兩種典型串、并聯(lián)機(jī)器人速度精度可靠性分析

王海芳,皇甫一樊,張 恒,褚天爭

(東北大學(xué)秦皇島分校 控制工程學(xué)院,河北 秦皇島066004)

機(jī)器人的末端速度精度直接影響了其工作性能.機(jī)器人速度精度的誤差主要來源于以下幾個方面:機(jī)器人桿件加工造成的尺寸誤差、桿件運(yùn)動副間隙誤差、裝配誤差、工作環(huán)境造成的變形誤差等.目前針對閉環(huán)控制的機(jī)器人位姿精度的研究較多,采用閉環(huán)控制的機(jī)器人可以通過反饋調(diào)節(jié)減小位姿誤差,提升速度精度.但由于成本和機(jī)械結(jié)構(gòu)等方面因素,開環(huán)機(jī)械臂在工業(yè)中的應(yīng)用較廣泛,因此,研究開環(huán)控制的機(jī)器人位姿與速度精度有著重大的意義.

Rao等[10]結(jié)合Monte Carlo法,給出了機(jī)器人動力學(xué)可靠性的計算方法.Ting等[11-12]對空間機(jī)器人的運(yùn)動副間隙誤差及桿件方向公差進(jìn)行了研究.Kim等[13]建立了基于桿件尺寸加工誤差的機(jī)器人動力學(xué)可靠性模型,并將改進(jìn)的一次二階矩法運(yùn)用于機(jī)器人可靠性分析中.

由于機(jī)器人各組成件的幾何長度以及各關(guān)節(jié)的電機(jī)輸出速度(角速度)均存在誤差,這些隨機(jī)因素導(dǎo)致機(jī)器人末端速度的實際值與速度的期望值之間存在偏差.

本文分別在串聯(lián)及并聯(lián)機(jī)器人中各選取一例,以2自由度串聯(lián)機(jī)械臂以及三平動并聯(lián)平臺作為算例,建立機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型,求出機(jī)器人末端速度的正解表達(dá)式.同時,建立了機(jī)器人可靠性模型,并運(yùn)用可靠性理論進(jìn)行機(jī)器人速度精度設(shè)計,從而實現(xiàn)對偏差的控制.本文運(yùn)用可靠性靈敏度技術(shù)得出各隨機(jī)變量對速度精度可靠度的敏感程度,作為連桿參數(shù)設(shè)計時的依據(jù).在此基礎(chǔ)上,得到了機(jī)器人末端執(zhí)行器隨位置變化的可靠性曲線,并利用Matlab中的優(yōu)化函數(shù)求出可靠性最低的位置,為機(jī)器人工作區(qū)域的選定提供了理論依據(jù).

1 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型

1.1 2自由度串聯(lián)機(jī)械臂

圖1為串聯(lián)機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)簡圖.圖1中:OA為機(jī)械臂大臂,其長度為l1;AB段為小臂,其長度為l2;機(jī)械臂的末端執(zhí)行器位于B位置.在機(jī)器人的結(jié)構(gòu)較為簡單時,機(jī)器人的正解可通過直接求取機(jī)器人的雅克比矩陣得到[14].

機(jī)械臂關(guān)節(jié)末端位置為

(1)

雅克比矩陣為

圖1 串聯(lián)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Structural sketch of the serial manipulator

(2)

由機(jī)器人運(yùn)動學(xué)規(guī)律可知

(3)

對時間求導(dǎo),得

(4)

聯(lián)立式(1)～式(4),可求得機(jī)械臂的關(guān)節(jié)的末端速度為

(5)

式中：vx1，vy1分別為機(jī)械臂末端沿x方向和y方向的線速度；ω1，ω2分別為機(jī)械臂末端沿x方向和y方向的角速度.

