多維固有時(shí)間尺度分解算法

彭秀艷， 劉元?jiǎng)祝?鄭 潛

(哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150020)

0 引 言

故障檢測(cè)與診斷在控制回路、機(jī)械系統(tǒng)中具有重要的地位，若能在設(shè)備運(yùn)行仍處于可控階段時(shí)準(zhǔn)確及時(shí)地檢測(cè)出故障的萌生及演變，并將其解決可以避免非正常工作狀態(tài)，保證設(shè)備正常運(yùn)轉(zhuǎn)，對(duì)保障系統(tǒng)安全運(yùn)行，減少或避免重大災(zāi)難性事故具有非常重要的意義[1～4]?？赏ㄟ^(guò)處理、分析非平穩(wěn)多維信號(hào)，提取故障特征[5,6]。Rehman N和Mandic D P提出了多維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?multi-dimensional empirical mode decomposition，MEMD)，實(shí)現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?empirical mode decomposition，EMD)的多維擴(kuò)展[7]。

本文對(duì)Mark G F和Ivan O提出的固有時(shí)間尺度分解(intrinsic time scale decomposition，ITD)進(jìn)行多維擴(kuò)展，提取出某控制過(guò)程多維輸出信號(hào)中的頻率相近的故障成分，為后續(xù)評(píng)估過(guò)程是否存在故障行為提供數(shù)據(jù)[8]。

1 多維固有時(shí)間尺度分解

本文所提出的多維固有時(shí)間尺度分解(multi-dimensional intrinsic time scale decomposition，MITD)的提出參照了MEMD的擴(kuò)展方法。本節(jié)將先介紹幾種處理非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的算法，并進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析。

1.1 EMD

EMD是在時(shí)間尺度上將原始信號(hào)分解為一系列本征模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function，IMF)分量和余項(xiàng)r[9]，即

(1)

式中X(t)為原始信號(hào)，imfi(t)為第i個(gè)本征模態(tài)函數(shù)，l為本征模態(tài)函數(shù)的個(gè)數(shù)。 IMF需滿足以下條件：1)在整個(gè)數(shù)據(jù)序列中，極值點(diǎn)的數(shù)量與過(guò)零點(diǎn)的數(shù)量相等或只相差一個(gè)；2)在任一時(shí)間點(diǎn)上，信號(hào)的局部最大值和局部最小值定義的包絡(luò)線的均值為零。

每一層IMF篩選停止條件通過(guò)限制標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值大小來(lái)完成，如式(2)所示

(2)

當(dāng)SD在0.2～0.3之間時(shí)，停止篩選循環(huán)。

1.2 ITD

ITD同EMD相似，將原始信號(hào)分解為由瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值組成的一系列由高頻到低頻的旋轉(zhuǎn)分量和單調(diào)趨勢(shì)項(xiàng)兩部分[10,11]。

設(shè)Xt為待分解的實(shí)值離散信號(hào)，定義L為基線提取算子，Lt為基線分量，Ht為固有旋轉(zhuǎn)量。定義Xk表示X(tk)，Lk表示L(tk) 。ITD算法計(jì)算步驟如下[8]:

1)提取Xt序列的極值點(diǎn)Xt和對(duì)應(yīng)時(shí)間{τk,k=1,2,…,N},并定義τ0=0。在區(qū)間(τk，τk+2]上，定義線性變換公式為

(3)

2)提取出固有旋轉(zhuǎn)分量Ht

Xt=LXt+(1-L)Xt=Lt+Ht

(4)

3)將基線信號(hào)Lt作為待分解信號(hào)重復(fù)步驟(1)、步驟(2)，當(dāng)Lt單調(diào)或幅值小于閾值時(shí)終止分解。

ITD作為一種不受時(shí)頻不確定影響的局域波分解方法能夠得到更高的時(shí)間分辨率和頻率分辨率；相比于EMD，ITD過(guò)程中沒(méi)有復(fù)雜的篩選和插值，具有計(jì)算復(fù)雜度低、計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)，在線分析實(shí)時(shí)信號(hào)時(shí)具有更大的優(yōu)勢(shì)；其邊緣效應(yīng)只出現(xiàn)在第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)之前。不會(huì)隨著信號(hào)分解向內(nèi)部數(shù)據(jù)傳輸[12,13]。

