定位方案三維穩(wěn)健性分析及一般解推導(dǎo)

林 嘉, 楊夫勇, 鄭 丞, 金 隼

(1. 上海交通大學(xué) 上海市復(fù)雜薄板結(jié)構(gòu)數(shù)字化制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200240;2. 上海飛機(jī)制造有限公司 制造工程部, 上海 200436)

幾何精度對(duì)機(jī)械產(chǎn)品的外觀、性能及其生產(chǎn)效率都有直接的影響, 是衡量產(chǎn)品制造質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo). 作為工件加工、裝配和測(cè)量過(guò)程的基本環(huán)節(jié), 定位過(guò)程產(chǎn)生的誤差是最終產(chǎn)品幾何誤差的一個(gè)重要來(lái)源, 其主要受到2類(lèi)因素的影響: ① 零部件及工裝夾具上定位基準(zhǔn)的制造誤差等上游因素; ② 定位方案等工藝因素. 通過(guò)對(duì)定位方案的穩(wěn)健設(shè)計(jì), 降低定位誤差對(duì)定位基準(zhǔn)制造誤差的敏感度, 是提高工件定位精度并最終提高產(chǎn)品制造質(zhì)量的一種重要手段.

圍繞定位方案穩(wěn)健設(shè)計(jì), 國(guó)內(nèi)外的學(xué)者開(kāi)展了大量的研究. 從剛性零件定位約束的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析入手, 文獻(xiàn)[1-3]中研究了零件的確定性定位和完全約束. 文獻(xiàn)[4-5]中建立了夾具定位點(diǎn)和零件的接觸約束方程, 在此基礎(chǔ)上采用線(xiàn)性微分法建立了三維工件定位誤差分析模型, 為空間三維定位方案的穩(wěn)健設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ). 在穩(wěn)健定位方案求解方面, Cai等[4]采用非線(xiàn)性規(guī)劃的方法求解三維工件的穩(wěn)健定位方案； Wang[6]采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法對(duì)定位方案進(jìn)行了比較和優(yōu)選； Huang等[7]提出了一種可變順序空間填充算法來(lái)搜索定位方案的最優(yōu)解. 針對(duì)工件定位的穩(wěn)定性, 姜昂等[8]采用遺傳算法搜索最佳定位點(diǎn)； Wang等[9]將穩(wěn)健性和穩(wěn)定性同時(shí)作為定位方案的優(yōu)化目標(biāo), 比較了遺傳算法和蟻群算法求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的效果. 針對(duì)多工位裝配的定位方案穩(wěn)健設(shè)計(jì), Tian等[10]采用遺傳算法進(jìn)行求解； Vasundara等[11]提出了一種結(jié)合遺傳算法和漢默斯里序列抽樣的2步優(yōu)化策略； Tyagi等[12]提出了一種基于局部增量算法的啟發(fā)式優(yōu)化算法. 由于三維定位誤差分析模型參數(shù)眾多、形式復(fù)雜, 所以上述研究多采用數(shù)值的方法搜索求解穩(wěn)健方案. 數(shù)值方法的局限性在于只能獲得各設(shè)計(jì)參數(shù)以具體的數(shù)值形式表示的特解， 而無(wú)法獲得以各參數(shù)相互關(guān)系式表示的一般解, 因此難以直觀嚴(yán)格地揭示共性規(guī)律.

本文針對(duì)三維空間定位, 結(jié)合常用的工程條件和習(xí)慣, 在引入2個(gè)附加假設(shè)對(duì)三維定位誤差分析模型進(jìn)行簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上, 對(duì)定位方案的穩(wěn)健性進(jìn)行解析分析并求解其優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般解, 以揭示其中的共性規(guī)律, 供設(shè)計(jì)人員參考.

1 三維定位誤差分析模型及其簡(jiǎn)化

針對(duì)三維工件的6點(diǎn)確定性定位, 在剛性及小位移假設(shè)下, 推導(dǎo)了定位誤差與定位參數(shù)(6個(gè)定位點(diǎn)的位置坐標(biāo)、控制方向)及定位點(diǎn)制造誤差之間的定量關(guān)系[4]:

式(1)是一個(gè)通用模型, 參數(shù)眾多，形式復(fù)雜, 很難進(jìn)行解析上的分析.本文結(jié)合常用的工程條件和習(xí)慣, 引入2個(gè)附加假設(shè)對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化.

假設(shè)1定位點(diǎn)垂直于其控制方向的制造誤差可忽略.

