混沌反饋自適應鯨魚優(yōu)化算法研究

涂春梅,陳國彬,劉 超

（1.重慶工商大學融智學院大數據研究所，重慶 401320；2.貴州航天電器股份有限公司，貴陽 550009）

0 引言

鯨魚優(yōu)化算法（whale optimization algorithm,WOA）是Mirjalili和Lewis于2016年受啟發(fā)于鯨魚獨特的泡泡網覓食行為而提出的一種新的群智能優(yōu)化算法[1]。作為一種新型的進化算法，與其他算法相比，WOA易于理解，實現簡單，且全局尋優(yōu)能力強，因此一經提出便引起了國內外學者的關注和研究，并應用于函數優(yōu)化、圖像處理、故障診斷支持向量機參數優(yōu)化等領域[2-4]。然而，由于WOA提出的時間較晚，尚未被熟知，其理論分析還處于初級階段，其在高維多極值復雜優(yōu)化問題中也存在收斂精度不高、易陷入局部最優(yōu)等問題。

為了研究WOA的優(yōu)化性能及更好地改善算法的全局優(yōu)化能力，本文提出了一種新的混沌反饋自適應鯨魚優(yōu)化算法（chaos feedback adaptive WOA，CFAWOA）。在CFAWOA算法中，引入混沌理論生成初始種群增加種群多樣性，為算法全局搜索奠定基礎；同時，在鯨魚位置更新后期增加反饋階段，通過交流學習使最差鯨魚快速向最優(yōu)鯨魚靠攏，提高算法的全局搜索能力；此外，在鯨魚個體位置更新公式中引入自適應慣性權值，通過平衡算法的開發(fā)和探索能力進一步改善算法的優(yōu)化性能。選取6個復雜函數優(yōu)化問題進行仿真實驗，仿真結果驗證了CFAWOA算法在優(yōu)化性能方面得到明顯改善。

1 鯨魚優(yōu)化算法(WOA)

（1）收縮包圍機制

為了從數學上描述鯨魚的泡泡網覓食行為，在WOA算法中，設計了兩種不同方式：收縮包圍機制和螺旋更新位置。假設鯨魚種群規(guī)模為N，優(yōu)化空間的維度為d，每只鯨魚的位置代表一個優(yōu)化問題的可行解，則Xi=,…,),i=1,…,N表示第i只鯨魚在d維空間中的位置。

鯨在狩獵的時候要包圍獵物，在求解優(yōu)化問題前對搜索空間中的全局最優(yōu)位置沒有任何先驗知識，因此假設當前種群中最優(yōu)位置為獵物，鯨魚個體均向最優(yōu)位置包圍，數學模型描述如下：

式中，t為當前迭代次數，Xp為獵物位置，X(t)為當前鯨魚的位置，A和C是系數向量，定義如下：

式中，r1和r2是[0,1]中的隨機數，a為控制參數，隨迭代次數增加從2線性減小到0，定義如下：

式中，Tmax為最大迭代次數。收縮包圍機制通過式（1）和式（4）隨著參數a的減小而實現的。

（2）螺旋更新位置

鯨魚在包圍獵物之后，螺旋式運動以捕獲食物，其數學模型描述如下：

式中，D′= ||Xp(t)-X(t)表示鯨魚和獵物之間的距離；b是一個常數，用來定義對數螺線的形狀；l是[-1,1]中的隨機數。

鯨魚的收縮包圍機制和螺旋更新位置是一種同步行為，在數學模型描述中，通常選取兩種方式的概率相同，即Pi=0.5，描述如下：

2 混沌反饋自適應鯨魚優(yōu)化算法

為解決WOA算法在處理復雜函數優(yōu)化問題中遇到的收斂精度較低、易陷入局部最優(yōu)的不足，提出了混沌反饋自適應鯨魚優(yōu)化算法(CFAWOA)。通過如下三種策略改善WOA算法的全局優(yōu)化性能：

（1）Sin混沌初始化種群

群智能優(yōu)化算法種群初始化方法會影響算法的收斂速度和解的精度。WOA算法在缺乏有關先驗信息時采用隨機初始種群，不能保證鯨魚在整個解空間中均勻分布?；煦缬成涫怯纱_定性方程得到的具有隨機性的運動狀態(tài)，具有隨機性性、遍歷性的特點[5]。文獻[6]驗證了Sin混沌較Logistic混沌具有更明顯的混沌特性，因此采用Sin混沌進行WOA算法的種群初始方法?？疾焓剑?）定義的Sin混沌自映射：

