電阻的微觀機理及熱電現(xiàn)象的解釋

明子賀

摘要：本文從微觀視角出發(fā)，將電子的微觀運動分為熱運動和定向運動，解釋了電阻的形成原理，并通過一個非常巧妙的簡單方法，推導出導體兩端溫度不同時所形成的電勢差表達式，從而解釋了塞貝克效應，并給出熱電偶這一溫度計的工作原理。

關鍵詞：電阻;溫差電動勢;熱電現(xiàn)象;熱電偶

一、引言

在高中課本里，我們經(jīng)常會遇到電阻這樣一個概念，表示電子在運動過程中受到的阻礙作用，并且有歐姆定律成立。那么如何在微觀層面解釋電阻的形成機理，并給出歐姆定律成立的原因，這就需要在微觀層面描述電子在材料中的運動方式，我們發(fā)現(xiàn)，通過對電子的運動方式進行分類研究，不僅能夠用來解釋歐姆定律，實際上還可以結合熱力學中的相關規(guī)律和概念用來解釋和定量描述熱電現(xiàn)象中的相關規(guī)律。

二、電子在材料中的運動

電子在材料中的運動可分為熱運動及定向運動^[1]。熱運動即構成物質的大量微觀粒子（例如電子）所進行的不規(guī)則運動，溫度越高，微觀粒子無規(guī)則運動越劇烈，可以使用理想電子氣體來近似處理這些電子。定向運動即電子在電場力的作用下向某一方向的運動，這個運動形成了電流。利用這一觀點，我們可以從微觀上解釋電阻的機理。

如果我們認為在材料中，電子受到的阻力f和速度大小v成正比，方向和速度v方向相反，記作^[2]，其中a是比例系數(shù)，和具體的材料有關。此時，如果材料內(nèi)部有電場E，則電場力和阻力平衡時，電子達到定向運動的速度，，這就造成了一個定向運動的電流，所以

這一公式和我們高中學到的是一致的，而且我們給出了電阻率的表達式。通過這一公式，我們可以看出來，電阻的大小和材料的值有關，且越大，則電阻值越大，這和電阻的物理意義是一致的，因為電阻表示的是材料對于電子運動的阻礙作用。我們也可以看出，n越大，則電阻率越小，這也和預期一致，因為電子的濃度越大，導電性能顯然越好，也就意味著電阻小。

三、溫度差導致電勢差

當導電物質的兩端溫度不同時，在其兩端會產(chǎn)生一個電動勢，這個電動勢叫做溫差電動勢。我們可以從導電的微觀機理層面出發(fā)推導溫差電動勢的表達式。

首先，一個溫度均勻的導體，其各處溫度相等，因此是一個等勢體。其次如果考慮兩個不同溫度的相同材料導體相互接觸，或者說考慮一個導體上有兩個溫度不同的區(qū)域和（設），如圖1所示，此時溫度不同的兩個地方之間會有一個電勢差。這是因為，在區(qū)域，電子的熱運動更加劇烈，向區(qū)域移動的速度更大，所以單位時間內(nèi)高溫端向低溫端移動的電子數(shù)量更多，所以低溫端有電子積累，高溫端有正電荷積累，從而形成內(nèi)建電場，這個電場會阻礙電子繼續(xù)移動，最終平衡時，電子的凈流動消失，并在高溫端和低溫端形成了一個電勢差。

我們首先考慮溫度差導致的電流，一方面，區(qū)域的電子會向區(qū)域移動，造成向右的電子移動，也即向左的電流，其中是區(qū)域電子的平均速度;另一方面，區(qū)域的電子會向區(qū)域移動，造成向右的電流，其中是區(qū)域電子的平均速度，所以熱電流大小為，方向向右。

