基于區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言評(píng)價(jià)的多屬性決策方法及其應(yīng)用

龔日朝，張 文，劉東海

（湖南科技大學(xué)a.商學(xué)院；b.數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201）

0 引言

在現(xiàn)實(shí)群決策或評(píng)價(jià)過(guò)程中，運(yùn)用區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)（IVHFLN）去描述對(duì)象的每一個(gè)屬性特征，關(guān)鍵是如何集結(jié)對(duì)象的所有被考察特征，獲得科學(xué)的綜合評(píng)價(jià)結(jié)論[1-3]。對(duì)此，文獻(xiàn)[4]運(yùn)用Yager（2008）提出的PA聚合算子理論[5]，構(gòu)建了區(qū)間值猶豫模糊語(yǔ)言優(yōu)先加權(quán)平均（IVHFLPWA）算子，將每個(gè)決策單元所有屬性的評(píng)價(jià)結(jié)果聚合成一個(gè)新的IVHFLN，然后再通過(guò)構(gòu)建IVHFLN的得分函數(shù)和精確函數(shù)選擇最優(yōu)決策。其權(quán)重的確定是基于對(duì)象在每個(gè)屬性下的得分大小，因此，其導(dǎo)致不同對(duì)象的不同屬性具有不同的權(quán)重，是一種“因人而異”確定屬性權(quán)重的方法。顯然在現(xiàn)實(shí)決策評(píng)價(jià)中，人們往往難以接受。此外，集結(jié)算子的理解和計(jì)算又比較復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用中難以得到推廣運(yùn)用。為此，本文轉(zhuǎn)換一個(gè)決策分析的視角，將每一個(gè)對(duì)象看成是多屬性維度構(gòu)成的向量，在構(gòu)建多維區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)向量的距離測(cè)度基礎(chǔ)上，運(yùn)用TOPSIS方法的基本思想[6-8]，計(jì)算每一個(gè)決策單元與正理想解和負(fù)理想解的距離，構(gòu)建一個(gè)新的決策過(guò)程，這就避開(kāi)了文獻(xiàn)[4]中復(fù)雜算子的構(gòu)建與計(jì)算。為了驗(yàn)證這一方法的可行性，本文采用文獻(xiàn)[4]的實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與驗(yàn)證，通過(guò)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)排序結(jié)果完全相同，充分說(shuō)明本文所提出的新思路和方法能達(dá)到同樣甚至更好的決策效果。

1 基本理論與假設(shè)

1.1 語(yǔ)言集及其語(yǔ)言尺度函數(shù)

定義1[9]：設(shè)是由奇數(shù)個(gè)語(yǔ)言元素組成的集合，其中t是一個(gè)正整數(shù)。若集合S滿足兩個(gè)特征：

（1）如果i＞j，則si＞sj；反之亦然。

（2）如果i+j=2t，則si=neg(sj)；反之亦然。

則稱S為語(yǔ)言集，其中，語(yǔ)言元素si的個(gè)數(shù)2t+1稱為語(yǔ)言集粒度，語(yǔ)言集的中點(diǎn)(st)為中性評(píng)價(jià)值，其他評(píng)價(jià)值以該點(diǎn)為中心，分別向兩端對(duì)稱擴(kuò)展。

定義2[4]：語(yǔ)言集S在不同語(yǔ)意環(huán)境下的語(yǔ)言尺度函數(shù)定義為：

（1）類型A

（2）類型B

其中，a的值可以主觀決定。對(duì)于7值語(yǔ)言集，大部分學(xué)者認(rèn)為a=≈1.37比較合適。

（3）類型C

其中α，β∈(0，1]如果α=β=1，則。本文取α=β=0.8。

顯然，語(yǔ)言尺度函數(shù)f(si)=θi是一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)。

1.2 區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言集

基于現(xiàn)實(shí)決策過(guò)程，文獻(xiàn)[4]抽象出了“區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言集”的定義。

