基于幾何特征的點(diǎn)到空間參數(shù)曲線最小距離的簡(jiǎn)化算法

馬怡然鄭志濤

（1．天津城建大學(xué) 天津 300384）

（2．中國(guó)特種設(shè)備檢測(cè)研究院 北京 100029）

基于幾何特征的點(diǎn)到空間參數(shù)曲線最小距離的簡(jiǎn)化算法

馬怡然1鄭志濤2

（1．天津城建大學(xué) 天津 300384）

（2．中國(guó)特種設(shè)備檢測(cè)研究院 北京 100029）

分析了點(diǎn)到空間曲線的幾何特征，根據(jù)這些幾何特征，提出了點(diǎn)到空間參數(shù)曲線最小距離的簡(jiǎn)化算法?；谌蜝樣條曲線編制了計(jì)算機(jī)程序，通過(guò)大量算例驗(yàn)證了算法的有效性，其計(jì)算精度高，迭代速度快，程序執(zhí)行效率高，在工程上具有一定的實(shí)用價(jià)值。

參數(shù)曲線 最小距離 迭代法 樣條曲線

隨著信息科技在傳統(tǒng)制造業(yè)的深入和滲透，參數(shù)曲線和參數(shù)曲面由于優(yōu)良的計(jì)算特性得到了廣泛的應(yīng)用。而求點(diǎn)到參數(shù)曲線的最小距離，是其中的一個(gè)基本問(wèn)題，在游戲設(shè)計(jì)、機(jī)器人控制、數(shù)控加工等領(lǐng)域作為基本算法得到了廣泛應(yīng)用。在進(jìn)行過(guò)山車仿真中，測(cè)得兩條軌道線，如何把兩條軌道線上點(diǎn)對(duì)應(yīng)在一個(gè)軌道線法平面內(nèi)并找出重心基準(zhǔn)點(diǎn)，必須用點(diǎn)到曲線的最小距離，以一軌道曲線上點(diǎn)為基準(zhǔn)，找到另一曲線上的最小距離點(diǎn)，即為對(duì)應(yīng)軌道法平面上的點(diǎn)?？蒲腥藛T[1-2]采用多種方法計(jì)算點(diǎn)到空間參數(shù)曲線的距離，但這些算法多集中討論如何求點(diǎn)到一個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間的最小距離方法，如何求點(diǎn)到多個(gè)節(jié)點(diǎn)控制的整條參數(shù)曲線的最小距離目前未見(jiàn)有詳細(xì)研究方法。本文以常用的雙三次B樣條曲線為例，研究了快速實(shí)用的點(diǎn)到空間參數(shù)曲線最小距離的算法。

1 點(diǎn)到空間參數(shù)曲線最小距離的數(shù)學(xué)模型

對(duì)于空間參數(shù)曲線Γ，其參數(shù)方程為：

也可以表示為參數(shù)u的矢函數(shù)：

空間曲線是一維的，因此只有一個(gè)參數(shù)u，且0≤u≤1。對(duì)于不同的參數(shù)曲線，如貝塞爾曲線、B樣條曲線或非均勻有理B樣條曲線，P(u)具有不同的表達(dá)形式，可以根據(jù)實(shí)際情況來(lái)確定。

設(shè)給定點(diǎn)Q(x0，y0，z0)，它到空間曲線給定點(diǎn)P(x(u)， y(u)，z(u))的距離可表示為

則最小距離可表示為：

對(duì)以上方程用搜索法求解，編程比較麻煩，以下從點(diǎn)到曲線最小距離的幾何特征入手，提出另一種解題思路。

2 點(diǎn)到曲線最小距離幾何特征分析

1）如圖1所示： L1>L2>Lmin，Lmin

圖1 點(diǎn)到曲線最小距離點(diǎn)所在區(qū)間

圖2 點(diǎn)到曲線的最小距離

3）對(duì)于給定點(diǎn)Q，若QM與M點(diǎn)的切線MT所夾角分別為α與β，設(shè)α＞β，則最小距離點(diǎn)P必位于β角一側(cè)，如圖3所示。

圖3

4）對(duì)于節(jié)點(diǎn)內(nèi)一段曲線，如果存在最小距離點(diǎn)，如圖4平分該段曲線，中點(diǎn)為G，若L1＜L2，則垂足必位于L1側(cè)，即最小距離點(diǎn)必位于L1側(cè)（適用于Q到曲線各點(diǎn)距離小于各點(diǎn)曲率半徑的曲線）。

圖4

3 點(diǎn)到曲線最小距離算法設(shè)計(jì)

