高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)的易錯(cuò)點(diǎn)初探

張紀(jì)魁

【摘要】數(shù)學(xué)作為一門邏輯性較強(qiáng)且比較抽象的工具學(xué)科，是高中階段學(xué)習(xí)活動(dòng)的重點(diǎn)內(nèi)容。但在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)過程中很多同學(xué)容易出錯(cuò)。本文將從導(dǎo)數(shù)基本概念出發(fā)，分析求極值、幾何計(jì)算、定義域等易錯(cuò)點(diǎn)，有針對(duì)性的討論出現(xiàn)問題的根本原因，從而正確規(guī)避，為提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率提供理論幫助。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù);易錯(cuò)點(diǎn)

引言

從廣泛意義上來看，導(dǎo)數(shù)是微積分的重要組成部分，掌握好導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)對(duì)解答函數(shù)問題起到重要幫助。高中整體數(shù)學(xué)內(nèi)容涵蓋了：導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、幾何、概率等多個(gè)知識(shí)體系，并且在歷年高考中都占有一定比例。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)都好學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)工具，但導(dǎo)數(shù)相對(duì)難度較大，所以本文討論內(nèi)容有一定意義。

一、高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)概述

從導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)情況來分析，其邏輯性較強(qiáng)且抽象的概念是導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不佳的根本原因，很多同學(xué)在沒有深入了解定義的情況下就開始習(xí)題，往往造成結(jié)果失誤。另外導(dǎo)數(shù)綜合性也比較強(qiáng)，其中涵蓋了函數(shù)參數(shù)、幾何定義等知識(shí)，所以需要在學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容之前有一定的知識(shí)儲(chǔ)備能力。宏觀意義上來說，導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)里程碑式的研究，其讓變量與函數(shù)之間產(chǎn)生了新的聯(lián)系，導(dǎo)數(shù)中涵蓋了很多知識(shí)體系，所以其也可以同樣應(yīng)用到這些習(xí)題的計(jì)算過程當(dāng)中，并起到很高的功能價(jià)值，最開始學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)之間每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都會(huì)表現(xiàn)出一種“分渭交式”狀態(tài)，所以高中課程將數(shù)列、極限、函數(shù)極值放在最開始學(xué)習(xí)。從簡(jiǎn)入難，最終完成導(dǎo)數(shù)幾何、導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)求極值等內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

二、導(dǎo)數(shù)極值易錯(cuò)點(diǎn)

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值也是高中階段的常見題型，很多同學(xué)都誤以為如果函數(shù)最終求導(dǎo)結(jié)果為0，那么這就是函數(shù)的極值點(diǎn)。這種錯(cuò)誤解題觀點(diǎn)的出現(xiàn)是由于相關(guān)知識(shí)點(diǎn)掌握不全面，僅靠字面意思理解而沒有深化學(xué)習(xí)深刻定義。如果認(rèn)為導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，函數(shù)極值可求，那么最終結(jié)果會(huì)出現(xiàn)很大偏差。例如f（x）=x³-6x²+cx，且在x=b的時(shí)候存在最小值為g（b），則g（b）的定義域、值域分別是什么。如果用上文中錯(cuò)誤的導(dǎo)數(shù)解題理念，就會(huì)導(dǎo)致其首先求導(dǎo)f（x）=x⁴-2x²+ax，然后得到f（x）=x²-6x+cx，然后得到（x-1）²+c-6，讓f（b）=0，得到c=-b²+6b。可知f（x）可以在符合題目要求的條件下得到最小值，最終可知f（x）=0，所以得到c<6，c=-t²+6t²<12得到t≠2，到此可知道g（t）=f（t）=-t²+3t²（t≠2）的值域。出現(xiàn)這種問題的根本原因就是很多同學(xué)都沒有理解f'（x）=0是求最小值所需的必要條件。正確的解題答案應(yīng)該是在f（x）=x³-6x²+cx的時(shí)候存在最小值，然后當(dāng)t>1的時(shí)候，函數(shù)g（t）在定義域（+∞，2）里為減函數(shù)，函數(shù)值域?yàn)椋?∞，8）。

三、導(dǎo)數(shù)幾何計(jì)算易錯(cuò)點(diǎn)