定義 3[4]：設(shè)X={x1，x2，…，xn} 為評(píng)價(jià)對(duì)象集，sθ(x)∈S是x關(guān)于屬性A的評(píng)價(jià)結(jié)果，其中則被稱之為一個(gè)區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言集。其中，ΓA(x)是[0，1]上有限個(gè)子閉區(qū)間的集合，即：

上式表示x關(guān)于屬性A的評(píng)價(jià)為sθ(x)的有限個(gè)隸屬度區(qū)間集合，#ΓA(x)表示區(qū)間個(gè)數(shù)，并稱為區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)。

注意到現(xiàn)實(shí)中對(duì)不同的對(duì)象x，#ΓA(x)的值可能不同。為此，本文提出如下假設(shè)：

假設(shè)：由K個(gè)成員組成的決策機(jī)構(gòu)，在決策過(guò)程中每個(gè)成員必須給出自己的意見(jiàn)，而且采用區(qū)間數(shù)表示對(duì)象x關(guān)于屬性A評(píng)價(jià)等級(jí)為sθ(x)的隸屬度。但如果認(rèn)為評(píng)價(jià)等級(jí)是準(zhǔn)確的，沒(méi)有異議，則可以不發(fā)表意見(jiàn)，默認(rèn)隸屬度區(qū)間為[1，1]。

顯然，定義4是一種符合現(xiàn)實(shí)的數(shù)據(jù)處理方法，是一個(gè)由決策機(jī)構(gòu)集體形成的完整決策數(shù)據(jù)，而且這一方法很好地解決了后面所要研究的多屬性決策問(wèn)題中數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理的問(wèn)題。

1.3 IVHFLN得分函數(shù)與精確函數(shù)

基于語(yǔ)言尺度函數(shù)，文獻(xiàn)[4]提出了用得分函數(shù)和精確函數(shù)刻畫(huà)評(píng)價(jià)決策單元具有某屬性的大小和精確性對(duì)IVHFLN排序的規(guī)則。

定義5[4]:設(shè)是 IVHFLN，其得分函數(shù)和精確函數(shù)分別定義為：

定義6[4]：設(shè)α和β為任意兩個(gè)區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)，則：

（1）如果S(α)＞S(β)，則α＞β；

（2）如果S(α)=S(β)，則：①當(dāng)A(α)＞A(β)時(shí)，α＞β；②當(dāng)A(α)=A(β)，則α=β。

值得一提的是，基于定義5和定義6對(duì)IVHFLN排序，α和β中的區(qū)間數(shù)個(gè)數(shù)必須相同，否則，會(huì)出現(xiàn)與直觀認(rèn)識(shí)相違背的結(jié)論。此外，如果對(duì)IVHFLN進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，定義5中的精確函數(shù)也值得商榷，理由如下：其一，對(duì)于給定的區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言集，根據(jù)其定義，語(yǔ)言是確定的，其猶豫模糊性主要體現(xiàn)在隸屬度區(qū)間的不確定性，包括區(qū)間的個(gè)數(shù)的不確定性、區(qū)間上下限值的不確定性等，因此，精確函數(shù)應(yīng)該是與f(sθ(x))無(wú)關(guān)的一個(gè)測(cè)度函數(shù)。其二，精確性與隸屬度區(qū)間集合中區(qū)間元素的離散程度有關(guān)，但#ΓA(x)≤K，也就是區(qū)間個(gè)數(shù)小于決策機(jī)構(gòu)成員數(shù)K時(shí)，必須考慮所有決策者的意見(jiàn)，否則會(huì)出現(xiàn)與現(xiàn)實(shí)相違背的問(wèn)題。

根據(jù)以上討論與分析，本文對(duì)定義5進(jìn)行修正，給出如下IVHFLN得分函數(shù)和精確函數(shù)的定義：

2 區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言集的多屬性決策模型

2.1 問(wèn)題的提出

記S={s6=很好，s5=好，s4=較好，s3=一般，s2=較差，

}s1=差，s0=很差 為7值語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集。

假設(shè)某多屬性決策問(wèn)題具有n個(gè)決策單元，由K個(gè)成員組成的決策機(jī)構(gòu)D=，運(yùn)用7值語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集對(duì)m個(gè)屬性C=分別進(jìn)行評(píng)價(jià)，采取兩階段決策方法，選擇最優(yōu)決策單元。假設(shè)屬性權(quán)重為

