考慮孔徑分布的低滲透煤層氣體滲透率計(jì)算模型

李立功，張曉雨，李 超，張潤(rùn)旭，康天合

(太原理工大學(xué) 原位改性采礦省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030024)

滲透率在油氣田開發(fā)中起著十分重要的作用。井的數(shù)量、井間距的確定和儲(chǔ)層改造方式的選取等都離不開滲透率的準(zhǔn)確獲取[1]。目前，獲得儲(chǔ)層滲透率的途徑主要有巖芯實(shí)驗(yàn)室測(cè)量滲透率[2-3]、地震解釋滲透率[4]、電纜地層測(cè)試滲透率[5]、鉆桿地層測(cè)試滲透率[6]以及測(cè)井解釋滲透率等方法。但前幾種方法相對(duì)于測(cè)井解釋獲取滲透率，其成本較高，且受到各種限制。因此，在地層評(píng)價(jià)中常常利用測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)來獲取連續(xù)的地層滲透率資料[7-8]。核磁共振測(cè)井技術(shù)[9-10]為基于測(cè)量信號(hào)直接反映儲(chǔ)層孔隙度分布的測(cè)量方法，不僅能夠測(cè)量孔隙度的大小，還能夠識(shí)別不同孔隙直徑所對(duì)應(yīng)的孔隙度，最終得到不同孔隙類型及分布狀況，然后通過孔隙與滲透率的關(guān)系，建立測(cè)井滲透率模型，進(jìn)而獲取儲(chǔ)層滲透率。采用測(cè)井方法可以較為全面的獲取儲(chǔ)層滲透率，但測(cè)井方法求取的滲透率的準(zhǔn)確度主要依賴于建立孔隙結(jié)構(gòu)與滲透率關(guān)系計(jì)算模型。因此，研究?jī)?chǔ)層孔隙結(jié)構(gòu)與滲透率之間的關(guān)系，建立孔隙結(jié)構(gòu)與滲透率關(guān)系模型是測(cè)井方法準(zhǔn)確獲取滲透率的關(guān)鍵。目前常用的滲透率模型大都是基于平均孔隙半徑所建立的，如KLINKENBERG[11]、BESKOK和KARNIADAKIS[12]、COATES[13]、JAVADPOUR[14]、CIVAN[15]、ZIARANI[16]、李立功[17]等依據(jù)巖石的宏觀孔隙率或者將巖石孔隙等效為n個(gè)半徑相同的毛細(xì)管，并基于不同假設(shè)條件下的微管模型提出了氣體滲透率計(jì)算公式。CAO[18]、BANAVAR[19]、LATOUR[20]、BERNABY[21]、韓玉嬌[22]等在研究低滲透儲(chǔ)層滲透率時(shí)發(fā)現(xiàn)采用平均孔徑計(jì)算的滲透率與實(shí)測(cè)值有較大差異，對(duì)于常規(guī)儲(chǔ)層而言，其孔喉相對(duì)均勻，采用平均孔喉半徑來研究?jī)?chǔ)層滲透率準(zhǔn)確度較好，但對(duì)于孔隙結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的低滲透儲(chǔ)層而言，孔喉分布與常規(guī)儲(chǔ)層有明顯的區(qū)別，孔隙結(jié)構(gòu)較常規(guī)儲(chǔ)層復(fù)雜的多，呈現(xiàn)強(qiáng)烈的非均質(zhì)性特征，采用平均孔徑來計(jì)算儲(chǔ)層滲透率，忽略了儲(chǔ)層孔隙分布特征這一關(guān)鍵因素，其計(jì)算結(jié)果與儲(chǔ)層真實(shí)滲透率可能存在較大差距。

鑒于此，筆者針對(duì)我國(guó)山西地區(qū)低滲透煤層孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜的特點(diǎn)，提出利用核磁測(cè)井T2頻譜測(cè)得的孔隙分布資料，建立考慮孔徑分布特征的低滲透煤儲(chǔ)層氣體滲透率計(jì)算模型，使用實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性;以孔徑分布符合高斯分布為例，分析孔隙分布特征對(duì)低滲透煤儲(chǔ)層滲透率的影響，比較新模型與基于平均孔徑計(jì)算滲透率的差異，分析新模型的適用性。

1 模型建立

1.1 基本假設(shè)

