1,…,ωn)=

(40)

5.1.1.2 多變量積分

對式(40)所有剩余的n-1個頻率變量進(jìn)行同樣的運(yùn)算并應(yīng)用對稱關(guān)系可得[44-45]：

(41)

(42)

5.1.2 洛倫茲振蕩器模型[46]

5.1.2.1 和頻

(43)

當(dāng)r≤m，[χ(n)]m和(ω1,…,ωn)r×[χ(n)]m也是全純函數(shù)，KK關(guān)系為：

(44)

(45)

5.1.2.2 差頻

當(dāng)差頻產(chǎn)生時，非線性極化率在復(fù)頻率平面的上下部分存在極點，為亞純函數(shù)，只要乘以一個函數(shù)將相關(guān)極點消去可以得到一個全純函數(shù)，即：

(46)

其中，Ωku是極點，v=1,2,…,V。

5.1.3 非導(dǎo)電介質(zhì)諧波極化場

(47)

(48)

大頻率下至少隨ω-2減小的諧波極化率，其α階矩(0≤α≤n)極化率的k次方的KK關(guān)系為[49]：

(49)

(50)

其中，0≤α≤k(n+1)-1。

5.1.4 導(dǎo)電介質(zhì)諧波極化場

對于非線性靜態(tài)非消失實張量，頻率趨于0時產(chǎn)生的諧波極化率為：

(51)

導(dǎo)電介質(zhì)諧波產(chǎn)生極化率的非線性KK關(guān)系為：

(52)

5.2 折射率及消光系數(shù)的變化

5.2.1 泵浦-探測系統(tǒng)

當(dāng)兩個單色平面波入射到非線性介質(zhì)時，由于頻率ωb處光場的存在引起的頻率ωa處折射率的改變Δn(ωa;ωb)和吸收系數(shù)的改變Δα(ωa;ωb)為：

(53)

(54)

其中，Ib是頻率ωb處的光輻照度。na和nb分別是頻率ωa和ωb處的線性折射率。假定線性吸收足夠小，α(ωa)c/ωa<

(55)

上式等價于用頻率ωb處固定的強(qiáng)光泵浦和頻率ωa處的弱光探測的泵浦-探測光譜。

5.2.2 自作用系統(tǒng)

用光子能量?ω、強(qiáng)度為I的入射輻射泵浦半導(dǎo)體，折射率改變的KK關(guān)系為[51-53]：

(56)

上式與(55)具有相同的形式，但泵浦或擾動為入射光場自身，因此可以看作一個自作用系統(tǒng)。

5.3 響應(yīng)函數(shù)

5.3.1 三階

(57)

(58)

5.3.2n階

將其推廣到任意維度為[55]：

(59)

(60)

其中，Ω0=ω1+…+ωn，Ω1=ω1-ω2，…，Ωn-1=ωn-1-ωn。

5.4 χ(2)晶體泵浦倒空導(dǎo)致的衰減與基波相移[56]

(61)

將δω(θ)代入上式并考慮其對稱性得：

(62)

5.5 非線性復(fù)導(dǎo)電率

(63)

(64)

表1列出了幾種非線性效應(yīng)的名稱和對應(yīng)復(fù)電導(dǎo)率張量的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以及在上半/下半頻率平面，對哪個變量(ω、ω1或ω2)解析。

表1 非線性效應(yīng)及數(shù)學(xué)形式

6 KK關(guān)系的截斷誤差及減小方法

KK關(guān)系在應(yīng)用中最大的局限性在于，復(fù)變量僅僅在有限的區(qū)間而非整個積分限(0,∞)上已知或可測量，比如光譜相對于整個電磁波譜來說幾乎是微不足道的，運(yùn)用介質(zhì)的吸收光譜來計算KK積分必然帶來很大的誤差，如何減小截斷誤差成為重要環(huán)節(jié)。

6.1 截斷誤差

(65)

(66)

Myhre等人[59]研究了硫酸溶液，發(fā)現(xiàn)5 000 cm-1的高波數(shù)截止對KK計算的吸收和折射率影響很小，而低波數(shù)截止如1 600 cm-1以下時，吸收系數(shù)誤差為3%～50%，折射率誤差整個頻段小于5%。