第一階段，由某評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)對(duì)每一決策單元，關(guān)于每一屬性給出一個(gè)評(píng)價(jià)等級(jí)。等級(jí)采取7值語(yǔ)言集的方法確定，得到語(yǔ)言數(shù)矩陣：

其中，sθ(xi|cj)∈S表示xi關(guān)于屬性cj所對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言數(shù)。

第二階段，在上述語(yǔ)言數(shù)矩陣D0基礎(chǔ)上，決策機(jī)構(gòu)成員分別根據(jù)個(gè)人的認(rèn)知與觀點(diǎn)，對(duì)每一個(gè)決策單元的每一個(gè)屬性評(píng)價(jià)結(jié)果發(fā)表意見(jiàn)——給出隸屬度區(qū)間，得到如下決策矩陣：

最后，基于決策矩陣，構(gòu)建綜合評(píng)價(jià)模型，給出最優(yōu)決策單元。

2.2 區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)向量距離測(cè)度

從決策矩陣D可以看出，矩陣每一行代表著一個(gè)決策單元的評(píng)價(jià)信息，是m維空間的一個(gè)向量。為此，本文給出區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)向量的定義。

定義8：對(duì)于給定對(duì)象x，設(shè)1，2，…，m是屬性cj的評(píng)價(jià)值，則向量稱為m維區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)向量。

決策矩陣D的n行，也可看成m維區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)向量空間中的n個(gè)點(diǎn)。根據(jù)上述某個(gè)固定屬性下區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)的大小比較方法，得分函數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言集到實(shí)數(shù)集合的映射。于是，通過(guò)這一映射，m維區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)向量對(duì)應(yīng)著m維得分值向量。利用歐氏空間加權(quán)向量距離公式，本文定義m維區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)向量空間的距離側(cè)度。

其中，ωj為權(quán)重，滿足ω1+ω2+…+ωm=1，S(αij)表示區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)αij的得分值。

根據(jù)定義9，顯然有如下的定理。

2.3 TOPSIS法決策過(guò)程

基于上述理論，本文利用多屬性決策問(wèn)題中常用的TOPSIS方法思想，通過(guò)計(jì)算各決策單元與正理想解和負(fù)理想解的距離對(duì)決策單元進(jìn)行排序，即：距離正理想解最近，且距離負(fù)理想解最遠(yuǎn)的決策單元為最佳決策單元；反之，則為最差決策單元?；静襟E如下：

第一步：建立決策矩陣（5）式，并根據(jù)定義4，將決策矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)決策矩陣：

其中：

第二步：計(jì)算得分矩陣和精確矩陣。根據(jù)定義7的式（3）和式（4），分別計(jì)算每個(gè)屬性下區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)的得分函數(shù)值，得到得分矩陣和精確矩陣：

第三步：確定正理想解和負(fù)理想解。根據(jù)得分矩陣和精確矩陣，按照定義6，在標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣D中選擇每一個(gè)屬性下得分函數(shù)值最大（當(dāng)最大得分值相同時(shí)，選擇精確函數(shù)值最大）所對(duì)應(yīng)的區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)，記為

第四步：根據(jù)定義9，分別計(jì)算每個(gè)行向量（決策單元）與正理想解、負(fù)理想解之間的距離，記為d(xi，x+)和d(xi，x-)，計(jì)算公式為：

