不定積分的運(yùn)算技巧

陳 飛

(商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 商丘 476100)

引言

不定積分是高職院校數(shù)學(xué)課程的核心,也是微積分的重要內(nèi)容.不定積分的計(jì)算方法多種多樣,其中換元積分法和分部積分法是重點(diǎn)和難點(diǎn),學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)有一定困難,且不能熟練地運(yùn)用各種計(jì)算方法.合理的運(yùn)用不定積分計(jì)算方法可以降低求解問(wèn)題的難度.本文針對(duì)常用的解題技巧進(jìn)行分析探討,并結(jié)合具體例題進(jìn)行講解.

1 求解方法概述

2 例說(shuō)相關(guān)技巧

分析:可以通過(guò)湊微分,把積分變量湊成d(1+x2),用新變量u替換1+x2.

設(shè)u=(1+x2),于是：

技巧: 運(yùn)用第二換元積分法,關(guān)鍵是選擇合適的變量代換函數(shù)小x=φ(t).對(duì)于x=φ(t),要求單調(diào)可微,且φ′(t)≠0,其中t=φ′(x)是x=φ(x)的反函數(shù).

分析:為了去掉根號(hào),可以引入關(guān)于未知量t的三角函數(shù)替代x,從而簡(jiǎn)化計(jì)算.

解:令x=atant,則dx=asec2tdt,于是：

分析:被積函數(shù)為冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積,故把反三角函數(shù)選作u,即u=arcsinx,則dv=xdx.

分析:在計(jì)算不定積分時(shí),針對(duì)題目的特點(diǎn)可以多次使用分部積分法.

=x2ex-2xex+2ex+C.

分析:可以先采用換元積分法,再采用分部積分法進(jìn)行求解.

=2tln(1+t2)-4t+4arctant+C

解法一(湊微分法):

=cscx-cotx+C

解法二(分部積分法)：

=cosxcotx-cotx+sinx+C

解法三(第二換元積分法):

技巧:以上3種解法得出的解的形式是不同的,但是，解得本質(zhì)是一樣的,通過(guò)變換可得：

cosxcotx-cotx+sinx+C=cscx-cotx+C

根據(jù)不同的求解方法,求解出來(lái)的積分結(jié)果的形式是不一樣的,但是，這些結(jié)果是正確的.我們只需對(duì)所求的結(jié)果進(jìn)行求導(dǎo),看是否等于被積函數(shù)[5].

解法一(換元積分法):

解法二(湊微分法):

解法三(代數(shù)換元法):

解法四(分部積分法):

3 結(jié) 語(yǔ)

不定積分的求解方法靈活多變,我們可以針對(duì)不同的被積函數(shù)類型,采取最有效的求解方法計(jì)算出不定積分.通過(guò)學(xué)習(xí)不定積分的運(yùn)算技巧,可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,增加學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),從而提高分析和解決問(wèn)題的能力.在求解不定積分時(shí),合理地運(yùn)用計(jì)算方法,并對(duì)所求的結(jié)果進(jìn)行檢測(cè),從而熟練掌握不定積分的運(yùn)算技巧.