[δxiδyiδzi]=

(2)

(3)

(4)

把式(2)～(4)代入式(1), 可得

(5)

可見(jiàn), 垂直于控制方向的誤差對(duì)測(cè)點(diǎn)誤差的影響可以忽略. 式(1)可簡(jiǎn)化為

(6)

圖1 定位點(diǎn)制造誤差的分解Fig.1 Decomposition of the geometric error at a locator

這一現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于在推導(dǎo)式(1)的過(guò)程中, 在小位移假設(shè)的基礎(chǔ)上以工件在定位點(diǎn)處的切平面來(lái)表征工件在該處的實(shí)際表面[4]， 假設(shè)1實(shí)質(zhì)上是小位移假設(shè)的一個(gè)延伸.

假設(shè)2定位點(diǎn)控制方向與坐標(biāo)軸方向平行.

為了降低定位點(diǎn)設(shè)置不當(dāng)帶來(lái)的影響, 在工程中定位點(diǎn)的控制方向往往設(shè)計(jì)成與全局或工件坐標(biāo)系的坐標(biāo)網(wǎng)格(軸)平行或近似平行[13], 如圖2所示. 這在汽車(chē)制造業(yè)中稱(chēng)之為網(wǎng)格平行性準(zhǔn)則[13], 本文將該條件作為第2個(gè)假設(shè)引入.

圖2 控制方向平行于坐標(biāo)軸的定位點(diǎn)Fig.2 Locators with control parallel to the axes of coordinate system

不失一般性地, 假設(shè)第1定位方向?yàn)閦向, 第2定位方向?yàn)閥向, 第3定位方向?yàn)閤向. 在本文的后續(xù)推導(dǎo)中將沿用此假設(shè). 6個(gè)定位點(diǎn)的控制方向具體為

(7)

把式(7)代入式(6), 最終可得

(8)

式(8)相對(duì)式(1)形式大為簡(jiǎn)化, 設(shè)計(jì)參數(shù)亦由36個(gè)減少至12個(gè), 使解析分析和求解成為可能.

2 定位方案穩(wěn)健性分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)

對(duì)簡(jiǎn)化后的Jacobian矩陣求逆, 由式(8)可得

(9)

式中:

2.1 定位方案穩(wěn)健性的影響因素

由式(9)可知, 工件的定位誤差由定位點(diǎn)的位置以及定位點(diǎn)的制造誤差共同決定, 其中定位點(diǎn)的位置決定了定位方案的穩(wěn)健性. 根據(jù)式(9)的具體形式, 可以得出以下結(jié)論:

(1) 在遵循網(wǎng)格平行性準(zhǔn)則的情況下, 各個(gè)定位點(diǎn)沿其控制方向的位置對(duì)工件定位誤差沒(méi)有影響. 即式(9)中沒(méi)有出現(xiàn)的z1、z2、z3、y4、y5和x6不影響定位方案的穩(wěn)健性.

圖3所示為沿控制方向定位點(diǎn)的位置變動(dòng), 實(shí)線(xiàn)定位點(diǎn)和虛線(xiàn)定位點(diǎn)分別表示2套不同的定位方案. 這2套方案的定位點(diǎn)位置只在沿其控制方向上存在差異, 而穩(wěn)健性則完全相同.

(2) 控制第1定位方向的3個(gè)定位點(diǎn), 沿其控制方向的投影三角形面積不能為0; 控制第2定位方向的2個(gè)定位點(diǎn), 沿第3定位方向的坐標(biāo)不能相等. 即

圖3 沿控制方向的定位點(diǎn)位置變動(dòng)Fig.3 Positional variation of locators along their controlling directions

(x4-x5)(y2x1+y3x2+y1x3-

y1x2-y2x3-y3x1)≠0

(10)

(3) 工件沿第1定位方向的定位誤差只與控制該方向的3個(gè)定位點(diǎn)的位置和制造誤差有關(guān); 沿第2定位方向的定位誤差只與控制第1、第2定位方向的5個(gè)定位點(diǎn)的位置和制造誤差有關(guān); 沿第3定位方向的定位誤差與所有6個(gè)定位點(diǎn)的位置和制造誤差都有關(guān).

(4) 特別地, 對(duì)于平板工件, 由于工件本身形狀的特點(diǎn), 6個(gè)定位點(diǎn)沿第1定位方向的坐標(biāo)滿(mǎn)足

z1=…=z6=z

(11)

把式(11)代入式(9), 可得

(12)

觀察式(12)中的傳遞矩陣可知, 此時(shí)矩陣的第1～3列只與控制第1定位方向的3個(gè)定位點(diǎn)的位置有關(guān), 矩陣的第4～6列只與控制第2、第3定位方向的另外3個(gè)定位點(diǎn)位置有關(guān). 2組定位點(diǎn)之間不存在對(duì)定位誤差的交互作用, 其布置優(yōu)化可分別進(jìn)行.