為了便于描述，對(duì)模型做如下假設(shè):① 低滲透煤儲(chǔ)層孔隙可以等效為不同孔徑的微管，且各管之間不連通，微管長(zhǎng)度為l=τL，其中τ為微管迂曲度;L為試件長(zhǎng)度，如圖1所示;② 微管不可壓縮，即不考慮孔隙壓力變化引起的孔隙半徑變化;③ 不考慮氣體吸附、解吸引起的孔隙半徑變化。

圖1 低滲透煤儲(chǔ)層等效孔隙示意Fig.1 Equivalent pores of low permeability coal reservoir

1.2 考慮滑脫效應(yīng)的單個(gè)微管流量計(jì)算

依據(jù)Klinkenberg給出在時(shí)間t內(nèi)單個(gè)微管在半徑r0到r0+dr區(qū)域流過的氣體體積[11]為

(1)

式中，μ為氣體黏度，Pa·s;p為壓力，MPa;c為比例因子，一般取0.9，無量綱;λ為平均分子自由程，m。

通過整個(gè)微管橫截面積的體積為

(2)

根據(jù)氣體狀態(tài)方程，單位時(shí)間內(nèi)微管中壓力p與氣體物質(zhì)的量n的關(guān)系為

(3)

式中，R為普氏氣體常數(shù)，J/(mol·K);T為溫度，K;n為物質(zhì)的量，mol。

將式(3)代入式(2)，整個(gè)毛細(xì)管長(zhǎng)度上壓力與物質(zhì)的量的關(guān)系為

(4)

(5)

式中，p為毛細(xì)管內(nèi)氣體平均壓力;p1為進(jìn)口壓力，MPa;p2為出口壓力，MPa。

將式(5)代入式(4)得

(6)

理想氣體平均分子自由程λ的計(jì)算公式[23-24]為

(7)

將式(5)代入式(7)得

(8)

其中，M為氣體分子的質(zhì)量,g/mol。將式(8)代入(6)得半徑為r0的單個(gè)微管在進(jìn)口壓力p1出口壓力p2時(shí)的氣體流量Qg為

(9)

1.3 低滲透煤儲(chǔ)層氣體滲透率模型

將儲(chǔ)層孔隙等效為n1個(gè)孔徑為r1,n2個(gè)孔徑為r2，…，nn個(gè)孔徑為rn的幾何體，假設(shè)半徑為ri的孔，其分布頻率為f(ri)，則ni可表示為

(10)

其中，φ為儲(chǔ)層孔隙率。通過ni個(gè)半徑為ri孔的總流量Qg(ri)為

(11)

通過儲(chǔ)層的總流量Qg可表示為

(12)

對(duì)于氣體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)，其流量可表示為

(13)

由式(12)，(13)得考慮孔徑分布的氣體滲透率計(jì)算表達(dá)式為

(14)

2 模型驗(yàn)證

采用山西西山煤田古交區(qū)塊8號(hào)低滲透煤樣孔徑分布及氣體滲透率測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證。核磁共振測(cè)井作為目前惟一能夠表征儲(chǔ)層孔隙結(jié)構(gòu)的測(cè)井方法，具有快速、無損害、可重復(fù)等優(yōu)點(diǎn)，能夠?qū)崿F(xiàn)致密巖石微米-納米級(jí)孔隙的高精度測(cè)量[25-26]。因此，本試驗(yàn)孔徑分布測(cè)試采用核磁共振T2譜獲取。試驗(yàn)使用儀器為上海紐邁公司生產(chǎn)的MesoMR23-060H-I型核磁共振儀，共振頻率為21.68 MHz，射頻脈沖頻率21.68 MHz。將現(xiàn)場(chǎng)取回煤樣制成φ25 mm ×60 mm 的規(guī)格制成圓柱形煤樣，將煤樣放在干燥箱中干燥12 h以上，將干燥過后的煤樣放入核磁共振儀中采集樣品的T2頻譜，將采集的T2頻譜通過式(15)獲取孔徑分布[27-28]:

(15)

式中，F(xiàn)s稱為幾何形狀因子，對(duì)球狀孔隙，F(xiàn)s=3;對(duì)柱狀管道，F(xiàn)s=2;ρ2為巖石的橫向表面弛豫強(qiáng)度，μm/ms。

