數(shù)形結(jié)合巧用“k”

吳玲芳

“反比例函數(shù)”與“分式”內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，且以分式的內(nèi)容為基礎(chǔ)。反比例函數(shù)與一次函數(shù)既有聯(lián)系，又有區(qū)別。一次函數(shù)是一條直線，而反比例函數(shù)是“分支曲線”。反比例函數(shù)在中考中也是常見考點(diǎn)，通常會(huì)與一次函數(shù)以及多邊形等知識結(jié)合。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)圖像來解決有關(guān)反比例函數(shù)問題，快捷準(zhǔn)確。

一、反比例函數(shù)圖像的增減性

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，分布在兩個(gè)不同的象限。當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線的兩支分別在第一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?dāng)k＜0時(shí)，雙曲線的兩支分別在第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。它的增減性與一次函數(shù)不同，反比例函數(shù)的增減性必須強(qiáng)調(diào)“在哪個(gè)象限內(nèi)”。

解：由-a2-1＜0（a為常數(shù)），可知函數(shù)y=的圖像分布在第二、四象限。畫出簡圖，如圖 1，由圖像可知 y3＜0，y2＞y1＞0，所以y3＜y1＜y2。

圖1

【點(diǎn)評】本題不能用代數(shù)方法計(jì)算求出y1、y2、y3的準(zhǔn)確值，只能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，利用函數(shù)的增減性來求解。通過觀察圖像，比較縱坐標(biāo)的大小即可。

二、反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義

反比例函數(shù)的比例系數(shù)k決定函數(shù)圖像分布的象限。過反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)，向坐標(biāo)軸引垂線，垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是 ||k。過反比例函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是。已知圖形的面積，求k的值時(shí)，由于面積非負(fù)，必須根據(jù)雙曲線所在的象限，確定k的符號。

圖2

【解析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、三角形的面積公式和“設(shè)而不求”法。

解：（方法一）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），則ab=k。△ABO的面積=

所以

（方法二）直接利用k的幾何意義。由三，化簡得ab=-8，即k=-8。角形的面積為4，得知，即 ||k=8。由于圖像分布在第二、四象限，則k＜0，所以k=-8。

【點(diǎn)評】本題是填空題，不需要寫過程，可以直接利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義解答，再根據(jù)圖像所在的象限，確定k的符號，數(shù)形結(jié)合，快速便捷。如果是解答題，則按照方法一寫過程。

三、反比例函數(shù)圖像的對稱性

反比例函數(shù)圖像是中心對稱圖形，正比例函數(shù)圖像也是中心對稱圖形，因此兩個(gè)圖像組成的整體也是中心對稱圖形。它們的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以兩個(gè)交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。利用這樣的特殊性質(zhì)可以幫助我們快速解決有關(guān)反比例函數(shù)的問題。

A.-6 B.-9 C.0 D.9

【解析】運(yùn)用反比例函數(shù)圖像的對稱性與整體思想即可求解。

解：由點(diǎn)A（x1，y1）在雙曲線 y=3上，可知xx1y1=3，易知點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則x1=-x2，y1=-y2。因此 x1y2+x2y1=-x1y1-x1y1=-3-3=-6。故選：A。

【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)的對稱性。根據(jù)反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，得出x1=-x2，y1=-y2是解答此題的關(guān)鍵。把x1y1看成整體，利用整體思想求解。

四、反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)乘積是定值k。當(dāng)已知條件中給出了某不規(guī)則圖形的面積，通常設(shè)出某個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圖形特點(diǎn)和反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，表示出其他未知點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)已知圖形的面積建立方程，求出k。所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然也是未知字母，但并不真正參與最后的計(jì)算，只是“設(shè)而不求”。

例4 如圖3，在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)與AB相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，若BD=3AD，且△ODE的面積是12，則k= 。

圖3

【解析】利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，“設(shè)而不求”。

解：由四邊形OCBA是矩形，可知AB=OC，OA=BC。設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），ab=k，根據(jù)BD=3AD，可知B（4a，b）。因?yàn)镋在反比例函數(shù)的圖像上，所以E的坐標(biāo)為（4a）?！逽△

【點(diǎn)評】通過設(shè)圖像上的關(guān)鍵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系、圖形特點(diǎn)以及反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)乘積等于k，表示出B和E的坐標(biāo)，然后用長方形面積減去3個(gè)直角三角形的面積來表示△ODE的面積。此時(shí)，△AOD和△OCE的面積可以利用k的幾何意義直接表示，得到有關(guān)k的方程，求出k。這里設(shè)的坐標(biāo)a和b，也是“設(shè)而不求”，它們的乘積可看作整體。

五、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

例5 如圖4，一次函數(shù)y=k1x+b的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像相交于A（2，3），B（6，1）兩點(diǎn)，當(dāng)kx+b＜時(shí)，x的取值范圍為（ ）。

A.x＜2 B.2＜x＜6

C.x＞6 D.0＜x＜2或x＞6

圖4

【解析】本題要根據(jù)函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想求不等式的解集。

1

x當(dāng)一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時(shí)，自變量的取值范圍。從圖像上看，當(dāng)時(shí)，即為一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)圖像的下方。由圖可知，在點(diǎn)A的左側(cè)、y軸右側(cè)這部分圖像以及B點(diǎn)的右側(cè)的圖像，都是滿足的。所以x的取值范圍為0＜x＜2或x＞6。故選D。

【點(diǎn)評】如果利用待定系數(shù)法求出兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，再代入不等式，化簡后為一元二次不等式，超出了同學(xué)們目前的知識水平。而從圖像出發(fā)，根據(jù)圖像來求解，則問題便迎刃而解。一般先找到交點(diǎn)，相交時(shí)屬于臨界狀態(tài)，兩個(gè)函數(shù)值相等。然后在交點(diǎn)的兩側(cè)觀察圖像，根據(jù)大小關(guān)系，觀察兩個(gè)圖像的上下相對位置，從而得出橫坐標(biāo)的范圍，即為x的范圍。注意雙曲線有兩支，必須考慮全面，不能漏解。本題看似是求不等式解集，實(shí)則求自變量的取值范圍，在圖像上即為求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍，利用數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為圖形問題。