整合數(shù)學(xué)：讓兒童暢飲數(shù)學(xué)的源頭活水

湯衛(wèi)紅

【摘 要】“整合數(shù)學(xué)”旨在進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一性，打通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，探索多學(xué)科的融合。倡導(dǎo)通過生活世界與數(shù)學(xué)世界的融通與互化、數(shù)學(xué)教材中單元內(nèi)容的整體優(yōu)化、數(shù)學(xué)與科學(xué)基于核心概念、工具與方法的有機(jī)整合、超越數(shù)學(xué)的綜合實(shí)踐應(yīng)用等途徑，讓兒童暢飲數(shù)學(xué)的源頭活水，以促進(jìn)其核心素養(yǎng)的整體發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】整合數(shù)學(xué);統(tǒng)一;聯(lián)系;融合;核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2019）17-0046-04

教師首先是教育者，其次才是學(xué)科教師。作為數(shù)學(xué)教師，我們當(dāng)然要教人學(xué)數(shù)學(xué)，但更要以數(shù)學(xué)育人，跳出數(shù)學(xué)看學(xué)生和學(xué)習(xí)。教育部《關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》中指出：“進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)、科學(xué)、技術(shù)等課程的育人價(jià)值。同時(shí)加強(qiáng)學(xué)科間的相互配合，發(fā)揮綜合育人功能，不斷提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中也指出：“要通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系。”學(xué)校在確保國(guó)家基礎(chǔ)課程實(shí)施質(zhì)量的同時(shí)，注重學(xué)科內(nèi)、學(xué)科間及超學(xué)科的整合，既是落實(shí)國(guó)家立德樹人根本任務(wù)、執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)的需要，也是實(shí)現(xiàn)課程整體育人價(jià)值的必然路徑。

一、“整合數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵和價(jià)值

“整合數(shù)學(xué)”是基于課程整體育人，通過統(tǒng)整、重組、優(yōu)化、開發(fā)、融合適合學(xué)生的課程資源，以探究數(shù)量關(guān)系和空間形式為核心，以問題解決為載體，以滲透、融合、消弭等為整合方式，構(gòu)建具有整體性、序列性、系統(tǒng)性、關(guān)聯(lián)性的課程群，以提升學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐能力等核心素養(yǎng)為最終追求的課程實(shí)踐模式?！罢蠑?shù)學(xué)”的提出，并不意味著要“去學(xué)科化”，也不是要用整體性思維去完全取代學(xué)科性思維，而是要讓我們更加清楚地認(rèn)識(shí)和處理好整體教育與學(xué)科教育之間的辯證關(guān)系。數(shù)學(xué)要發(fā)揮育人價(jià)值，并不意味著只突出強(qiáng)調(diào)教育的視角，而忽視從學(xué)科分類的角度去更為深入地分析思考。恰恰相反，當(dāng)我們從整體、系統(tǒng)的角度來考察數(shù)學(xué)教育時(shí)，更應(yīng)該思考并實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)落實(shí)整體性教育目標(biāo)的獨(dú)特價(jià)值。

1.“整合”是為了更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一性。就數(shù)學(xué)本身而言，盡管存在著多個(gè)不同的分支，而且隨著研究的深入，這種多元化的趨勢(shì)表現(xiàn)出不斷加強(qiáng)的跡象，但正如法國(guó)數(shù)學(xué)家讓·迪多內(nèi)在《論數(shù)學(xué)的進(jìn)展》一文中認(rèn)為的那樣：“數(shù)學(xué)中始終存在著強(qiáng)大的統(tǒng)一的趨勢(shì)?！蔽覀儾粦?yīng)簡(jiǎn)單地對(duì)數(shù)學(xué)不同分支上的內(nèi)容進(jìn)行形式上的組合，而應(yīng)對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行深入的分析、研究和適當(dāng)?shù)某橄?，揭示相關(guān)對(duì)象事實(shí)上具有共同的本質(zhì)。

2.“整合”是為了更好地打通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。聯(lián)系的觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著特殊的重要性。而事實(shí)上，數(shù)學(xué)教育在加強(qiáng)與外部聯(lián)系方面仍然有很長(zhǎng)的路要走?！罢蠑?shù)學(xué)”既強(qiáng)調(diào)生活經(jīng)驗(yàn)的合理引入，又重視前數(shù)學(xué)生活的合理建構(gòu);既強(qiáng)調(diào)突出內(nèi)部多元表征方法的內(nèi)在統(tǒng)一，又強(qiáng)調(diào)模型的應(yīng)用、延伸和拓展，以期讓經(jīng)驗(yàn)的世界、數(shù)學(xué)的世界、現(xiàn)實(shí)的世界之間形成貫通的聯(lián)系。