不同煤樣核磁共振孔徑分布如圖2所示。

基于平均孔徑計(jì)算氣體滲透率計(jì)算采用Klinkenberg給出的氣體滲透率式(KLINKENBERG L J，1941):

(16)

(17)

考慮孔徑分布?xì)怏w滲透率計(jì)算依據(jù)式(14)。

圖3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)、模型計(jì)算數(shù)據(jù)及平均半徑計(jì)算滲透率比較Fig.3 Comparison of test data,model calculation data and average radius calculation permeability

圖4 滑脫系數(shù)隨孔徑變化關(guān)系示意Fig.4 Schematic diagram of the relationship between slip factor and pore diameter

3 孔徑分布特征對(duì)氣體滲透率的影響——以孔徑分布符合高斯分布為例

為了方便計(jì)算，假設(shè)孔徑與孔徑分布頻率滿足高斯函數(shù)，則低滲透煤儲(chǔ)層孔徑分布頻率可表示為

(18)

3.1 孔徑分布標(biāo)準(zhǔn)差σ對(duì)氣測(cè)滲透率的影響

3.1.1影響規(guī)律

假設(shè)孔隙率φ=12%不變，期望ν=0.5，標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.05,0.07,0.10,0.13和0.18時(shí)，孔徑分布如圖5所示。

圖5 期望為0.5時(shí)不同標(biāo)準(zhǔn)差下的孔徑分布Fig.5 Pore diameter distribution diagram for different standard deviations under the expectation is 0.5

圖6 考慮孔徑分布與基于平均孔徑計(jì)算滲透率隨標(biāo)準(zhǔn)差變化Fig.6 Considering the pore size distribution and the variation of calculated permeability with standard deviation based on average pore size

圖7為不同標(biāo)準(zhǔn)差下新模型計(jì)算結(jié)果與基于平均孔徑計(jì)算結(jié)果差異隨標(biāo)準(zhǔn)差變化關(guān)系?？梢钥闯鲭S標(biāo)準(zhǔn)差的增加考慮孔徑分布與基于平均孔徑氣體滲透率計(jì)算模型計(jì)算的氣體滲透率差異逐漸增大，即在孔隙分布符合高斯分布時(shí)，低滲透煤樣的孔隙越集中兩者差異越小，孔隙分布越分散其差異越大。兩者差異由σ=0.05時(shí)的0.97%增加到σ=0.18時(shí)的11.78%。從考慮孔徑分布模型與基于平均孔徑模型計(jì)算氣體滲透率結(jié)果的差異可以看出，在研究孔隙較為均勻的常規(guī)儲(chǔ)層時(shí)，即標(biāo)準(zhǔn)差σ較小時(shí)，基于平均孔徑方法計(jì)算的滲透率往往誤差較小，采用平均孔徑計(jì)算氣體滲透率基本能滿足預(yù)測(cè)需要，但對(duì)于孔隙分布較為復(fù)雜的低滲透煤儲(chǔ)層而言，即σ較大時(shí)，孔隙越復(fù)雜(σ越大)其計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確度越差，此時(shí)孔徑分布特征對(duì)滲透率的影響不容忽視，在計(jì)算低滲透煤儲(chǔ)層氣體滲透率時(shí)基于平均孔徑計(jì)算氣體滲透率已不能準(zhǔn)確獲取滲透率值，必須考慮孔隙分布特征對(duì)滲透率的影響。

圖7 考慮孔徑分布模型計(jì)算與基于平均孔徑模型計(jì)算的氣體滲透率差異率隨標(biāo)準(zhǔn)差變化關(guān)系Fig.7 Relationship between the gas permeability calculated by the new model and the difference of gas permeability calculated based on average pore diameter varies with standard deviation

3.1.2影響機(jī)理分析

對(duì)于半徑為r、長(zhǎng)度為l的單個(gè)微管而言，其在進(jìn)口壓力為p1，出口壓力p2(p1>p2)時(shí)通過單管的流量Qg(r)可將式(9)表示為

(19)

對(duì)Q(r)求二階導(dǎo)為

(20)

由于p1>p2，r>0，所以Q″(r)>0，根據(jù)二階倒數(shù)的性質(zhì)可知

Qg(r+dr)+Qg(r-dr)<2Qg(r)

(21)