式（7）中初始值不能為0，避免在[-1,1]內產生不動點和零點。當迭代一定次數時，系統(tǒng)輸出將遍歷整個解空間。

（2）反饋階段

在WOA算法中，鯨魚通過獵物的位置來改變自身的運動軌跡，運動方式比較單一。然而在實際的覓食過程中，最優(yōu)鯨魚有目的的與最差鯨魚進行反饋交流，通過反饋信息交流，距離食物較遠的鯨魚能快速運動到食物附件，這樣將能進一步提高算法的收斂速度，本文在精英WOA算法基礎上，引入反饋階段來提高算法的尋優(yōu)精度及穩(wěn)定性。

反饋階段數學模型如下：

式中，Xworst是種群中最差鯨魚個體位置向量；r是[0,1]中的隨機數。比較新解Xworst_new與當前解Xworst，如果Xworst_new優(yōu)于Xworst，則接受Xworst_new。

（3）自適應慣性權值

慣性權值是WOA算法中的一個重要參數，式（1）和式（5）中保持較大的慣性權值1，恒定不變的慣性權重將降低算法的效率，不利于算法的全局尋優(yōu)。文獻[7]指出較大的慣性權值有利于全局優(yōu)化，較小的慣性權值有利于局部挖掘。理想的慣性權重策略應呈現這樣的特點：在迭代初期，應具有較大的權重，保證算法具有較強的全局搜索能力；在迭代后期，應具有較小的權重，保證算法具有較強的局部搜索能力。因此，合理的慣性權值有利于平衡算法的全局探索和局部開采能力。

在式（1）和式（5）中引入如下自適應慣性權值ω：

式中，f(x)是鯨魚x的適應度值；u表示在第一次迭代計算中鯨魚種群中最佳的適應度值；iter表示當前的迭代次數。利用ω的動態(tài)非線性特性控制鯨魚位置對新鯨魚位置的影響度。改進后的更新公式表述如下：

在迭代初期，較小的適應度值保證了算法擁有較大的慣性權重；相反，后期較大適應度值保證了算法擁有較小的慣性權重，利于WOA算法的全局優(yōu)化性能。

在CFAWOA中，采用Sin混沌初始化種群以改善種群的分布情況；同時，增加反饋階段，通過最差鯨魚與最優(yōu)鯨魚進行信息交換，以促進最差鯨魚快速運動到食物周圍；除此之外，自適應慣性權值平衡算法的全局探索和局部開采能力，進一步改善算法的全局優(yōu)化能力。CFAWOA算法流程如下：

設置最大迭代次數Tmax，種群規(guī)模N，按式（7）產生N個初始鯨魚種群{Xi,i=1,2,...,N}；

計算每個鯨魚個體的適應度值{f(Xi),i=1,2,...,N}，記錄當前最優(yōu)個體及位置；

根據式（9）計算自適應慣性權值w的值；

根據式（4）計算控制參數α的值；

更新其他參數A、C、l、p的值；

根據式（10）更新當前鯨魚個體的位置；

在群體中選擇最差鯨魚個體Xworst；

根據式（8）更新當前鯨魚個體的位置；

根據式（11）更新當前鯨魚個體的位置；

計算群體中個體的適應度值{f(Xi),i=1,2,...,N}；

更新當前最優(yōu)個體及位置；

3 CFAWOA算法性能測試

為了檢驗CFAWOA性能，選取表1（見下頁）中6個函數，優(yōu)化求解最小值，測試CFAWOA優(yōu)化精度和全局尋優(yōu)能力。其中F1—F3為高維的單峰基準函數，F4—F6為高維的多峰基準函數。將CFAWOA與WOA、PSO[8]、TLBO[9]算法進行比較。為了比較的公平性，CFAWOA、WOA、PSO和TLBO四種算法的參數設置如下：種群規(guī)模為50，迭代次數為1000，運行次數30；另外，對于6個高維優(yōu)化函數，它們的維數均依次設置為30、50、100。此外，所有仿真實驗均在同一平臺上完成，硬件系統(tǒng)采用戴爾Inspiron 14-7467筆記本，處理器為英特爾i7-7700HQ 2.8GHz、內存為8GB、Win 7 64位操作系統(tǒng)，MATLAB版本為R2009a。

