歸類最值問題 探討解題策略

曹莉莉

(江蘇省揚州中學教育集團樹人學校 225000)

一、代數最值的變形

代數是初中數學研究的重要模塊之一，對最值問題進行實質剖析最終也都需要歸結到代數運算上，因此充分掌握代數運算的最值變形方法，對于整個問題的理解有著重要的意義.對于考題中單純的代數運算的最值問題，可以充分借助均值不等式進行變形，從而構建代數不等關系，利用不等式的性質求解.

點評上述題目求代數式的最大值，求解過程可歸納為兩步：第一步是對代數式變形處理，第二步則是利用均值不等式將其轉化為不等關系.題目考查了根式的化簡和均值不等式的利用，因此在求解該類問題時需要明晰代數式的特征結構，采用先化簡后轉化的求解策略.

二、幾何最值的轉化

幾何圖形是數學研究的重要內容，也是眾多考題構建的載體，以幾何線段、面積等構建的最值問題也是中考的熱點題型.該類題型一般需要充分理解圖形的結構，將最值問題轉化為研究點的位置，然后巧妙利用相關的幾何定理來確定取最值時相關點的位置關系.最為常用的幾何定理為“兩點之間，線段最短”，同時由此衍生了眾多的最值模型，如將軍飲馬模型、胡不歸模型等.

例2圖1所示的正方形ABCD的邊長為4，點M是邊CD上的一定點，DM=1，而點N是正方形對角線AC上的一個動點，連接DN和MN，則DN+MN的最小值為____.

解正方形為軸對稱圖形，對于正方形ABCD可以視為是以AC為對稱軸的圖形，連接BN，分析可知點B和D是關于AC相對稱，故有BN=DN，則DN+MN=BN+MN.根據“兩點之間，線段最短”可知只要點B、N、M位于同一直線上時，BN+MN取得最小值，因此只需要連接BM，BM與AC的交點就是線段和最小時點N的位置，如圖2所示.由條件可知BC=4，CM=3，在Rt△BCM中使用勾股定理可得BM=5，所以DN+MN的最小值為5.

評析上述考題在求解單動點的線段和最值時首先利用幾何特性，結合軸對稱對圖形進行對稱轉化，然后基于“兩點之間，線段最短”原理確定了線段和最小時的動點位置，從而完成了求解.因此對于平面幾何的最值問題，首先需要基于最值定理，利用幾何知識進行轉化，如軸對稱、平移和旋轉等，然后利用定理來確定點的最值情形.

三、函數最值的建模

函數最值問題，一般有兩類：一類是單純的結合函數單調性研究取值范圍，另一類是從知識綜合角度出發(fā)，結合平面幾何知識研究相關最值，包括線段的最值和面積的最值等.對于第一類問題只需要結合函數的性質即可完成，而對于第二類綜合幾何與函數知識將最值問題轉化為研究點坐標或相關參數，然后利用相關性質求解.

評析上述是幾何與函數的綜合題，在求解時利用幾何知識將面積問題轉化為線段問題，然后結合函數的性質構建了相應的函數，最后通過分析函數性質達到求解目的.因此對于該類綜合題，最為有效的方法是基于知識聯系，逐步轉化建模，最后通過分析函數性質來完成.

綜上可知，雖然數學最值問題的類型很多，但都是基于對應的數學原理構建的模型，如代數問題的不等式模型、幾何問題的線段最值問題以及函數問題方程模型，因此在平時的學習中需要深入理解數學原理，關注問題的模型構建，歸納最值問題的解題策略.