其次考慮內(nèi)建電場引起的電流。由于在溫度恒定的區(qū)域，導體是一個等勢體，所以之間的電勢差只分布在交界處，這一段區(qū)間上溫度由變化到，其長度為平均自由程^[3]，根據(jù)歐姆定律可以知道，這個電勢差在交界處所引起的電流為，其中表示的是交界處溫度變化的區(qū)域的電阻大小。電勢差造成的電流方向必須向左才能夠抵消熱電流，也就意味著電勢。

現(xiàn)在要求凈電流為0，所以有

這就是溫差電動勢。

如果這塊密度均勻的導體從左至右可以分為三塊等溫區(qū)域（），那么在交界處就會有：，在交界處就會有;由此可以得出，也就說明在兩端溫度為和的情況下，該導體兩端的電勢差與無關，只與該導體兩端溫度差導致的速度差有關。

在現(xiàn)實中，加熱導體一端導致溫度在此導體中是連續(xù)變化的，也就是說并不存在嚴格溫度恒定的一段長度，這段導體中每一段的溫度都是不同的。但是，我們可以把這段導體從左到右分為很多個區(qū)域，每段區(qū)域的長度趨近于零，但大于等于電子的平均自由程。從左到右的每一個區(qū)域溫度分別為（），則在交界處就會有：。因此可知任意兩點之間的電勢差，也就是說，導體中任意兩個位置的電勢差與該兩個位置的熱運動的平均速度差之比為定值，該值的大小只和導體的材料有關，和導體的幾何性質等等其他因素沒有關系。那么只要將速度v關于溫度T的函數(shù)帶入即可表示出導體電勢差U關于溫度T的函數(shù)。因此，不妨將電子在導體中的運動環(huán)境等效成理想氣體^[1]，根據(jù)理想氣體內(nèi)能公式可得，其中k是玻爾茲曼常數(shù)，解出，因此

其中C為待定常數(shù)，其大小和我們選取的電勢參考點有關。

在一段小溫度區(qū)間內(nèi)，近似地可以有，因此可以認為，導體兩端的電勢差與導體兩端溫度差成正比，而與導體內(nèi)部溫度無關。

四、溫差電的應用

如圖2所示，如果兩個不同材料的導線首尾相接，此時若結點C處被加熱至溫度，其他位置處的溫度為環(huán)境溫度，則AB之間能夠形成電勢差，這叫做塞貝克效應^[4]。的大小和溫度和有關，通過測量結合已知的環(huán)境溫度，可以反推得到的大小，這就是熱電偶的工作原理^[4]。

的公式也可以利用三中的結論推導。我們把AB兩點之間的電勢差看成是AC之間的電勢差以及CB之間的電勢差的加和，分別對兩端材料使用三中得到的結論，于是有

所以有

其中下角標表示的是組成熱電偶的兩種材料，這就是熱電偶的工作原理。值得一提的是，由于結論和材料的幾何形狀無關，也和材料中間的溫度無關，因此熱電偶的加工制作過程不需要很嚴格，只需要保證兩根導線各自的組成比較均勻即可。

五、結語

本文解釋了電阻的微觀機理和相關的熱電現(xiàn)象。文章建立了電子運動時所受阻力與速度成正比這一模型，簡單地描述了電子在電阻中受到的阻礙作用，忽略阻力來源的細節(jié)，也沒有給出比例系數(shù)a與材料的具體關系;在探究溫差電現(xiàn)象的時候，將電子在導體中的運動情況類比成理想氣體也缺乏準確性。這些都可以在接下來的研究中改進。

文章的方法在用來解釋熱電現(xiàn)象時會非常直觀，避免了像文獻[4]中的復雜的微積分推導過程，能夠幫助初學者建立起良好的物理圖像，有助于理解熱電現(xiàn)象的物理本質。

參考文獻

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[3]王建華.關于平均自由程=1/（2^（1/2）πd^2 n）中的2^（1/2）[J].武漢水利電力大學學報，1997（04）：112-113.

[4]梁斌.溫差電動勢公式的理論推導[J].西安建筑科技大學學報，1996（01）：95-99.