3.“整合”是為了更好地探索數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)、工程等的關(guān)聯(lián)與融合?！罢蠑?shù)學(xué)”在強(qiáng)調(diào)全面落實(shí)國(guó)家基礎(chǔ)課程的同時(shí)，積極地拓展開去，探索與實(shí)施具有整合性的課程形態(tài)，將科學(xué)、技術(shù)、工程、人文等有目的、有方法地融合起來，利用學(xué)科知識(shí)來支持相關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在不同領(lǐng)域運(yùn)用其他領(lǐng)域的知識(shí)與技能實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通。如此，數(shù)學(xué)就有了更豐富的背景和資源，也有利于它在更廣闊的天地發(fā)揮作用。同時(shí)，其他學(xué)科的一體化融入，更有利于學(xué)生用普遍聯(lián)系的思維方式認(rèn)識(shí)、理解現(xiàn)實(shí)世界，也更能用多元的、貫通的視角解釋、解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題。

二、“整合數(shù)學(xué)”的實(shí)施路徑

實(shí)施“整合數(shù)學(xué)”，一方面，要回到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)有的聯(lián)系的、變化的、融通的樣態(tài);另一方面，要拓展、應(yīng)用、深化多元背景下多種課程形態(tài)的關(guān)聯(lián)式學(xué)習(xí)，這也正符合動(dòng)態(tài)的、辯證的、模式論的數(shù)學(xué)觀。

1.生活世界與數(shù)學(xué)世界的融通與互化。

要實(shí)現(xiàn)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”，首先要將數(shù)學(xué)根植于兒童的生活經(jīng)驗(yàn)，并使其成為兒童經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)的基礎(chǔ)。當(dāng)然，這種生長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)在教師的引導(dǎo)下實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”生長(zhǎng)。對(duì)兒童來說，數(shù)學(xué)之于生活才有活力，數(shù)學(xué)之于經(jīng)驗(yàn)才有生長(zhǎng)力。把生活融入兒童的數(shù)學(xué)世界是“整合數(shù)學(xué)”要夯實(shí)的基礎(chǔ)路徑。

以北師大版四上“路程、時(shí)間與速度”的教學(xué)為例，筆者首先呈現(xiàn)班上兩位學(xué)生真實(shí)的上學(xué)時(shí)間和路程的數(shù)據(jù)和地圖路線，讓學(xué)生體會(huì)路程與距離的區(qū)別，并引導(dǎo)他們提問：誰走得更快？接著由生活視角轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)視角：怎樣理解誰走得更快？從而得出速度需要用兩種量關(guān)聯(lián)刻畫的本質(zhì)屬性。然后通過線段圖的抽象在數(shù)學(xué)化的道路上邁進(jìn)，自然引出v=s÷t的基本模型。通過比較劉翔跨欄速度和蝸牛爬行速度，了解速度、時(shí)間、路程之間的數(shù)量關(guān)系。接著，通過比較不同年份火車的運(yùn)行速度體會(huì)社會(huì)的發(fā)展。然后，以公路上如何測(cè)定汽車是否超速、為什么“電閃雷鳴”是先看到閃電后聽到雷聲等問題的討論貫通生活問題、科學(xué)問題，讓學(xué)生對(duì)速度有更為清晰的認(rèn)識(shí)。課末，則把“速度×?xí)r間=路程”這樣的基本數(shù)量關(guān)系與“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“每天修路米數(shù)×天數(shù)=總米數(shù)”等概括起來，生成一種乘法模型：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。這也是“整合數(shù)學(xué)”突出學(xué)科本質(zhì)、體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在統(tǒng)一性的價(jià)值所在。

2.數(shù)學(xué)教材中單元內(nèi)容的整體優(yōu)化。

“整合數(shù)學(xué)”強(qiáng)調(diào)要突破數(shù)學(xué)教材中單元線性推進(jìn)的教學(xué)思路，主張整體設(shè)計(jì)，板塊式、結(jié)構(gòu)化推進(jìn)，從而讓學(xué)生先概知全貌再逐步深化，關(guān)聯(lián)式探究。例如：教學(xué)北師大版二上“測(cè)量”單元，我們主張?jiān)跍y(cè)量中學(xué)習(xí)測(cè)量，用真實(shí)的實(shí)踐活動(dòng)貫穿單元學(xué)習(xí)，讓測(cè)量因需要而生，讓度量單位因測(cè)量需要而被“創(chuàng)造”。引導(dǎo)學(xué)生在積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程中完成長(zhǎng)度單位“厘米”“米”的構(gòu)建，理解標(biāo)準(zhǔn)參照物，會(huì)根據(jù)需要選擇適切的單位。本單元的實(shí)施流程如圖1所示。

3.數(shù)學(xué)與科學(xué)基于核心概念、工具與方法等的有機(jī)整合。

很多版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材與科學(xué)教材都有交集。科學(xué)為數(shù)學(xué)提供了極有價(jià)值的背景材料、問題情境、研究素材等，數(shù)學(xué)又為科學(xué)提供了語言和工具。但兩者在分科教學(xué)中有時(shí)會(huì)存在不同步的情形，導(dǎo)致科學(xué)教師要提前教學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)和方法，數(shù)學(xué)教師要提前安排相關(guān)科學(xué)觀察、實(shí)驗(yàn)或補(bǔ)充相關(guān)科學(xué)知識(shí)和背景材料。教師應(yīng)不斷尋找數(shù)學(xué)與科學(xué)育人的契合點(diǎn)，使之發(fā)揮“1+1>2”的效應(yīng)。