Herbina等人[60]研究了石英粒子，發(fā)現(xiàn)其消光譜在紫外可見波段(10 000 cm-1, 50 000 cm-1)特別對n敏感，在熱紅外波段(550 cm-1, 2 000 cm-1)對n和κ同時敏感，如圖2所示。

圖2 κ(黑點)和n(灰線)的雅克比譜分布[60]Fig.2 Jacobian spectrum distribution of theκ(black dot) andn(grey line)[60]

6.2 積分限的外推方法

為了減小KK截斷誤差，需要對積分限以外的數(shù)值進(jìn)行合理的估算，主要有以下方法。

6.2.1 常數(shù)外推法

Gottlieb等人[61]研究了氟化鋰的光學(xué)特性，將(0,150 cm-1)的反射率設(shè)為常數(shù)0.24，(3 000 cm-1,∞)的反射率設(shè)為常數(shù)0.03，該方法雖然簡單但會得到負(fù)值，并且在一些頻率吸收系數(shù)嚴(yán)重失真。

6.2.2 多項式外推法

Thomas等人[62]在分析CdS的激子光譜中，用多項式A+Bv+Cv2進(jìn)行外推，其中A、B和C可由計算機(jī)調(diào)整以在能量低于吸收邊的地方產(chǎn)生零吸收。Spitzer等人[63]研究了石英的紅外晶格帶，計算了波長5～37 μm共160個點的數(shù)據(jù)，相角的校正項為Δθ(λ)=-0.022 4-0.018 8(λ/5)+0.061(λ/5)2。κ>0.1時 KK誤差在消光峰的短波邊較小，在長波邊較大，而κ<0.1時誤差非常大，如圖3所示。

圖3 消光譜：×為理論值；○為KK計算值[63]Fig.3 Extinction spectrum:× is theoretical value; ○ is KK calculation value[63]

6.2.3 冪指數(shù)外推法

Herbin等人[60]根據(jù)色散理論，采用冪指數(shù)外推法：

(67)

文章結(jié)合單減KK關(guān)系及最佳估計法進(jìn)行迭代計算，在紫外-可見波段誤差小于1%，在紅外振動帶附近誤差為2%，如圖4所示。

圖4 (a)和(b)分別是先驗和重建的κ和n[60]Fig.4 (a) and (b) are priori and retrieved values ofκandn, respectively[60]

6.2.4 無阻尼諧振子外推法

6.3 積分限選擇法

考慮一個簡單的如圖5所示的色散曲線，高低頻截斷誤差在A-B和C-D部分有相互抵消的傾向，精心選擇可以減小截斷誤差，當(dāng)ω/ωmin≈ωmax/ω時，抵消的效果最好。

6.4 微KK關(guān)系法

微分KK關(guān)系如(8)式所示[13-15]，它引入了一個權(quán)重因子，其在極點ω′=ω處有一個尖峰，而遠(yuǎn)離該點則變得很平很小，使得反射譜強(qiáng)度在每個頻點貢獻(xiàn)不一樣，大大減小了需要積分的范圍，極點兩邊對稱的部分也傾向于相互抵消，因此可以有效降低截斷誤差的影響。常用的復(fù)介電常數(shù)和復(fù)折射率的微分KK關(guān)系也可以改寫為：

圖5 色散曲線[58]Fig.5 Dispersion curve[58]

(68)

(69)

(70)

7 KK關(guān)系的修正

相比于上述的外推方法，基于錨點的減法KK關(guān)系顯得更為有效一些。

7.1 單減KK關(guān)系

7.1.1 折射率與消光系數(shù)

Bachrach等人[65]在分析法拉第旋光數(shù)據(jù)的文章中首次提出了單減KK關(guān)系[60]：

(71)

其中，n(ω0)是錨點ω0處的折射率，為已知值。SKK的優(yōu)點在于收斂速度快，可以在有限的波段獲得相對準(zhǔn)確的結(jié)果。

7.1.2 反射率與相位

Ahrenkiel[66]提出了反射率和相位的SKK關(guān)系：

(72)