表1 基準測試函數

3.1 概率對CFAWOA的性能影響

為了研究CFAWOA算法中不同概率P對算法性能的影響，對表1中6個測試函數均設置P=0.3、0.5、0.8三個不同的概率，對CFAWOA的優(yōu)化性能進行測試，如表2所示。

表2 概率對CFAWOA算法性能影響

如表2所示，對單峰基準函數F1和F3，概率為0.3、0.5和0.8均能搜索到全局最優(yōu)解，比較平均迭代次數（C.I.）指標發(fā)現：F1、F3在概率為0.5時分別為714和84，對F2函數，概率為0.5時平均值和均方差最小。對多峰基準函數F4，三種概率均為搜索到理論最優(yōu)解，但概率為0.5時最早搜索到最優(yōu)值。對于F5，三種概率都能找到全局最優(yōu)解，C.I.指標分別為78、62、85，也即是概率為0.5時搜索到最優(yōu)解的速度最快。對F6測試函數，三種概率都沒有找到理論最優(yōu)解，概率為0.5時最優(yōu)解指標最小。綜上所述，概率為0.5時CFAWOA算法的精度和收斂速度更具優(yōu)勢，后文在參數設置中將概率設置為0.5。

3.2 CFAWOA算法性能驗證

為了驗證CFAWOA的性能，將CFAWOA與基本WOA、PSO和TLBO進行對比。以表格的形式記錄各優(yōu)化算法尋優(yōu)的平均值和均方差，如下頁表3所示。

從表3可以看出，在設定的參數條件下，CFAWOA能夠找到F1、F3、F5的理論最優(yōu)值，對其余函數來說，雖然CFAWOA精度沒有達到理論最優(yōu)，但CFAWOA算法搜索的結果無限接近最優(yōu)值，與其他三個算法相比在精度上有了很大的提高，也更加穩(wěn)定。改進后的鯨魚算法較基本的鯨魚算法在精度上都有了極大的提高。

以最優(yōu)解的平均值和標準差為評判標準，通過比較CFAWOA、WOA、PSO和TLBO的優(yōu)化結果可以看出，無論是30維、50維還是100維情況下，CFAWOA在6個優(yōu)化問題上都能表現出較好的尋優(yōu)能力。除此之外，CFAWOA針對6個標準優(yōu)化函數而言，無論優(yōu)化問題為30維或50維、還是100維，CFAWOA較其他三種算法更加穩(wěn)定，搜索的精度依然很高。

圖1是四種算法在50維情況下6個優(yōu)化函數的尋優(yōu)曲線。從圖1中可以看出，對于函數F1、F3、F5，CFAWOA算法能快速搜索到理論最優(yōu)解，觀察其余函數，CFAWOA算法收斂速度較其他三種算法更快，收斂精度也有一定的提高；CFAWOA算法對F2和F6函數在50維進行尋優(yōu)時，有多處拐點出現，證明其跳出局部最優(yōu)的能力得到了有效增強；綜上所述，針對多維復雜函數優(yōu)化問題時，CFAWOA算法的優(yōu)化能力相對WOA算法有了較大改善，其優(yōu)化性能比PSO和TLBO算法更加有效，CFAWOA算法能夠有效解決高維復雜數值優(yōu)化問題。

圖1 優(yōu)化性能比較

表3 四種算法對基準測試函數的運行結果

4 結束語

本文針對標準WOA算法存在的初始種群不均勻、全局搜索能力不高、易陷入局部最優(yōu)等問題，提出了一種混沌反饋自適應鯨魚優(yōu)化算法(CFAWOA)以解決復雜函數優(yōu)化問題。通過混沌策略初始化種群，保證了解空間分布均勻，且不失多樣性，改善算法的優(yōu)化性能。在鯨魚位置更新后期增加反饋階段，通過交流學習幫助最差鯨魚快速向最優(yōu)鯨魚靠攏，提高算法的全局搜索能力；除此之外，引入自適應慣性權值幫助算法及時跳出早熟收斂進一步提高WOA算法的全局優(yōu)化能力。數值函數仿真實驗表明，CFAWOA算法在進行高維、多峰復雜數值函數求解時能取得較為滿意的優(yōu)化結果，與其余優(yōu)化算法相比較，在一定程度上表現出了更好的收斂精度且更加穩(wěn)定。