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    廣義的戈登—舍費爾最優(yōu)收獲策略隨機變化環(huán)境中的模型

    2019-05-10 11:14:08楊小平唐三一
    中國錳業(yè) 2019年2期
    關鍵詞:蒂斯戈登化簡

    楊小平,唐三一

    (1. 陜西交通職業(yè)技術學院 基礎部,陜西 西安 710018; 2. 陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,陜西 西安 710062)

    在估計種群的大小及其對捕撈的反應,預測未來的成功以及選擇適當?shù)膽?zhàn)略以維持穩(wěn)定的可持續(xù)量和保持健康的種群是管理漁業(yè)最具挑戰(zhàn)性和最重要的問題,這些問題在很大程度上都是與系統(tǒng)的靜態(tài)行為有關,從某種意義上說,人口涉及到平均產(chǎn)量(或平均收入)的估計,他是開發(fā)水平的函數(shù)[1],此外,由于自然種群對其物理生物環(huán)境的隨機擾動有波動的傾向,管理問題變得復雜。一些研究人員已經(jīng)調查了在隨機波動的環(huán)境中收獲種群的情況[2-4]。已經(jīng)觀察到,人口對這種隨機擾動的敏感性取決于其重要比率(生育率、死亡率和補充率),因此,一般來說,收獲是改變的。如果不小心收獲超過了最大可持續(xù)產(chǎn)量(MSY),這些影響就會變得非常嚴重。高的努力可能導致低平均產(chǎn)量和高方差。Schaefer[5]基于羅蒂斯克定律和Reed[6]和Goh[7]的魚類收獲動態(tài)開放存取模型也考慮了在無限時間范圍內收獲種群的羅蒂斯克增長率。本文提出并研究了一種隨機修正的羅蒂斯克模型。該模型適用于水庫產(chǎn)生的倍增波動情況下的魚類捕撈,我們的模型包括戈登—舍費爾模型和佩拉—湯姆林森模型[8]。

    1 模 型

    讓n(t)表示在時間t的庫存大小;處理n(t)是一個連續(xù)變量(考慮到庫存的大小是合理的),用于魚類收獲的戈登—舍費爾模型有微分方程描述:

    (1-1)

    =f(n)-h(t)

    (1-2)

    (2)

    其中V(t)是一個白噪聲過程,表示隨機微分方程SDE式(2)[9-10]可以寫成:

    (3)

    其中W(t)是一個維納過程,其形式導數(shù)是過程V(t)。

    2 模型的確定性分析

    Holt[11]之后,我們的標準化狀態(tài)變量n(t)化為φ(t),未利用的平均值的一部分,此外,還強加了霍爾特的約束:①未開發(fā)庫存水平的1/2用于征聘,是為未開發(fā)庫存水平的3/4;②自然死亡率系數(shù)是統(tǒng)一的,我們發(fā)現(xiàn)我們的隨機微分方程式(3)化簡為:

    dφ=[rφ(1-φα-1)-Eφ]dt+σφdW

    (4)

    r是內在增長率,這是關于α的函數(shù):

    (5)

    可持續(xù)產(chǎn)量是:

    (6)

    其中φ*是式(1-1)非零平衡解和發(fā)生在E=E*=r(1-1/α)上的MSY是由:

    (7)

    更進一步的可以看出MSY,Ymax是漸進穩(wěn)定的,因為每當有小的擾動,隨著時間的推移,Ymax就會恢復。

    (8)

    因為由一點代數(shù)計算就能得到:

    (9)

    在α>1,r>0,Y的漸進穩(wěn)定性由式(9)得到。

    2.1 可持續(xù)的產(chǎn)量與努力

    α的各種值的計算表明,對于α=2,Ymax=0.25是在努力水平E*=0.50達到的,當α超過2并且逐漸增加時,產(chǎn)量與努力曲線的峰值的位置向左移動,而當α減少到2以下時,產(chǎn)量與努力曲線的峰值向前移動。

    正如我們在介紹中提到的α=2、3、4時,我們的模型可以減少,模型分別由舍費爾和佩爾—湯姆林森(m=2,3)建立,特別地,Lett和Doubleday[12]研究表明:反向峰值佩爾—湯姆林森曲線比羅輯分析更能描述圣勞倫斯鱈魚灣的大量數(shù)據(jù)。這一發(fā)現(xiàn)至少在一定程度上表明,我們的模型實際上是一個擴展。