1.2 三平動并聯(lián)平臺

圖2為三平動并聯(lián)平臺的結(jié)構(gòu)簡圖,動平臺幾何中心到上端球鉸鏈幾何中心的距離為r,動平臺與靜平臺之間的連桿距離為lm,靜平臺的3個移動副距離靜平臺幾何中心的距離分別為d1,d2,d3.本文研究動平臺幾何中心點(diǎn)的速度精度.

根據(jù)文獻(xiàn)[15-17],三平動并聯(lián)平臺的速度雅克比矩陣J2為

J2=

(6)

圖2 三平動并聯(lián)平臺結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Structural sketch of the tri-translationalparallel mechanism platform

式中:x,y,z可由式(7)～式(9)確定，即

x,y,z的表達(dá)式極為復(fù)雜,但均為精確的解析解,在此不列出.且z有正、負(fù)兩個解,分別對應(yīng)動平臺在固定平臺的上下側(cè)的情況,此處,取正值進(jìn)行可靠性分析.

三平動并聯(lián)平臺的速度分量可由以下雅克比矩陣求得,即

(10)

三平動并聯(lián)平臺的動平臺中心點(diǎn)速度v2為

(11)

2 機(jī)器人速度精度可靠性分析

2.1 速度精度可靠性定義

為了使機(jī)器人能夠正常工作,必須使其末端速度輸出誤差保持在允許范圍內(nèi).由于機(jī)器人的幾何參數(shù)存在誤差,機(jī)器人各關(guān)節(jié)速度(或角速度)的輸出值也存在誤差,因此，對于每一個位置,機(jī)器人末端的真實速度與該位置的期望速度之間存在偏差.該位置的期望速度便是機(jī)器人處于該位置時,各隨機(jī)變量取均值時的機(jī)器人末端速度,即標(biāo)準(zhǔn)速度.用概率的方法衡量真實速度偏離標(biāo)準(zhǔn)速度的可能性.由此定義機(jī)器人末端執(zhí)行器的速度精度可靠性:對于每一個位置,真實速度與標(biāo)準(zhǔn)速度之間的相對偏差小于允許偏差,則視為機(jī)器人的速度精度滿足要求.構(gòu)造機(jī)器人關(guān)節(jié)末端的速度可靠性狀態(tài)函數(shù)為

(12)

式中:[δ]為許用的偏差比;v為真實速度,即式(5)求出的機(jī)器人末端執(zhí)行器的速度；ve為期望速度.

為了使機(jī)器人末端速度精度誤差控制在允許范圍內(nèi),需滿足:

(13)

機(jī)器人速度精度可靠性可分為兩部分討論,即滿足下限的可靠度Rs和滿足上限的可靠度Ru.兩部分的極限狀態(tài)函數(shù)分別為

整體可靠度R和Rs,Ru的關(guān)系為

(16)

經(jīng)過推導(dǎo)可知,當(dāng)各隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)關(guān)于均值對稱,則滿足可靠性上界的概率與滿足下界的相等.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)關(guān)于均值對稱,故當(dāng)各隨機(jī)變量均為正態(tài)分布時,式(16)可進(jìn)一步簡化為

(17)

2.2 一次二階矩法

g(X)為可靠度狀態(tài)函數(shù),X為隨機(jī)變量向量,根據(jù)一次二階矩與攝動方法[18-19],有

式中:(?)[2]=(?)?(?),符號?為Kronecker積；Var(X)為隨機(jī)變量的方差向量.

可靠性指標(biāo)為

(20)

可靠度為

(21)

2.3 可靠性靈敏度設(shè)計

根據(jù)可靠性靈敏度理論[20],機(jī)械臂速度精度可靠度對機(jī)構(gòu)的基本參數(shù)向量X的均值和方差的靈敏度為

式中:μg為可靠性狀態(tài)函數(shù)的均值；σg為可靠性狀態(tài)函數(shù)的均方差.

式中：Φ(β)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)；φ(β)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù).