對(duì)于如圖5所示點(diǎn)Q和樣條曲線Γ，基于幾何特征的點(diǎn)到空間參數(shù)曲線最小距離的計(jì)算步驟為：

圖5

1）計(jì)算給定點(diǎn)Q到樣條曲線Γ各節(jié)點(diǎn)的距離；

2）比較Q到樣條曲線Γ各節(jié)點(diǎn)的距離，根據(jù)以上原理1，則最小距離點(diǎn)必位于最短節(jié)點(diǎn)距離QN線兩側(cè)的相鄰曲線段上，如圖5（b）所示；

3）由QN與N點(diǎn)切線 所夾角度，根據(jù)以上原理3，判斷出最小距離點(diǎn)必位于銳角一側(cè)所在的相鄰弧段；

4）取該弧段內(nèi)中點(diǎn)D，比較給定點(diǎn)Q與B、C兩點(diǎn)的距離，如圖5（c）所示，根據(jù)以上原理4，則最小距離點(diǎn)必位于距離短的端點(diǎn)所在的半個(gè)區(qū)間；

5）舍棄不存在最小距離點(diǎn)的一半?yún)^(qū)間，再取另一半?yún)^(qū)間中點(diǎn)，重復(fù)以上過(guò)程4），直到兩邊差值小于給定ε(即 |Ln-Ln+1|＜ε)，則該邊長(zhǎng)LM即為所求最小距離，D點(diǎn)即為最小距離點(diǎn)。

在工程實(shí)際中常應(yīng)用雙三次B樣條曲線來(lái)表示以上曲線，其參數(shù)矩陣表達(dá)式為：

式中bi(i=0，1，2，3)為雙三次B樣條曲線的控制點(diǎn)矢量，則：

利用三次B樣條曲線，做出求最小距離點(diǎn)的流程圖如圖6所示：

圖6 三次B樣條曲線法求最小距離點(diǎn)的流程圖

4 實(shí)例分析

表1為三次B樣條曲線的節(jié)點(diǎn)，曲線外給定點(diǎn)為Q(49428.1937，-16671.1419，3445.0020)，采用基于幾何特征的點(diǎn)到空間參數(shù)曲線最小距離的算法，程序僅迭代7次即找出最小距離1220。

表1 三次B樣條曲線節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)

采用搜索法求解，至少要17步以上方能求出符合要求的點(diǎn)，而且隨著曲線點(diǎn)數(shù)的增加，計(jì)算迭代數(shù)量相應(yīng)增加，運(yùn)算量會(huì)線性增加，程序執(zhí)行效率則會(huì)降低。

5 結(jié)論

利用以上點(diǎn)到空間曲線最小距離處的幾何特征求取最小距離，具有編程簡(jiǎn)單，程序迭代次數(shù)小，執(zhí)行效率高，是求最小距離的一種簡(jiǎn)便方法。以上方法對(duì)曲線曲率變化相對(duì)平緩時(shí)適用，對(duì)曲線上存在拐點(diǎn)的曲線不適用。

[1] 伍麗峰，陳岳坪，諶炎輝，等．求點(diǎn)到空間參數(shù)曲線最小距離的幾種算法[J]．機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2011，9：15-17．

[2] 錢春．基于區(qū)間牛頓法的點(diǎn)到參數(shù)曲線最小距離的計(jì)算方法[J]．機(jī)電工程，2010，27(1)：82-84．

[3] 廖平．分割逼近法快速求解點(diǎn)到復(fù)雜平面曲線最小距離[J]．計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2009，45(10)：163-164．

A Simplifed Algorithm of the Minimum Distance Between a Point and a Spatial Parametric Cure base on the Geometrical Characteristic

Ma Yiran1Zheng Zhitao2
(1. Tianjin Chengjian University Tianjin 300384)
(2. China Special Equipment Inspection and Research Institute Beijing 100029)

This paper analyzes the geometric characteristics between a point and a spatial parametric cure, based on which a simplified algorithm of the minimum distance between a point and a spatial parametric cure is developed. Based on the cubic spline curve, the programs is designed. The effectiveness, high precision, quick iteration and high effciency of the algorithms are verifed by a series of tests. It has more practical value in engineering practice.

Parametric curve Minimum distance Iteration method Spline

X924

B

1673-257X(2017)01-0029-03

10．3969/j．issn．1673-257X．2017．01．006

馬怡然(1978～)，女，碩士，講師，從事工科數(shù)學(xué)及研究工作。

2016-09-07）