采用常數(shù)外推法，并將ω1處的反射峰用δ函數(shù)替代，文章分析了引入未知峰對SKK與KK兩種方法計算誤差的影響：

(73)

當(dāng)ω～ω0，ω1>ω0時，ΔSKK<ΔKK，并且當(dāng)反射數(shù)據(jù)在小范圍可知時，SKK比KK收斂更快。

7.1.3 3次及n次諧波非線性極化率

n次諧波的SKK關(guān)系為：

(74)

(75)

如圖6所示，Lucarini等人[67]比較了聚硅烷三次諧波非線性極化率的實驗測量曲線(實線和延長的點畫線)、KK(點)和SKK(線段)計算曲線，可以看出，SKK關(guān)系具有較好的重建精度，而KK關(guān)系由于截斷誤差而有較大偏離。

圖6 χ(3)(3ω;ω,ω,ω)實部(a)和虛部(b)的測量值，KK和SKK計算值[67]Fig.6 Measured, KK and SKK values ofχ(3)(3ω;ω,ω,ω):(a)the real part; (b)the imaginary part[67]

7.2 多減KK關(guān)系

7.2.1 反射率與相位

Palmer等人[68]1998年在SKK的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了多減KK(MSKK)公式：

(76)

采用常數(shù)外推法，假設(shè)在波數(shù)ωp>ωmax時，存在一個近似為狄拉克δ函數(shù)尖銳吸收帶，N階和N-1階MSKK、KK關(guān)系的截斷誤差分別為ΔN、ΔN-1和Δ0，并有如下關(guān)系：

(77)

(78)

上式說明MSKK比KK關(guān)系截斷誤差小，而且錨點越多理論上截斷誤差越小。

7.2.2n次諧波非線性極化率

Lucarini等人[67]同樣也推導(dǎo)了n次諧波非線性極化率的MSKK關(guān)系：

(79)

(80)

7.3 差分多減KK關(guān)系[69-70]

對傳遞函數(shù)ln[H(ω)]=ln[H(ω)]+idθ兩邊求導(dǎo)，得：dln[H(ω)]/dω=dln[H(ω)]/dω+idθ/dω，求導(dǎo)不改變其因果性，因此也滿足KK關(guān)系：

(81)

差分多減KK關(guān)系可以表示為：

(82)

dθ/dω是時間延遲，因此差分多減KK關(guān)系實際上是傳遞函數(shù)幅度的導(dǎo)數(shù)與其時間延遲之間的關(guān)系。

圖7 一維周期介質(zhì)散射譜相位差重建[69]：實驗測量SPEBI方法(實線)，KK關(guān)系(點畫線)，DSSKK關(guān)系(點)，DMSKK(線段)Fig.7 Phase difference reconstruction of one-dimensional periodic dielectric scattering spectrum[69]:experimental measurement SPEBI method(solid line); KK relationship(dash dot); DSSKK relationship(dot); DMSKK relationship(line segment)

從圖7可以看出，僅用了兩個錨點(1 542.55 nm和1 563.55 nm)的DMSKK方法精度最高，與用相位差光譜測量方法SPEBI實驗得到的曲線最逼近，DSSKK(錨點1542.55 nm)次之，而KK方法則無法正確重建相差。

8 KK關(guān)系的新發(fā)展

8.1 空間KK關(guān)系

8.1.1 單向無反射空間KK介質(zhì)

最近Horsley等人提出了一種空域上的KK關(guān)系，如果平面介質(zhì)的非均勻介電常數(shù)的空間分布函數(shù)ε(x)=εb+α(x)在上或下復(fù)空間平面解析，則滿足式(83)和式(84)的空間KK關(guān)系[71]，其中εb>0是假定的背景值，當(dāng)x→±∞時，其空間變化部分α(x)=0。

(83)

(84)

適當(dāng)選取α(x)，可以構(gòu)建一個無源無反射的電磁吸波介質(zhì)，這在電磁隱身領(lǐng)域具有重要意義。

無反射介電常數(shù)ε的空間函數(shù)可以表示為：

(85)

(86)

(87)

