弧線齒邏輯齒輪設(shè)計(jì)

盛 偉，馮占榮，王利霞，鄒 濛，王文軒

（南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063）

0 引言

在機(jī)械傳動(dòng)方面，齒輪是常用且重要的零件，隨著機(jī)械傳動(dòng)對齒輪傳動(dòng)要求的不斷提升，促進(jìn)了不同齒形、不同齒線的齒輪的發(fā)展。20世紀(jì)80年代后期，日本學(xué)者小守勉提出了以全新齒輪理論為基礎(chǔ)的邏輯齒輪[1,2]。邏輯齒輪較漸開線齒輪、圓弧齒輪傳動(dòng)的諸多優(yōu)點(diǎn)：邏輯齒輪的齒廓由許多不同的微線段構(gòu)成，其采用凹凸齒廓相嚙合的形式實(shí)現(xiàn)傳動(dòng)，能夠有效地解決漸開線齒輪的凸凸嚙合形式引發(fā)的齒面耐久性差、承載能力低、噪聲大等問題，邏輯齒輪可以制成直齒圓柱齒輪，而且還可以制成少齒數(shù)齒輪，目前已研制出齒數(shù)為3的邏輯齒輪[3,4]。1975年，美國的格里森（Gleason Works）公司首次提出將弧形齒線應(yīng)用于錐齒輪上，而后國內(nèi)外眾多研究學(xué)者展開了對圓弧齒線圓柱齒輪的研究，臺(tái)灣學(xué)者Tseng[5,6]等人用雙面刀盤作為展成工具，根據(jù)齒條與齒輪的展成嚙合理論，建立了漸開線弧線齒圓柱齒輪的數(shù)學(xué)模型。研究發(fā)現(xiàn)弧線齒圓柱齒輪既具有直齒圓柱齒輪的傳動(dòng)特點(diǎn)，又具有斜齒圓柱齒輪的傳動(dòng)特點(diǎn)，還可以克服人字齒齒輪的缺點(diǎn)[7]。將邏輯齒廓與弧線齒齒輪相結(jié)合，提出邏輯齒廓弧線齒圓柱齒輪的設(shè)計(jì)，推導(dǎo)建立齒面數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)該齒輪的參數(shù)化精確建模，以齒輪與齒條的嚙合模型代替齒輪與齒輪的嚙合模型來探討該齒輪的重合度及其精確計(jì)算方法，并分析了齒寬和圓弧半徑對重合的影響，為大重合度的邏輯齒廓弧線齒圓柱齒輪設(shè)計(jì)提供參考。

1 齒面方程的推導(dǎo)

1.1 邏輯齒輪齒廓線方程

根據(jù)文獻(xiàn)[3]，邏輯齒輪是由邏輯齒條產(chǎn)形得到的，邏輯齒輪除了與漸開線齒輪共有的參數(shù)外，還有初始基圓半徑G0、初始壓力角α0、相對壓力角δ等參數(shù)。圖1為邏輯齒條齒廓線，式(1)為單側(cè)齒廓線AB的方程，其中正號表示節(jié)線以上的齒廓線AO1的方程，負(fù)號表示節(jié)線以下的齒廓線O1B的方程，式(2)～式(6)為邏輯齒輪基本參數(shù)的計(jì)算公式，由齒輪嚙合原理[8]可推導(dǎo)邏輯齒輪齒廓線方程，如式(7)所示。

圖1 邏輯齒條的齒形

1.2 弧線齒邏輯齒輪齒面方程

圖2為弧線齒齒輪坐標(biāo)系及分度圓柱面展開圖，建立坐標(biāo)系ohxhyhzh和坐標(biāo)系os-xsyszs，zh與zs同向，平面xhohyh和平面xsosys相距h，xh軸和xs軸相比，繞zh軸或zs轉(zhuǎn)動(dòng)了β角。其中B為齒寬，L為圓弧齒線，RT為圓弧齒線的半徑，R為分度圓半徑。

圖2 弧線齒齒輪坐標(biāo)系的設(shè)定

邏輯齒輪的齒廓線在坐標(biāo)系xhohyh中的方程。

根據(jù)弧線齒圓柱齒輪的幾何關(guān)系，弧線齒的位置角為：

根據(jù)坐標(biāo)變換，在坐標(biāo)系os-xsyszs中的邏輯齒廓弧線齒圓柱齒輪齒面方程為式(10)，其中正負(fù)號分別表示單齒一側(cè)的分度圓以內(nèi)、分度圓以外的齒面方程。

2 參數(shù)化建模

根據(jù)弧線齒邏輯齒輪的齒面方程推導(dǎo)過程，通過MATLAB數(shù)值計(jì)算和CATIA三維建模功能實(shí)現(xiàn)弧線齒邏輯齒輪參數(shù)化建模，具體步驟如下：

1）根據(jù)邏輯直齒齒輪的齒槽方程編寫齒槽點(diǎn)集（x,y坐標(biāo)）。

2）然后給定齒線的圓弧半徑（或齒寬），然后依據(jù)圓弧半徑一般為齒寬的0.6～4倍，確定齒寬值（或圓弧半徑）。

3）沿齒寬方向?qū)⑤嘄X齒槽等分，取zs=hi（i=1，2，…，n），zs的每次取值，都會(huì)得到一條齒槽廓線的點(diǎn)集。

4）將n條廓線的點(diǎn)集以如下程序區(qū)分開，即每一個(gè)“EndCurve”和“StartCurve”之間為一條曲線的點(diǎn)集?！癊ndCurve”和“StartCurve”是CATIA軟件中自帶宏程序表格中的一條曲線的點(diǎn)集“起始”和“終止”的標(biāo)志。