1.3 MEMD

使用基于信號(hào)投影來(lái)產(chǎn)生多維信號(hào)包絡(luò)。設(shè)信號(hào)為n維，首先在n-1維球面上選取不同的方向向量；然后將原始信號(hào)投影到各個(gè)方向向量上，在各個(gè)方向上取極值點(diǎn)；再將這些極值點(diǎn)映射到原信號(hào)上，通過(guò)三次插值找到對(duì)原始信號(hào)包絡(luò)的估計(jì)；最后，取各個(gè)方向包絡(luò)的均值，得到期望均值[14,15]。MEMD在保留了EMD優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)上，將該算法擴(kuò)展至多維數(shù)據(jù)分析鄰域，對(duì)其他一維分解算法擴(kuò)展具有指導(dǎo)意義。

2 MITD算法

2.1 擴(kuò)展思路

仿照MEMD擴(kuò)展思路，取多維信號(hào)上的極值點(diǎn)，對(duì)極值點(diǎn)運(yùn)用多維基線節(jié)點(diǎn)提取公式，整合節(jié)點(diǎn)和極值點(diǎn)，利用多維線性變換方法，得到均值信號(hào)，從原信號(hào)中剔除均值信號(hào)，得到一層分解子信號(hào)。經(jīng)過(guò)多次循環(huán)，得到一系列旋轉(zhuǎn)子信號(hào)和一個(gè)趨勢(shì)信號(hào)。

該擴(kuò)展思路涉及3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：1)多維信號(hào)極值點(diǎn)的定義；2)多維基線節(jié)點(diǎn)公式的提出與證明；3)線性變換因子及多維線性變換方法的合理性。

2.2 多維極值點(diǎn)的定義

原信號(hào)中切線方向與投影方向垂直，且切線變化的方向均不垂直于投影方向的點(diǎn)?？芍?，有且僅有投影信號(hào)的極值點(diǎn)，在原信號(hào)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，是原信號(hào)投影方向的極值點(diǎn)。

2.3 多維基線節(jié)點(diǎn)公式

(5)

直線AC與平面τ=τj的交點(diǎn)為b(mj,nj,τj)，且mj，nj滿足

(6)

B點(diǎn)和b點(diǎn)之間的連接向量為

(7)

根據(jù)線性縮放關(guān)系可得

=((1-α)(Xj-mj),(1-α)(Yj-nj),0)

(8)

式中o為坐標(biāo)原點(diǎn),由此可得

=((1-α)Xj+αmj,(1-α)Yj+αnj,τj)

為打通農(nóng)商行進(jìn)入資本市場(chǎng)的渠道，應(yīng)由上級(jí)部門(mén)(如省聯(lián)社)等進(jìn)行主管，協(xié)同各區(qū)域農(nóng)商行進(jìn)行集中出資，來(lái)設(shè)立農(nóng)商行股權(quán)交易信息中心，實(shí)現(xiàn)股權(quán)登記、質(zhì)押、掛牌、托管等多功能，同時(shí)結(jié)合當(dāng)?shù)剞r(nóng)村區(qū)域發(fā)展?fàn)顩r，可以將債權(quán)、土地承包權(quán)、金融資產(chǎn)及林權(quán)等在交易中心來(lái)辦理交易及托管，將其打造成適用于農(nóng)商行的戰(zhàn)略平臺(tái)。除此之外，農(nóng)商行應(yīng)建立健全股權(quán)流通的相應(yīng)機(jī)制，完善交易流程及運(yùn)行規(guī)則，對(duì)股權(quán)轉(zhuǎn)讓、設(shè)置及信息披露來(lái)進(jìn)行明確規(guī)定，嚴(yán)格規(guī)范股權(quán)在交易中的操作細(xì)則，將制度進(jìn)行市場(chǎng)化、透明化，使得廣大股東充分明晰自身的權(quán)益，構(gòu)建科學(xué)規(guī)范、合法、高效的農(nóng)商行股權(quán)流動(dòng)機(jī)制，實(shí)現(xiàn)股權(quán)的正?；?，發(fā)揮農(nóng)商行股權(quán)的真正價(jià)值。

(9)

即點(diǎn)Lj的解析表達(dá)式滿足

(10)

推廣到n+1維中，可位于τj時(shí)刻的基線節(jié)點(diǎn)Lj(m1,j,m2,j,…,mn,j,τj)解析表達(dá)式(i=1,2,…,n)

(1-α)Xi,j

(11)

2.4 多維線性變換公式

在區(qū)間(τk,τk+1]內(nèi)，n維信號(hào)在t時(shí)刻為Xt(x1t,x2t,…,xnt)，投影方向向量為q(a1,a2,…,an)，原信號(hào)在該投影方向?qū)?yīng)的兩個(gè)基線節(jié)點(diǎn)為L(zhǎng)j(m1,j,m2,j,…,mn,j)，Lj+1(m1,j+1,m2,j+1,…,mn,j+1)。