2.4 任意位置的機(jī)器人速度可靠性分析

機(jī)器人末端速度精度可靠性分析針對某一特定位置進(jìn)行速度精度及可靠性靈敏度分析.通過改變機(jī)器人的形位,便可得到機(jī)器人不同形位的速度精度可靠度.

此時,可將機(jī)器人末端速度精度可靠度視為位置參數(shù)的多元函數(shù).通過多元函數(shù)的圖形可直觀地觀察機(jī)器人不同位置的末端速度可靠度.同時,還可利用算法求出速度精度可靠度的極值,確定速度精度最低的位置,得出機(jī)器人末端速度精度可靠度隨位置參數(shù)的變化規(guī)律，為選定合理的機(jī)器人工作姿態(tài)提供理論依據(jù).

3 數(shù)值算例

3.1 串聯(lián)機(jī)械臂速度可靠性

以圖1為2自由度串聯(lián)機(jī)械臂為例:l1=500 mm,l2=100 mm,ω1=0.1 rad/s,ω2=1 rad/s.各桿件的幾何尺寸服從正態(tài)分布,差變系數(shù)為0.005,ω1,ω2的差變系數(shù)為0.001,機(jī)械臂速度精度的誤差允許值[δ]=5%,求θ1=60°,θ2=120°時，機(jī)械臂末端執(zhí)行器速度精度可靠度和可靠性靈敏度.

利用式(1)～式(5),可求得機(jī)械臂末端速度的正解表達(dá)式,將此表達(dá)式代入式(15),便可求得可靠性狀態(tài)函數(shù).將狀態(tài)函數(shù)以及各隨機(jī)變量的均值與方差信息代入式(18)～式(21),計算出Rs,再利用式(17)求得此位置機(jī)械臂速度精度可靠度R1=0.999 8.由式(22)～式(28)可得串聯(lián)機(jī)械臂速度精度可靠度R1對基本隨機(jī)參數(shù)X=[l1,l2,ω1,ω2]T的均值和方差的可靠性靈敏度矩陣分別為

由靈敏度矩陣dR/dVar(X)可以看出,基本隨機(jī)變量ω1,ω2,l1,l2方差的增加,都會降低串聯(lián)機(jī)械臂速度精度可靠度,其中，桿長l2的變化對機(jī)械臂末端執(zhí)行器速度精度可靠性的影響最大.因此，在設(shè)計及制造環(huán)節(jié)應(yīng)嚴(yán)格控制桿長l2的誤差范圍.桿長l1的方差對機(jī)械臂速度精度可靠度影響較小,可適當(dāng)放寬桿長l1的制造精度.

求出可靠度R關(guān)于自變量θ1,θ2的二元函數(shù)表達(dá)式,自變量θ1,θ2的范圍均為[-2π,2π].圖3可以直觀地看出串聯(lián)機(jī)械臂速度精度可靠性隨角度θ1,θ2的變化規(guī)律.經(jīng)過計算,角度θ1的值與機(jī)械臂的運(yùn)動精度無關(guān).串聯(lián)機(jī)械臂的末端速度精度可靠性僅隨θ2的變化而變化,變化規(guī)律如圖4所示.

數(shù)值求解可靠度函數(shù)的極小值點(diǎn),當(dāng)θ2=180°時,R取最小值0.947 6.在θ2=0°附近,機(jī)械臂的速度精度較高,但當(dāng)兩桿重合時,機(jī)械臂失去一個自由度,此位置為機(jī)械臂的奇異位置,其雅克比行列式為0.機(jī)械臂速度可靠性的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)分別發(fā)生在θ2=180°和θ2=0°時,恰好為兩個奇異位置.因此,機(jī)械臂的合理工作區(qū)應(yīng)避開θ2>120°或θ2

圖3 串聯(lián)機(jī)械臂末端速度可靠性曲線Fig.3 Speed reliability curve of the end effector ofthe serial manipulator

圖4 串聯(lián)機(jī)械臂速度可靠性隨θ2的變化曲線Fig.4 Speed reliability curve of the serial manipulatorchanging with θ2

接近0°的區(qū)域.