第五步：對(duì)決策單元進(jìn)行排序。首先計(jì)算各個(gè)備選決策單元的相對(duì)貼近度Ci，i=1，2，…，n，計(jì)算公式為：

然后，根據(jù)相對(duì)貼近度的大小進(jìn)行排序，如果某個(gè)Ci最大，則所對(duì)應(yīng)的備選決策單元為最優(yōu)。

3 實(shí)例數(shù)值計(jì)算結(jié)果

為了說(shuō)明本文所提出方法的有效性，采用文獻(xiàn)[4]中的實(shí)例問(wèn)題和數(shù)據(jù)。

3.1 實(shí)例問(wèn)題的提出

3.2 決策過(guò)程與計(jì)算結(jié)果

第一步：建立決策矩陣。海外投資部門(mén)采用7值語(yǔ)言集S刻畫(huà)5個(gè)國(guó)家的4個(gè)屬性等級(jí)，用區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言集表達(dá)每個(gè)屬性的評(píng)價(jià)意見(jiàn)，得到區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)決策矩陣（見(jiàn)表1）。

表1 區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)決策矩陣

由表1得到標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)決策矩陣（見(jiàn)表2）。

表2 標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)決策矩陣

第二步：計(jì)算得分矩陣和精確矩陣。根據(jù)表2標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣，運(yùn)用定義7的式（3）和式（4），分別計(jì)算每個(gè)屬性下區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)的得分函數(shù)值，分別得到定義2中三種尺度函數(shù)下的得分矩陣（見(jiàn)表3）。

表3 三種類型尺度函數(shù)下的得分矩陣

第三步：確定正理想解和負(fù)理想解。根據(jù)得分矩陣（表3），在三種類型尺度函數(shù)情形下，可獲得正理想解和負(fù)理想解（見(jiàn)表4）。

表4 三種類型尺度函數(shù)下的正理想解和負(fù)理想解

第四步：假設(shè)四個(gè)屬性 {c1，c2，c3，c4} 的權(quán)重對(duì)應(yīng)為{ω1=0.73，ω2=0.18，ω3=0.06，ω4=0.03}，根據(jù)式（7）和式（8）計(jì)算每個(gè)備選決策單元與正理想解和負(fù)理想解之間的距離，并根據(jù)式（9）計(jì)算出相對(duì)貼近度，結(jié)果見(jiàn)表5。

表5 三種類型尺度函數(shù)下決策單元與理想解的距離及相對(duì)貼近度

由表5可以看出，5個(gè)決策單元的排序，均為x5?x3?x1?x2?x4，表示x5為最佳投資對(duì)象，其次是x3，而x4是最不理想的投資對(duì)象。這一結(jié)論與文獻(xiàn)[4]的結(jié)論完全一致，充分說(shuō)明本文提出的決策方法與過(guò)程同樣是有效的，而且更簡(jiǎn)單直觀。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用向量距離測(cè)度法，結(jié)合現(xiàn)實(shí)群決策過(guò)程，首先定義了標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)以及其向量的概念，實(shí)際上，也就是給出了一種區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)的歸一法，并據(jù)此修正了文獻(xiàn)[4]提出的區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)的得分函數(shù)和精確函數(shù)計(jì)算公式。然后，利用得分函數(shù)將區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言集映射到實(shí)數(shù)集的關(guān)系，構(gòu)建了區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)向量之間的距離測(cè)度，實(shí)現(xiàn)了將區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言數(shù)決策矩陣向?qū)崝?shù)矩陣的轉(zhuǎn)換。通過(guò)這些方法的創(chuàng)新，本文有效地運(yùn)用了多屬性決策中常用的TOPSIS方法思想，建立了基于區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言評(píng)價(jià)的多屬性決策模型，大大簡(jiǎn)化了文獻(xiàn)[4]構(gòu)建PA聚合算子的決策計(jì)算過(guò)程。通過(guò)運(yùn)用文獻(xiàn)[4]中的同一問(wèn)題及其數(shù)據(jù)進(jìn)行決策計(jì)算與分析，本文得到了與其完全相同的決策結(jié)果，驗(yàn)證了方法的有效性和可行性。顯然，本文決策過(guò)程更容易被人們理解和接受，在現(xiàn)實(shí)中更容易被應(yīng)用，而且也進(jìn)一步有利于被決策對(duì)象分析自身的優(yōu)勢(shì)和存在的不足。