由式(3)所示的一維線性變換公式，定義線性變換因子Pt為

Pt=(Xt-Xk)/(Xk+1-Xk)

(12)

類比得到多維線性變換因子Pt為

(13)

由Pt得Xt的線性提取結(jié)果為

LXt={Lx1t,Lx2t,…,Lxnt}

(14)

式中Lxit=mi,j+(mi,j+1-mi,j)Pt

3 算法優(yōu)化與應(yīng)用試驗(yàn)

3.1 算法優(yōu)化

在MEMD中使用的Halton序列的低差異性會(huì)隨著維度的上升呈指數(shù)下降。所以,在MITD中利用一種新的低差異序列Sobol序列來(lái)代替Halton序列來(lái)選擇原信號(hào)的投影方向，以適應(yīng)更高維度的信號(hào)分解。

3.2 仿真分析

由于MITD，ITD和MEMD都沒(méi)有明確的解析公式，只能通過(guò)相應(yīng)算法來(lái)定義，因此，比較的過(guò)程建立在數(shù)值仿真的基礎(chǔ)上。四維仿真信號(hào)x各個(gè)維度信號(hào)如式(15)所示。為了突出MITD在保留信號(hào)局部特征方面的優(yōu)勢(shì)，選用三角波作為測(cè)試信號(hào)。對(duì)其分別進(jìn)行MITD,ITD和MEMD，并對(duì)比分析這三種算法

(15)

式中 sawtooth(2πfit)為頻率為fi(i=1,2,3,4)，幅值為1，關(guān)于零線對(duì)稱的三角波；xf為0.5 s時(shí)產(chǎn)生的一個(gè)持續(xù)時(shí)間0.05 s，12 Hz的三角波震蕩；f1=10 Hz，f2=20 Hz，f3=50 Hz，f4=100 Hz。

采樣時(shí)間1 s，采樣頻率fs=1 000 Hz，分解結(jié)果對(duì)比如下：

標(biāo)準(zhǔn)ITD多維信號(hào)時(shí)，易出現(xiàn)模式不齊整和模式混淆，且難以檢測(cè)故障信號(hào)。而在MITD的分解結(jié)果中，克服了這些問(wèn)題。雖然MEMD和MITD都可以無(wú)混淆的分解多維信號(hào)，且檢測(cè)出故障信號(hào)。但由于MEMD采用三次樣條插值，導(dǎo)致分解結(jié)果趨向正弦，難以反應(yīng)信號(hào)的本質(zhì)特征。

3.3 工業(yè)實(shí)例分析

從某工業(yè)控制回路中，取5個(gè)回路的1 500個(gè)采樣點(diǎn)測(cè)試信號(hào)。MITD分解工業(yè)信號(hào)的結(jié)果如圖1所示。其中，第1層為高頻噪聲H1、H2的疊加，第4層為殘差。計(jì)算時(shí)域的零交叉點(diǎn)規(guī)律性指標(biāo)判斷是否有振蕩發(fā)生。

由表1可知，H3層各回路對(duì)應(yīng)的振蕩檢測(cè)指標(biāo)均小于1，未被判定為發(fā)生振蕩；H4層中各回路對(duì)應(yīng)的零交叉點(diǎn)規(guī)律性指標(biāo)均超過(guò)給定閾值1，說(shuō)明這些分解子信號(hào)均為振蕩分量；檢測(cè)到5個(gè)回路同時(shí)存在振蕩，因此可以判定為廠級(jí)振蕩。由圖1可以看到有一個(gè)輕微的振蕩在N=1 000時(shí)進(jìn)入到工業(yè)回路中在回路之間傳播，并在N=1 250之后被校正，沒(méi)有造成明顯的過(guò)程振蕩。該振蕩被MITD準(zhǔn)確提取，充分證明了該算法提取多維信號(hào)局部特征的能力。

圖1 MITD對(duì)工業(yè)實(shí)例分解結(jié)果

變量回路7回路12回路13回路19回路22H30.490.690.560.4800.594H42.682.682.602.8203.226

4 結(jié) 論

本文在已有的EMD，ITD，MITD算法基礎(chǔ)上，提出了多維數(shù)據(jù)分解的新方法—MITD，通過(guò)極值點(diǎn)的定義、多維基線節(jié)點(diǎn)提取公式以及多維線性變換公式這3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)完成算法擴(kuò)展。試驗(yàn)仿真結(jié)果表明：相較于EMD和MEMD算法，MITD算法分解效率高，端點(diǎn)效應(yīng)小，局部特征明顯，是一種有效的多維信號(hào)處理方法。