3.2 三平動并聯(lián)機(jī)器人速度可靠性

某型三平動并聯(lián)平臺如圖2所示.平臺的幾何參數(shù)(各幾何長度的意義已于上文闡述)的均值如下:r=500 mm,lm=500 mm.幾何尺寸滿足正態(tài)分布,其差變系數(shù)為0.005.靜平臺上的3個移動副的運(yùn)動速度也視為隨機(jī)變量,vd1=0.3 m/s,vd2=0.3 m/s,vd3=0.3 m/s,移動速度也近似服從正態(tài)分布,其差變系數(shù)為0.003.動平臺中心點(diǎn)合成速度的允許誤差為5%,求d1=300 mm,d2=340 mm,d3=300 mm時的速度精度可靠性.

利用式(6)～式(11),可以求得三平動并聯(lián)平臺的動平臺中心點(diǎn)速度表達(dá)式,將此表達(dá)式代入式(15)即可求得速度可靠性狀態(tài)函數(shù).將狀態(tài)函數(shù)及均值與方差的數(shù)值代入式(17)～式(21),可得此位置的速度精度可靠性R2=0.950 4.

由式(22)～式(26)可得并聯(lián)機(jī)構(gòu)速度可靠度R2對基本隨機(jī)參數(shù)X=[r,lm,vd1,vd2,vd3]T期望及方差的靈敏度為

從可靠度對均值的靈敏度的計算結(jié)果可以看出：隨機(jī)變量r,vd1,vd2,vd3均值的增加會提升速度可靠度,而隨機(jī)變量lm的增加會降低可靠度,且可靠度對隨機(jī)變量lm的均值變化最為敏感.

從可靠度對方差的靈敏度的計算結(jié)果可以看出：各隨機(jī)變量的方差的增加均對可靠度有負(fù)面影響,且隨機(jī)變量r,lm對可靠度的影響最大,故在設(shè)計、制造以及裝配等環(huán)節(jié),應(yīng)著重控制r,lm的尺寸公差.

三平動并聯(lián)平臺機(jī)構(gòu)的速度可靠性隨機(jī)構(gòu)位置的變化而變化,平臺的位置可由d1,d2,d33個參數(shù)來表征.因此，可以建立速度可靠度隨d1,d2,d3變化的函數(shù),由于這是一個三元函數(shù),故無法如上例一樣用圖形的方式直觀地描述可靠度隨位置參數(shù)變化的情形,但可以使用數(shù)學(xué)工具求出函數(shù)在可行域內(nèi)的極限值.

此問題可以視為一個多維優(yōu)化問題.利用Matlab的優(yōu)化函數(shù),可以求得當(dāng)d1=d2=d3=271 mm時,機(jī)器人的速度可靠性最低.因此，在選定平臺工作位置時,應(yīng)避開這一區(qū)域.

4 結(jié)論

(1) 分別對兩種典型的串聯(lián)、并聯(lián)機(jī)器人建立了速度可靠性模型,并結(jié)合算例,運(yùn)用一次二階矩陣法以及可靠性靈敏度算法分別給出了機(jī)器人速度可靠性的計算方法.

(2) 機(jī)器人速度可靠性靈敏度的計算結(jié)果可以為機(jī)器人速度可靠性設(shè)計提供理論依據(jù),在設(shè)計、制造以及裝配等環(huán)節(jié),應(yīng)對敏感參數(shù)加以控制,同時可適當(dāng)放寬非敏感參數(shù)的公差要求.

(3) 在可靠性模型的基礎(chǔ)上,給出了任意位置機(jī)器人速度可靠性的分析方法,為合理劃定機(jī)器人工作區(qū)間提供理論依據(jù).