其中，ξ設(shè)置了介電常數(shù)輪廓的空間尺度，A是幅度，式(87)表示一個光滑的三角函數(shù)，erf是誤差函數(shù)，h和L分別是高度和長度，ζ表征角的平滑度。

Longhi指出[72]在考慮空KK介質(zhì)的散射問題時，需增加一個取消條件[73]：

(88)

8.1.2 雙向隱身空間KK介質(zhì)[74]

介質(zhì)是TM極化波雙向隱身的，若滿足以下條件之一：

(1)α(x)=β(x)exp(iΘx)，β(x)在上半復(fù)平面全純，且當(dāng)|x|→∞時，β(x)→0；

(2)ε(x)=εb+α(x)在上半復(fù)平面沒有零點。

圖8 雙向隱身KK平面介質(zhì)[74]：(a)復(fù)介電常數(shù)ε(x)的譜，(b)和(c)分別是TE和TM極化波傳輸及反射系數(shù)譜Fig.8 Bi-directional stealth KK plane medium[74]: (a) is the spectrum of the complex permittivityε(x); (b) and (c) are TE and TM polarized wave propagation and reflection coefficient spectra, respectively

8.1.3 全頻率無反射空間KK介質(zhì)[75]

如果介電常數(shù)ε(x,ω)滿足：在上半復(fù)平面解析，ε(x,-ω)=ε*(x,ω)，虛部為正，ω→0時，ε(x,ω)～a(x)+b(x)ωn，n≥-1，ω→∞時，ε(x,ω)～1+c(x)/ω2，則介質(zhì)在任何頻率都沒有反射，例如：

(89)

其中，P(x,ω)=1+f(x)/(γ-iω)2，γ>0，f(x)=Ω2/2[1+tanh(-x/a)]，a>0。

8.1.4 無反射及透射的空間KK介質(zhì)[76]

(90)

(91)

8.1.5 空間-頻率洛倫茲KK介質(zhì)

圖9 一維非均勻空間KK介質(zhì)[77]。(a)印制卷繞金屬絲制成的二維人工介質(zhì)及幾何參數(shù)；(b)具有91個單元的沿x方向的周期性條形結(jié)構(gòu)；(c)利用全方位單極探針測量電場的實驗系統(tǒng)；(d)測量及(e)仿真得到的2.4 GHz的電場分布；(f)y=0時，沿x方向的電場|Ez|的分布曲線Fig.9 1-dimensional non-uniform space KK medium[77]: (a)2-dimensional artificial medium made of printed rolled-up wire and its geometric parameters; (b)a periodic bar structure with 91 units along thexdirection; (c)an experimental system for measuring electric field by omnidirectional monopole probe; (d) and (e) are the electric field distributions of 2.4 GHz for measurement and simulation, respectively; (f)the distribution curve of electric field |Ez| along thexdirection asy=0

Dexin Ye等[77]提出了空間頻率洛倫茲色散理論，如圖9(a)和9(b)所示，通過將卷繞金屬絲印制在電介質(zhì)基底上制作了x方向周期性的空間KK人工色散介質(zhì)，并在實驗上觀察到了2～3 GHz波段全方位無反射吸收，如圖9(d)和9(e)。所設(shè)計的介電常數(shù)(92)式在空域和頻域都滿足KK關(guān)系。

(92)

其中，諧振頻率ω0-qx與空間坐標(biāo)x有關(guān)，q決定了其隨x的改變率。

8.2 KK光通信器件

8.2.1 時域KK關(guān)系

單邊帶信號u(t)=ur(t)+iui(t)的時域KK關(guān)系為[78]：

(93)

(94)

8.2.2 單探測器、單偏振KK接收機(jī)[78-80]

入射到光探測器上的單邊帶信號可表示為E(t)exp(-iπBt)=E0+Es(t)exp(-iπBt)，E0是連續(xù)本征光信號幅度，Es(t)是頻譜在±B/2之間的復(fù)載波信號，當(dāng)E0>Es(t)時是最小相位信號，其相位φE(t)能夠從光電流強(qiáng)度I(t)=log|E0+Es(t)|2中唯一地提取出來，二者之間的KK關(guān)系為：

(95)