2.2 定位方案穩(wěn)健設(shè)計(jì)的一般解

本文僅針對(duì)單測(cè)點(diǎn)的情況, 穩(wěn)健設(shè)計(jì)的目標(biāo)為位于坐標(biāo)系原點(diǎn)的測(cè)點(diǎn)沿3個(gè)坐標(biāo)軸方向定位誤差的波動(dòng)總和最小.某最穩(wěn)健定位方案如圖4所示.

圖4 某最穩(wěn)健定位方案Fig.4 A most robust locating scheme

假設(shè)6個(gè)定位點(diǎn)具有相同的制造精度, 沿其控制方向制造誤差的方差D(δi)=σ2, 由式(9)可得

D=D(δx0)+D(δy0)+D(δz0)=

(13)

式中：

ε2=y3x2-y2x3

ε3=y1x3-y3x1

ε4=y2x1-y1x2

(1) 由式(9)和(13)可知, 控制第3定位方向的定位點(diǎn)6, 其坐標(biāo)y6和z6僅對(duì)D(δx0)有影響. 對(duì)

(14)

f1y6+f2z6=0，f3z6+f4y6=0

(15)

式中:

f1，f2，f3和f4是與y6和z6無(wú)關(guān)的函數(shù), 且f1f3≠f2f4, 為保證式(15)成立需滿(mǎn)足

y6=0，z6=0

(16)

式(16)的物理含義為, 控制第3定位方向的1個(gè)定位點(diǎn), 沿該方向的投影與測(cè)點(diǎn)重合, 如圖4中的C1點(diǎn). 將式(16)代入式(14), 等號(hào)成立; 將式(16)代入式(9), 第1行的前5個(gè)元素為0. 此時(shí), 測(cè)點(diǎn)沿該第3定位方向的定位誤差僅與控制該方向的1個(gè)定位點(diǎn)有關(guān), 并且其方差D(δx0)取得最小值σ2.

(2) 當(dāng)式(16)滿(mǎn)足時(shí), 由式(9)和(13)可知, 控制第2定位方向的定位點(diǎn)4和5, 其坐標(biāo)x4、z4、x5和z5僅對(duì)D(δy0)有影響. 對(duì)

(17)

f5ε1=0

(18)

式中:

f5為與變量ε1無(wú)關(guān)的函數(shù), 為保證式(18)成立，需滿(mǎn)足

ε1=z4x5-z5x4=0

(19)

(20)

聯(lián)立式(20)中的2個(gè)方程并結(jié)合式(10), 可得

(21)

進(jìn)一步可得

x4+x5=0

(22)

式(19)和(22)的物理含義為, 控制第2定位方向的2個(gè)定位點(diǎn), 沿該方向投影線(xiàn)段的中點(diǎn)與測(cè)點(diǎn)重合, 如圖4中B1和B2點(diǎn). 把式(19)和(22)代入式(17), 等號(hào)成立; 把式(19)代入式(9), 第2行的前3個(gè)元素為0. 此時(shí), 測(cè)點(diǎn)沿第2定位方向的定位誤差僅與控制該方向的2個(gè)定位點(diǎn)有關(guān), 且其方差D(δy0)取得最小值σ2/2.

(3) 當(dāng)式(16)、(19)和(22)滿(mǎn)足時(shí), 由式(9)和(13)可知, 控制第1定位方向的定位點(diǎn)1、2、3, 其坐標(biāo)x1、y1、x2、y2、x3、y3僅對(duì)D(δz0)有影響,

在手機(jī)應(yīng)用、互聯(lián)網(wǎng)服務(wù)器以及運(yùn)營(yíng)商核心網(wǎng)引入網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)數(shù)據(jù)的收集、模型運(yùn)算以及QoS調(diào)用的準(zhǔn)入功能,能有效確保用戶(hù)感知指標(biāo),有利于運(yùn)營(yíng)商能力開(kāi)放業(yè)務(wù)的順利開(kāi)展。本文成果主要以手機(jī)游戲?yàn)閼?yīng)用對(duì)象,在移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)中不同

(23)

(24)

聯(lián)立式(24)中的3個(gè)方程并結(jié)合式(10)可得

(25)

進(jìn)一步可得

ε2=ε3=ε4

(26)

將式(26)代入式(23), 等號(hào)成立. 由ε2,ε3,ε4的表達(dá)式以及式(26)可得

(27)

式(27)的物理含義為, 控制第1定位方向的3個(gè)定位點(diǎn), 沿該方向的投影三角形的形心與測(cè)點(diǎn)重合, 如圖4中的A1、A2和A3點(diǎn). 此時(shí), 測(cè)點(diǎn)沿第1定位方向定位誤差的方差D(δz0)取得最小值σ2/3.