5）將保存在.txt文檔中的點(diǎn)坐標(biāo)直接復(fù)制粘貼到CATIA軟件中自帶宏程序的表格中并運(yùn)行宏，得到齒面點(diǎn)集及齒槽廓線，進(jìn)而擬合成單側(cè)齒槽面。

6）變換方程，重復(fù)步驟2）～5），便可得到一個(gè)完整的齒槽面。

7）陣列齒槽面并作曲面切割毛坯實(shí)體得到弧線齒邏輯齒輪精確三維模型。

在MATLAB、CATIA中，由步驟1）～7）可得到弧線齒邏輯齒輪模型，參數(shù)建模方法的齒面形成過程如圖3所示。

3 重合度的研究

3.1 重合度的計(jì)算方法

圖3 參數(shù)化建模過程

重合度是衡量齒輪承載能力與傳動(dòng)平穩(wěn)性的重要指標(biāo)。漸開線齒輪的重合度可表述為嚙合線長度與基圓齒距的比值，該定義對于邏輯齒輪顯然是不適用的，因?yàn)檫壿孆X輪并沒有確定的基圓。陳安適[9]將邏輯直齒輪的重合度定義為節(jié)圓上的嚙合弧長與相鄰兩齒同側(cè)齒廓在分度圓上的弧長比值，但沒給出嚙合弧長的計(jì)算公式。而弧齒圓柱齒輪副的重合度ε等于軸向重合度與端面重合度的和?；【€齒圓柱齒輪的軸向重合度計(jì)算公式是：

邏輯齒廓弧齒圓柱齒輪的端面重合度可以按邏輯直齒圓柱齒輪計(jì)算。根據(jù)式(1)可知，邏輯齒條的單側(cè)齒廓線的節(jié)線以上部分（AO1）與節(jié)線以下部分（O1B）關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以這兩段的嚙合弧長相等。那么，端面重合度的計(jì)算公式如下：

首先分析邏輯齒條的齒廓AO1與邏輯齒輪傳動(dòng)時(shí)的嚙合軌跡線。根據(jù)齒輪嚙合原理[8]，齒輪齒條傳動(dòng)時(shí)，齒輪的節(jié)圓與齒條的節(jié)線以純滾動(dòng)的形式嚙合傳動(dòng)，如圖4所示。

圖4 齒輪—齒條嚙合示意圖

那么P點(diǎn)既是齒輪與齒條的相對瞬心，又是齒輪齒條傳動(dòng)時(shí)的節(jié)點(diǎn)。根據(jù)齒輪嚙合原理[8]，兩齒廓嚙合時(shí)，其嚙合點(diǎn)的公法線必然經(jīng)過P點(diǎn)。圖中坐標(biāo)系X1OY1是齒條的動(dòng)坐標(biāo)系，XOY為齒條的靜坐標(biāo)系，那么嚙合點(diǎn)C在坐標(biāo)系XOY中的坐標(biāo)是：

利用式(13)即可通過MATLAB軟件求出所有嚙合點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將得到的點(diǎn)集導(dǎo)入CATIA自帶宏程序的EXCEL表格中，在CATIA中自動(dòng)生成點(diǎn)以及由一系列點(diǎn)構(gòu)成的曲線，即嚙合軌跡線。同理可計(jì)算出邏輯齒條的單側(cè)齒廓線的節(jié)線以下部分與邏輯齒輪傳動(dòng)時(shí)的嚙合軌跡線。兩段嚙合線的弧長b可直接在CATIA軟件的草圖界面使用測量項(xiàng)直接得到精確的值，如圖5所示。

圖5 嚙合弧長的測量

3.2 重合度的影響因素

為分析齒寬和圓弧半徑對邏輯齒廓弧線齒圓柱齒輪重合度的影響，取邏輯齒輪基本參數(shù)如表1所示。齒寬和圓弧半徑對重合度的影響如圖6、圖7所示。

表1 邏輯齒輪基本參數(shù)

當(dāng)保持齒寬不變時(shí)，適當(dāng)?shù)臏p小圓弧半徑；當(dāng)保持圓弧半徑不變時(shí)，有利于增大該齒輪的重合度。

4 結(jié)論

圖6 圓弧半徑對重合度的影響

圖7 齒寬對重合度的影響

本文提出邏輯齒廓弧線齒圓柱齒輪設(shè)計(jì)，根據(jù)齒輪嚙合原理，推導(dǎo)建立了該齒輪的數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB軟件和CATIA軟件實(shí)現(xiàn)該齒輪的參數(shù)化建模。以齒輪——齒條模型代替齒輪——齒輪嚙合模型，提出精確分析和計(jì)算該齒輪的重合度的方法。在此基礎(chǔ)上，分析了齒寬和圓弧半徑對該齒輪重合度的影響，研究表明：增大齒寬或減小圓弧半徑有利于增大弧線齒邏輯齒輪的重合度。這為設(shè)計(jì)大重合度的邏輯齒廓弧線齒圓柱齒輪提供理論參考。