由此可得：

(96)

圖10 (a)220 Gb/s單波長、單偏振、單探測器的基于KK關(guān)系的直接探測系統(tǒng)；(b)測量結(jié)果[80]Fig.10 (a)220 Gb/s direct detection system based on KK relationship with single wavelength, single polarization and single detector and (b)detection results[80]

Xi Chen等人[80]實現(xiàn)了220-Gb/s的基于KK接收機(jī)的光通信系統(tǒng)(圖10(a))，用KK關(guān)系計算光電流就能得到光場參數(shù)，單模光纖傳輸100 km無需色散管理，并降低了信號-信號拍頻干擾(SSBI)5 dB，如圖10(b)所示，但其只用到一個偏振態(tài)并且信號和載波之間的保護(hù)帶太大。

8.2.3 偏振復(fù)用KK收發(fā)機(jī)[79-80]

Xi Chen等人[80]搭建了基于圖11(a)所示的偏振復(fù)用(PDM)收發(fā)機(jī)的4×240-Gb/s WDM PDM100 km的光通信系統(tǒng)，每一通道用KK算法獨立地恢復(fù)出光場的兩個偏振態(tài)分量，誤碼率BER明顯降低(如圖11(b)所示)。

圖11 偏振復(fù)用KK收發(fā)機(jī)[79]：(a)原理圖；(b)實驗結(jié)果Fig.11 (a)Schematic diagram and (b)experimental results for polarization multiplexing KK transceiver[79]

8.2.4 斯托克斯向量KK收發(fā)機(jī)[81]

(97)

(98)

圖12 斯托克斯向量KK收發(fā)機(jī)[80]Fig.12 Stokes vector KK transceiver[80]

9 討論及結(jié)論

法國數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪有一句名言：在實數(shù)域中,連接兩個真理的最短路徑是通過復(fù)數(shù)域，著名的KK關(guān)系也許是對這句名言的最佳闡釋。KK關(guān)系雖然是一個可以不依賴于任何實際模型而存在的純數(shù)學(xué)關(guān)系，但其應(yīng)用卻涵蓋了也許人類現(xiàn)在都無法想象的廣大領(lǐng)域。

KK關(guān)系反映的是一個復(fù)變量看似具有不同涵義的實部和虛部之間的深刻聯(lián)系，即實部在某點(頻率、時間、空間等等，也可以是多個自變量，如N階非線性KK關(guān)系的多角頻率)的值由虛部所有點的值共同決定，反之亦然。比如介質(zhì)的復(fù)折射率，其實部折射率表示光在介質(zhì)中和在真空中傳輸速度之比，而虛部的消光系數(shù)則表示介質(zhì)對光的吸收。入射光子在介質(zhì)中會產(chǎn)生電子能級、振動能級和轉(zhuǎn)動能級躍遷并消耗自身能量形成分子吸收光譜，同時使光速變慢。介質(zhì)對某一頻率單色光子的吸收以及使該光子的傳輸速度變慢，本質(zhì)上是該頻率的光子與所有頻率處相應(yīng)能級共同作用的結(jié)果，這正是KK關(guān)系對于介質(zhì)復(fù)折射率所表達(dá)的物理涵義。

雖然KK關(guān)系的導(dǎo)出不需要借助任何物理模型，但它確實是物理實在的高度數(shù)學(xué)概括。KK關(guān)系本質(zhì)上是希爾伯特變換的一個特例，而希爾伯特變換的最初定義是輸入信號與物理上不可實現(xiàn)的沖擊響應(yīng)1/πt的卷積，因此廣義的希爾伯特變換至少從現(xiàn)在來看僅僅是純數(shù)學(xué)上的。