需要注意的是, 同時(shí)滿(mǎn)足式(16)、(19)、(22)和(27)的最穩(wěn)健定位方案有無(wú)數(shù)種, 而圖4中所示的方案只是其中的一種.

3 算例

3.1 某平板工件定位方案比較及VisVSA分析驗(yàn)證

VisVSA是工程中常用的主流商用3維偏差分析軟件之一, 其算法以Monte Carlo模擬為基礎(chǔ), 在抽樣次數(shù)較高的情況下具有很高的收斂精度. 由3定位塊+1四向銷(xiāo)+1二向銷(xiāo)構(gòu)成的一面兩銷(xiāo)定位是最經(jīng)典的定位方式之一, 同時(shí)在分析中也易于轉(zhuǎn)化為6點(diǎn)定位的形式. 本文以采用該定位方式的某平板工件為例, 針對(duì)多種定位布置方案, 分別根據(jù)前文分析推導(dǎo)得到的結(jié)論以及商用3維偏差分析軟件VisVSA的定量分析結(jié)果, 對(duì)其穩(wěn)健性進(jìn)行比較, 以驗(yàn)證前文結(jié)論的準(zhǔn)確性.

該平板工件及其定位方案如圖5所示. 坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)在測(cè)點(diǎn)處, 垂直紙面方向?yàn)閦向; 在分析中, 二向銷(xiāo)和四向銷(xiāo)分別轉(zhuǎn)化為控制其短軸方向和2個(gè)相互垂直方向的定位點(diǎn), 不考慮孔銷(xiāo)配合間隙; 各定位點(diǎn)的制造誤差皆服從正態(tài)分布N(0, 1). 其中：方案1是根據(jù)2.2節(jié)的分析結(jié)論布置的最優(yōu)定位方案；方案2在方案1的基礎(chǔ)上, 將二向銷(xiāo)的位置沿其控制方向進(jìn)行了平移. 根據(jù)2.1節(jié)的分析結(jié)論, 定位點(diǎn)沿其控制方向的位置變動(dòng)對(duì)定位精度無(wú)影響, 其定位精度應(yīng)與方案1一致.

圖5 某平板工件的4種定位方案Fig.5 4 different locating schemes of a plate workpiece

方案4在方案3的基礎(chǔ)上, 對(duì)3個(gè)定位塊的位置進(jìn)行了調(diào)整, 使投影三角形的形心偏離測(cè)點(diǎn). 根據(jù)2.2節(jié)的分析結(jié)論, 測(cè)點(diǎn)沿第1定位方向即z向的定位精度將降低.

利用VisVSA計(jì)算這4種方案下的定位精度, Monte Carlo模擬抽樣次數(shù)為 5 000 次, 結(jié)果如表1

表1 各方案VisVSA及本文方法定位精度分析結(jié)果Tab.1 Analyzed geometric variations from VisVSA and the proposed method under different locating schemes

所示. 此外, 表1中同時(shí)列出了直接結(jié)合式(9)和統(tǒng)計(jì)法得到的計(jì)算結(jié)果.

由表1可見(jiàn)：VisVSA對(duì)各方案定位精度的比較結(jié)果與本文的比較結(jié)果完全吻合；結(jié)合式(9)和統(tǒng)計(jì)法得到的定量分析結(jié)果與VisVSA的定量分析結(jié)果也非常接近.

3.2 某飛機(jī)后機(jī)身沖壓排氣管安裝定位方案優(yōu)化

利用前文分析推導(dǎo)的結(jié)論對(duì)某飛機(jī)后機(jī)身沖壓排氣管的安裝定位方案進(jìn)行優(yōu)化. 該沖壓排氣管與上游管道采用軟管進(jìn)行連接, 配合精度要求不高. 安裝過(guò)程存在的主要風(fēng)險(xiǎn)是安裝到蒙皮后因誤差過(guò)大而導(dǎo)致的與其前側(cè)斜框的間距過(guò)小, 這將可能在飛機(jī)飛行過(guò)程中由于晃動(dòng)而發(fā)生干涉.