因此，在計(jì)算氣體滲透率時(shí)考慮孔徑分布計(jì)算的滲透率略大于基于平均孔徑所計(jì)算的滲透率。在孔隙率和平均孔徑相同時(shí)，σ越大，偏離平均孔徑孔隙所占的比例越大，考慮孔隙分布和基于平均孔徑所計(jì)算的滲透率差異越大，基于平均孔徑所計(jì)算的滲透率誤差越大。

3.2 孔徑分布期望ν對(duì)氣體滲透率的影響

圖8 不同期望ν下的孔徑高斯分布Fig.8 Pore diameter of gaussian distribution under the different expectations ν

圖9 氣體滲透率隨期望變化關(guān)系Fig.9 Relationship between gas permeability and expectations

圖10 考慮孔徑分布與基于平均孔徑計(jì)算氣體滲透率差異率隨期望變化Fig.10 Difference between the new model and the calculated gas permeability based on average pore diameter varies with expectation

圖11 考慮孔徑分布與基于平均孔徑計(jì)算氣體滲透率隨壓力變化Fig.11 Change of gas permeability with pressure based on average pore diameter under the considers of the pore diameter distribution

3.3 氣體壓力對(duì)氣體滲透率的影響

圖11為孔徑分布為標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.1，ν=0.5時(shí)考慮孔徑分布與基于平均孔徑時(shí)氣體滲透率計(jì)算結(jié)果。由圖11 可以看出，隨著壓力的降低，氣體滲透率急劇增加，壓力越低滲透率增加幅度越大，這是由于氣體滑脫效應(yīng)的存在，壓力越低，氣體滑脫效應(yīng)越明顯，滲透率增加越快。兩種方式計(jì)算的滲透率在壓力大于1 MPa時(shí)，兩者差異不明顯，并且滲透率隨壓力減小變化均不大?？紤]孔徑分布計(jì)算的滲透率在壓力小于1 MPa后，滲透率變化模型，呈快速增加趨勢(shì);基于平均孔徑計(jì)算的滲透率在壓力小于0.2 MPa后才呈現(xiàn)快速增加趨勢(shì)。這是由于孔徑越小，滑脫效應(yīng)引起的滲透率變化量對(duì)壓力的變化越敏感，考慮孔徑分布滲透率計(jì)算模型考慮了小于平均孔徑滑脫效應(yīng)對(duì)滲透率的影響。

圖12為考慮孔徑分布與基于平均孔徑計(jì)算滲透率隨壓力變化的差異。由圖12可以看出，隨著壓力的降低，兩者差異越來越明顯，呈增大趨勢(shì)。這是由于小于平均孔徑孔在低壓時(shí)，滑脫效應(yīng)的增量隨孔徑變化的非線性關(guān)系，使得考慮孔隙分布計(jì)算的滲透率與基于平均孔徑計(jì)算的滲透率差異逐漸增大。

圖12 考慮孔徑分布與基于平均孔徑計(jì)算滲透率差異隨壓力變化Fig.12 Calculated permeability difference with pressure based on average pore diameter under the considers of the pore diameter distribution

4 結(jié) 論

(1)對(duì)于低滲透煤儲(chǔ)層而言，考慮孔徑分布特征的氣體滲透率計(jì)算結(jié)果較基于平均孔徑的氣體滲透率計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合度更好，計(jì)算結(jié)果更為精確。

(2)對(duì)于孔徑較小、孔隙分布復(fù)雜的低滲透煤儲(chǔ)層而言，采用理論計(jì)算的方法計(jì)算氣體滲透率時(shí)孔徑分布特征對(duì)氣體滲透率的影響不可忽略。

(3)在孔隙率和期望ν一定時(shí)，σ越大，低滲透煤儲(chǔ)層的氣測(cè)滲透率越大，與基于平均孔徑計(jì)算的氣體滲透率差異越大，當(dāng)σ=0.18時(shí)兩者計(jì)算結(jié)果差異可達(dá)11.78%;在孔隙率和標(biāo)準(zhǔn)差σ一定時(shí)，ν值越大，氣體滲透率越大，與基于平均孔徑計(jì)算的氣體滲透率差異越小;在孔隙率相同時(shí)，壓力越低考慮孔徑分布與基于平均孔徑計(jì)算的氣體滲透率差異越大。針對(duì)孔隙分布復(fù)雜的低滲透煤儲(chǔ)層，計(jì)算氣體滲透率時(shí)，新模型較基于平均孔徑模型更為準(zhǔn)確。