在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)過程中可以明顯發(fā)現(xiàn)，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間存在的幾何意義可以看出函數(shù)運(yùn)動(dòng)時(shí)曲線某范圍內(nèi)的斜切率，如果能充分理解相關(guān)內(nèi)容定義，在處理幾何計(jì)算問題時(shí)的效率就會(huì)明顯提升。例如：在計(jì)算曲線切線方程y=-2x²+x時(shí)，該方程式經(jīng)過點(diǎn)（1，1），求出該曲線的切線方程。很多同學(xué)在計(jì)算該題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤都是因?yàn)橄葘?duì)y=-x²+x進(jìn)行直接求導(dǎo)，然后把（2，1）直接帶入到其中，得到最終切線斜率k=-2，然后帶入得解y=-2x+1。在這種錯(cuò)誤解題思維中，首先解題人沒有判斷（2，1）是否存在于曲線，，所以不能將其直接導(dǎo)入到切線方程中。因此正確完整的解題過程應(yīng)該是先設(shè)定一個(gè)切點(diǎn)Q（x_a，y_a），然后把（2，1）帶入，得到y(tǒng)a=-x_a²+x_a，然后求得斜率為k=f‘=-2x_a+1，根據(jù)斜線定義求知k=y_a-1/x_a-1，最終得到x_a=0或者x_a=2。切線方程為y=x以及y=-7x+8。

四、導(dǎo)數(shù)定義域易錯(cuò)點(diǎn)

很多同學(xué)在學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)知識(shí)以后，利用其對(duì)極值求解的時(shí)候忽視了函數(shù)變量自身定義域在其中起到的作用，定義域代表了函數(shù)發(fā)生變化的有效區(qū)間，同時(shí)也是一個(gè)函數(shù)意義構(gòu)成的重要組成部分，如果在解題時(shí)未能重視這一方面內(nèi)容就會(huì)導(dǎo)致解題過程出現(xiàn)概念性的失誤，例如：在求函數(shù)f（x）=In（1+x）=x函數(shù)單調(diào)性的時(shí)候，如果忽視定義域就會(huì)導(dǎo)致很多同學(xué)會(huì)第一時(shí)間對(duì)f（x）=In（2+x）=x進(jìn)行求導(dǎo)處理，然后得到f'（x）=1/x+2-1，則f'（x）=0，最終得到x=0，利用得出的x=0可知，如果f（x）>0的時(shí)候則x>0，反之f（x）<0，x<0。然后判斷題目中f（x）=In（2+x）=x的極值為x=0，且f（x）=In（2+x）=x在（-∞，0）范圍內(nèi)為單調(diào)遞增，而在（+∞，0）范圍內(nèi)做單調(diào)遞減。從上述錯(cuò)誤解題思維中可以發(fā)現(xiàn)，在忽視定義域后對(duì)f（x）=In（2+x）=x進(jìn)行求解，就很容易忽視題目中（-2，+∞）定義域，所以在解題過程中也沒有強(qiáng)調(diào)原函數(shù)變量的重要性，定義域的變化沒被計(jì)算在其中，因此就導(dǎo)致整體解題思路以及最終得出結(jié)果發(fā)生錯(cuò)誤，而正確的結(jié)果則是f（x）=In（2+x）=x在（-1，+∞）范圍內(nèi)做單調(diào)遞減。在實(shí)際運(yùn)算過程中很多同學(xué)第一時(shí)間看到這種類型題都會(huì)覺得很簡(jiǎn)單，所以會(huì)疏忽定義域的理解，最終造成結(jié)果錯(cuò)誤。

結(jié)論

綜上所述，想要提高自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，就需要從熟記定義與概念開始，牢記知識(shí)點(diǎn)并通過練習(xí)累積實(shí)際應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用范圍十分廣泛，對(duì)于瞬時(shí)變化率、斜率、函數(shù)單調(diào)性等問題的解決均都起著重要作用，可以說其應(yīng)用貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，對(duì)于提高成績(jī)，調(diào)動(dòng)思維能力均有積極意義。

【參考文獻(xiàn)】

[1]闞曉寶.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2018（10）：45

[2]何金建.高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題方法與策略探討[J].數(shù)理化解題研究，2018（22）：6-7