    值得注意的是,當α向α=2的右邊移動,所需的努力水平E*降低,而最大可持續(xù)產(chǎn)量Ymax增加,因此相對于α>2與α≤2相比較,該物種的收獲更有利可圖(見表1)。r=r(α)的值,使可持續(xù)產(chǎn)量φ*(E*)最大化的努力水平E*,當E=E*時φ的平衡值和最大持續(xù)產(chǎn)量Ymax=Y(E*,φ*(E*))顯示不同的α值。

    表1 α取不同值時φ的平衡值及最大可持續(xù)產(chǎn)量對比

    2.2 收獲庫存的特征回歸時間TR

    到目前為止,我們已經(jīng)研究了庫存φ和可持續(xù)產(chǎn)量Y的依賴性,在收獲狀態(tài)下,在穩(wěn)定狀態(tài)下。在這一節(jié)中,我們將研究動態(tài)方面,解決的基本問題是,當受到均衡價值的影響時,開發(fā)會如何影響庫存趨于恢復的速度,對于一個微分方程組描述的模型,他的特征時間TR由其Hession矩陣的主特征值的實部的幅度(絕對值)的倒數(shù)給出,如果所有特征值位于復平面圖的左半部分。因此,原始種群的特征時間為TR(0),收獲種群的特征時間為TR(E),結果是:

    (10)

    (11)

    其中的r(α),任意的α是由式(5)給出的。

    因此,

    (12)

    2.3 時間平穩(wěn)收獲策略的隨機分析

    在本節(jié)中,我們將對隨機微分方程式(4)描述的收獲模型進行隨機分析,但需滿足以下條件:①時間視界是無限的,沒有任何折現(xiàn)因子;②環(huán)境中普通存在的波動是倍增的,是由白噪聲過程產(chǎn)生的;③我們的吸引力和直觀的收獲政策是對于某些臨界規(guī)模的nc(根據(jù)經(jīng)驗確定)在n(t)>nc的情況下進行收獲,當n(t)

    正如Abakuks和Prajneshu[13]以及Shah[14]所展示那樣,我們的模型甚至可以證明時間平穩(wěn)的政策導致了最大的長期效益。

    保持這些建議,繼續(xù)規(guī)范化魚群φ(t)=n(t)/K,我們的模型式(4)化簡為:

    dφ=[rφ{1-φα-1}-EφH{φ(t)-φc}]dt+σφdW(t)

    (13)

    其中H(x)是赫維賽德函數(shù),定義為:

    (14)

    將給出漂移和擴散項:

    (15)

    和S(φ,t)=σ2φ2

    (16)

    對應于隨機微分方程式(13)的相關的??恕绽士朔匠虨椋?/p>

    (17)

    在穩(wěn)定狀態(tài)下減少到:

    (18-1)

    (18-2)

    積分(18-1)和(18-2),我們得到:

    (19)

    其中A和B是積分常數(shù),并由連續(xù)性條件確定。

    (20)

    和歸一化條件:

    (21)

    我們得到:

    (22)

    其中γ(v,u)和Γ(v,u)是不完全伽馬函數(shù)。

    給定臨界尺寸φc的長期收益由:

    (23)

    最后,將B的值代入式(23)并化簡,我們發(fā)現(xiàn):

    (24)

    對于給定的φc,另一個感興趣的數(shù)量在長期的時間比例T(φc)是用于收獲:

    (25)

    3 結 語

    我們提出并研究了戈登—舍費爾模型咋隨機波動環(huán)境下魚群收獲的推廣,從而產(chǎn)生了乘性噪聲,我們的模型包括梅等人討論的3個重要模型。我們用一般的 作為泛化指標,生長速率曲線因物種而異。結果表明: 對于生長速率曲線發(fā)展較快的物種來說是一個更好的選擇; 值給出了增長緩慢的曲線我們研究了與魚類捕撈有關的若干因素的依賴性。如最大可持續(xù)產(chǎn)量、特征回歸時間、長期平均產(chǎn)量、長期時間比例等,這有助于漁業(yè)管理。

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