具有因果關(guān)系的平方可積函數(shù)，是希爾伯特變換到KK關(guān)系的一座橋梁。平方可積函數(shù)代表了一個連續(xù)的物理過程，而不具有因果關(guān)系的物理量是不存在的。因果關(guān)系從哲學(xué)上來說，就是有原因才會產(chǎn)生結(jié)果，結(jié)果不能發(fā)生在原因之前。對于光學(xué)響應(yīng)函數(shù)而言，連接兩個不同時空點的是光，因此信號傳播速度不能超過光速的相對論條件成為了因果關(guān)系的一個推論?？梢钥闯觯蚬P(guān)系在不同的物理實在中具有不同的表現(xiàn)形式，如果對于聲信號，那因果關(guān)系就會變成信號到達(dá)之前不會產(chǎn)生聲響應(yīng)之類的語言，而對于量子糾纏系統(tǒng)，至少在現(xiàn)在看來聯(lián)系兩個好像具有超距作用的糾纏粒子之間的并非光子，因果關(guān)系的具體形式還不得而知。

由于因果性條件的保證，KK關(guān)系理論上可以應(yīng)用到任何的物理實在中，比如已知的反射和透射響應(yīng)函數(shù)、復(fù)介電常數(shù)、復(fù)折射率、復(fù)電導(dǎo)率、電阻抗、復(fù)磁導(dǎo)率、復(fù)原子散射因子、絕熱壓縮系數(shù)、聲折射率、單邊帶時域信號、空間KK介質(zhì)、各種非線性介質(zhì)以及船舶動力學(xué)[82]等等，可以想象這只是KK關(guān)系應(yīng)用領(lǐng)域的冰山一角，所以人們對它的研究至今仍如火如荼。KK關(guān)系的獨特魅力除了它優(yōu)美的數(shù)學(xué)形式和普遍的物理內(nèi)涵外，它還帶給了人們物理參數(shù)測量上的極大方便。比如為了得到響應(yīng)函數(shù)的相位需要相對復(fù)雜的技術(shù)和系統(tǒng)，但根據(jù)KK關(guān)系只需要簡單測量消光譜就可以方便地計算出來。

KK關(guān)系在應(yīng)用中也有固有的不足，一般KK積分都是在0到∞之間，但實際能夠測量的物理模型或已知的變量范圍(比如光譜的帶寬)總是有限的，這無疑會給計算結(jié)果帶來截斷誤差，因而就有了各種積分范圍的外推方法。一類方法是用一定的函數(shù)來逼近和代替積分范圍之外的參數(shù)，比如常數(shù)、冪指數(shù)或多項式等；另一類方法是根據(jù)色散曲線的特點選擇合適的積分限以使上下界的截斷誤差相互抵消；還有一種方法是用微分的形式，使得響應(yīng)函數(shù)的消光譜在每個頻點具有不同的權(quán)重，在吸收峰處最大，而在上下界以外可以忽略。另外，由于是特定頻率的激發(fā)場引起了非線性吸收的改變，因此其頻譜比線性吸收譜窄的多，在截斷誤差上具有天然的優(yōu)勢。

除了對積分限進(jìn)行外推外，人們還發(fā)展了單減和多減KK關(guān)系，其核心思想是引入?yún)?shù)已知的所謂錨點，錨點使得KK積分的收斂速度加快，并有效地減小了截斷誤差，而且選取的錨點越多，理論上截斷誤差越小。另外，還發(fā)展了響應(yīng)函數(shù)對頻率微分的差分多減KK關(guān)系，相位對頻率的微分正好是時間延遲，而時延的測量要比相位的測量方便的多。

總之，KK關(guān)系簡單形式背后蘊(yùn)藏?zé)o限可能，近百年來一直激勵著人們不斷地研究與探索，其應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴(kuò)展，截斷誤差的精心修正，錨點方法的顯著功效，大量實例的成功實施，好像它已經(jīng)不再有新意了，但其最新進(jìn)展使人們重新認(rèn)識到，原來時域和空域也有KK關(guān)系，KK關(guān)系也可以通過構(gòu)建空間色散介質(zhì)來實現(xiàn)電磁隱身，也可以用來構(gòu)建光通信的重要器件和系統(tǒng)以簡單的結(jié)構(gòu)實現(xiàn)更低誤碼率的信號傳輸。KK關(guān)系的這兩個全新發(fā)展方向，在為人們提供全新思路的同時，也賦予了人們無比的信心，KK關(guān)系全新的概念和應(yīng)用正等待著我們?nèi)ヌ剿骱桶l(fā)現(xiàn)。