利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式的典型方法解析

張海宏

摘 要：解答與數(shù)列相關(guān)的問題，通項(xiàng)公式是關(guān)鍵。那么怎么快速、有效地求解通項(xiàng)公式？就這一問題做一初步探討，供大家參考。

關(guān)鍵詞：遞推關(guān)系；通項(xiàng)公式；累加；累積；待定系數(shù)；周期

數(shù)列的遞推公式是給出數(shù)列的方式之一，根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，既考查學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)掌握情況，也考查學(xué)生觀察能力、推理能力、判斷能力。本文就因題而宜，正確利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式做一步探討。

一、利用遞推關(guān)系特征用累加方法求通項(xiàng)公式

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)是一個(gè)與n有關(guān)的量，就用累加。即an-1-an=f（n），則an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=f（1）+f（2）+…+f（n-1）+a1.

例：已知a1=2，an-1=an+ln（1+）.

解：a1=2，an-1=an+ln（1+），∴an-1-an=ln，∴an-an-1=ln（n≥2），an-1-an-2=ln…，∴a2-a1=ln（n≥2），∴an-a1=ln+ln+…+ln=lnn（n≥2）即an=lnn+2（n≥2）又a1=2，∴an=lnn+2.

二、利用遞推關(guān)系特征用累積方法求通項(xiàng)公式

若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是一個(gè)與n有關(guān)的量，就用累積。即=f（n），則an=·…·a1=f（n）·f（n-1）…=f（2）·f（1）a1

例：求a1=，an=an-1（n≥2）求an.

解：an=an-1（n≥2），所以當(dāng)n≥2時(shí)，=所以=，…，=，=.

以上n-1個(gè)式子相乘得·…·=·…·

即=·×2×1，所以an=，當(dāng)n=1時(shí)，a1==也與已知a1=相符.

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=.

三、利用遞推關(guān)系特征用兩邊同加待定系數(shù)求通項(xiàng)公式

利用遞推關(guān)系an=pan-1+q（p≠1），（若p=1，則用累加）兩邊同加同一個(gè)數(shù)，構(gòu)成等比數(shù)列求通項(xiàng)。這類題型，給兩邊同加一個(gè)數(shù)，然后構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解。關(guān)鍵是兩邊同加這個(gè)數(shù)如何求出，下面就做一簡(jiǎn)單推理。

an=pan-1+q？圯an+b=pan-1+q+b=p（an-1+），若要構(gòu)成等比數(shù)列，則b=？圯bp-b=q？圯b=（p≠1）.

若p=1，則用累加求通項(xiàng)公式。

例：a1=1，an+1=an+1（n∈N*），求an.

解：p=，q=1∴b==2，an+1-2=（an-2）？圯=.

則{an-2}是以a1-2=-1為首項(xiàng)，q=為公比的等比數(shù)列，故an-2=（a1-2）·（）n-1？圯an=2-（）n-1=2-（n∈N*） an=pan-1+q（p≠1）如果q是冪的形式，即an=tn+tan-1則等式兩邊同除以tn，化為等差數(shù)列來(lái)求解。

四、用遞推關(guān)系特征用兩邊同除以交叉項(xiàng)求通項(xiàng)公式

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和交叉項(xiàng)的積都有關(guān)系，則根據(jù)題型特征給兩邊同除以交叉項(xiàng)，變?yōu)榈炔顢?shù)列求解。

例：已知a1=，且當(dāng)n>1時(shí)，an-1-an-4an·an-1=0，求an.

解：an-1-an-4an·an-1=0？圯-=4，{}是以=5為首項(xiàng)，d=4為公差的等差數(shù)列，故=5+4（n-1）？圯an=.

五、利用遞推關(guān)系特征用遞推公式及函數(shù)的周期性求通項(xiàng)公式

如果一個(gè)數(shù)列遞推關(guān)系也是用分時(shí)給出，但等式右邊分子、分母都含常數(shù)項(xiàng)，而且變量比較大則考慮周期。

例：已知a1=0，an+1=（n∈N*），求an，a20.

解：a1=0，a2=-，a3=，a4=0？圯a1=a4=a1+3？圯T=3an=0 n=3k- n=3k+1 n=3k+2（k∈Z），a20=a3×6+2=a2=-

利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法是多種多樣的，以上方法是最典型的幾種。如果掌握了這些方法，可能給大家?guī)?lái)某種啟發(fā)觸發(fā)靈感，起到舉一反三、觸類旁通的效果，能根據(jù)具體題型特征靈活正確地求解數(shù)列通項(xiàng)的相關(guān)問題。

編輯 馮志強(qiáng)