教科版五下科學(xué)教材設(shè)有“生物與環(huán)境”這一單元，旨在讓學(xué)生建立食物鏈、食物網(wǎng)、生態(tài)系統(tǒng)等概念，并討論如何維護(hù)生態(tài)平衡，增強(qiáng)保護(hù)地球環(huán)境意識(shí)。而在北師大版五下數(shù)學(xué)教材中，有關(guān)于動(dòng)物種群動(dòng)態(tài)變化的折線統(tǒng)計(jì)圖的觀察和思考，旨在讓學(xué)生體會(huì)數(shù)據(jù)描述與分析對(duì)科學(xué)研究的價(jià)值。顯然，這兩者的一體化設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生來說更具價(jià)值性、周期性、挑戰(zhàn)性和融合性。我們將兩個(gè)單元同步教學(xué)，并把兩個(gè)學(xué)科的最后一節(jié)內(nèi)容融合，開發(fā)出以“山貓（捕食者）—雪足兔（被捕食者）”問題為主題的數(shù)科整合課，將科學(xué)的生物捕食問題與數(shù)學(xué)的統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生用統(tǒng)計(jì)表記錄生物種群的數(shù)量，用復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖描述生物種群的數(shù)量變化等，并通過觀察、分析、比較等獲得種群變化的科學(xué)規(guī)律。

4.超越數(shù)學(xué)的綜合實(shí)踐應(yīng)用。

超越一般意義上的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程，我們以數(shù)學(xué)為整合的核心，從數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容、學(xué)生自身生活和社會(huì)實(shí)際出發(fā)，以“主題”為引領(lǐng)，以小課題研究為載體，以研究性實(shí)踐與創(chuàng)造為主要方式，以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神為目標(biāo)，開發(fā)了“3C”（即Care關(guān)心、關(guān)愛、關(guān)注，Connection聯(lián)系、連接，Creation創(chuàng)造、創(chuàng)新）課程，以期激發(fā)學(xué)生關(guān)注生活、關(guān)注社會(huì)的心向，從而讓他們從現(xiàn)實(shí)世界主動(dòng)發(fā)現(xiàn)值得研究的問題，并將其上升為小課題，然后引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)、科學(xué)、技術(shù)、工程等方面的知識(shí)與問題建立聯(lián)系，進(jìn)行課題研究，形成自己獨(dú)具創(chuàng)造性的問題解決方案。

例如：2017年是蘇軾誕辰980周年，我們把學(xué)校年度研究課程主題確定為“逆境中的堅(jiān)持”。在學(xué)生大量閱讀、積累、考察的基礎(chǔ)上，學(xué)生生發(fā)出很多有價(jià)值的研究課題，如“大數(shù)據(jù)幫你進(jìn)一步認(rèn)識(shí)蘇軾”“蘇軾所用詞牌名及詞受喜愛程度調(diào)查研究”“蘇軾被貶路線研究”“蘇軾的朋友圈”“蘇軾的心情曲線”“蘇軾親民十大證據(jù)”“蘇軾為全國(guó)哪些景點(diǎn)代言”“蘇堤考察研究報(bào)告”……學(xué)生的學(xué)習(xí)也從文本世界走向?qū)嵺`世界的真實(shí)場(chǎng)域。我們通過開啟課、方案課、實(shí)踐課、答辯課，讓學(xué)生完整地經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的全過程，并通過與專家建立聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生持續(xù)、深入地完成研究。在研究中，學(xué)生不斷學(xué)習(xí)人文與藝術(shù)、統(tǒng)計(jì)與科學(xué)、工程與技術(shù)方面的知識(shí)，并不斷解決問題，同時(shí)，感受到蘇軾的豐富與偉大及其愛生活、愛人民、愛祖國(guó)的豁達(dá)、智慧與擔(dān)當(dāng)，汲取了生活的智慧、面對(duì)困難的勇氣和堅(jiān)持理想的執(zhí)著。

通過調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)，自2011年“整合數(shù)學(xué)”課程實(shí)施以來，我校學(xué)生的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀良好而積極，核心素養(yǎng)獲得感普遍提高;學(xué)生在課堂上彰顯出“活潑但理智，個(gè)性但認(rèn)同，聰明但不偏頗”的樣態(tài);在區(qū)域?qū)W習(xí)水平質(zhì)量監(jiān)測(cè)中表現(xiàn)優(yōu)異，且穩(wěn)步前進(jìn)，體現(xiàn)出“整合數(shù)學(xué)”課程給學(xué)生帶來的素養(yǎng)的整體顯著高水平。