當(dāng)前沖壓排氣管的安裝定位方案如圖6所示. 第1基準(zhǔn)為法蘭面A, 第2基準(zhǔn)為法蘭面上的定位孔B0, 第3基準(zhǔn)為開(kāi)口中心人工對(duì)齊點(diǎn)C0. 以下對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化: 由于結(jié)構(gòu)限制, 其第1基準(zhǔn)難以更改; 而根據(jù) 2.2 節(jié)的分析結(jié)論, 應(yīng)選擇可能干涉方向作為第2定位方向以加強(qiáng)對(duì)該方向定位精度的控制, 且控制該方向的2個(gè)定位點(diǎn)的布置使得可能干涉位置沿該方向的投影盡量靠近兩定位點(diǎn)的中點(diǎn). 優(yōu)化后的第2、第3基準(zhǔn)為圖6中的B、C點(diǎn), 分別為法蘭面上的2個(gè)定位孔.

圖6 某飛機(jī)后機(jī)身沖壓排氣管Fig.6 A stamp exhaust pipe at the rear fuselage

為了驗(yàn)證優(yōu)化效果, 利用VisVSA分別對(duì)2種方案進(jìn)行裝配精度分析. 主要模擬參數(shù): 后機(jī)身包括蒙皮和斜框加強(qiáng)件作為基件, 沖壓排氣管作為被安裝件; 各零件相關(guān)關(guān)鍵特征的公差如表2所示.表中: 蒙皮和斜框加強(qiáng)件的公差為其在后機(jī)身部件狀態(tài)下的公差; 可能干涉位置的配合間距要求不小于4 mm; Monte Carlo模擬抽樣次數(shù)為 5 000 次. 另外, 為了使定位方案本身更具可比性, 在原方案的模擬中將開(kāi)口中心人工對(duì)齊點(diǎn)的位置度公差參照定位孔亦分別設(shè)置為1和 0.5 mm.

在VisVSA中建立的模型及其分析結(jié)果如表3所示. 在對(duì)其他參數(shù)不作調(diào)整, 僅對(duì)第2、第3基準(zhǔn)的位置進(jìn)行優(yōu)化的情況下, 兩處可能干涉位置配合間距的超差率和標(biāo)準(zhǔn)差都有所降低.

表2 各零件關(guān)鍵特征公差

Tab.2 Assigned tolerances on the key characteristics of the mating parts

零部件關(guān)鍵特征制造公差/mm蒙皮 內(nèi)形面輪廓度5排氣管定位孔位置度1開(kāi)口中心人工對(duì)齊點(diǎn)位置度2斜框加強(qiáng)件外表面輪廓度2法蘭面輪廓度1沖壓排氣管定位孔位置度0.5開(kāi)口中心人工對(duì)齊點(diǎn)位置度1排氣管外表面輪廓度1

表3 VisVSA裝配精度分析結(jié)果Tab.3 Analyzed assembly variations from VisVSA

4 結(jié)語(yǔ)

現(xiàn)有關(guān)于三維定位方案穩(wěn)健設(shè)計(jì)的研究多使用數(shù)值方法進(jìn)行求解. 數(shù)值解法適應(yīng)性強(qiáng), 而解析分析及通過(guò)解析分析獲得的一般解能更直觀嚴(yán)格地揭示共性規(guī)律. 本文結(jié)合常用的工程條件和習(xí)慣引入2個(gè)附加假設(shè), 在對(duì)三維確定性定位誤差分析模型進(jìn)行簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上, 用解析的方法分析了定位方案穩(wěn)健性的影響因素, 并針對(duì)單測(cè)點(diǎn)的定位誤差控制, 求解了定位點(diǎn)最穩(wěn)健布置的一般解.此外，得到了以下一些三維工件空間定位方案穩(wěn)健設(shè)計(jì)的一般規(guī)律:

(1) 在遵循網(wǎng)格平行性準(zhǔn)則的情況下, 各定位點(diǎn)沿其控制方向在何處布置對(duì)定位精度沒(méi)有影響;

(2) 定位點(diǎn)沿其他2個(gè)方向的最佳位置, 應(yīng)使得控制同一方向的各定位點(diǎn)沿該方向的幾何投影形心與測(cè)點(diǎn)重合;

(3) 在滿(mǎn)足規(guī)律(2)且假定各定位點(diǎn)制造精度相同的情況下, 測(cè)點(diǎn)沿第1定位方向的定位精度最高, 第2定位方向次之, 第3定位方向最低, 其比例關(guān)系為1/3∶1/2∶1.

掌握這些規(guī)律可以幫助工程技術(shù)人員理解、評(píng)估設(shè)計(jì)方案的影響, 從而設(shè)計(jì)出更為穩(wěn)健的定位方案.