考慮幾何非線性的氣動(dòng)彈性模型縮比方法

柴睿， 譚申剛， 黃國(guó)寧

(航空工業(yè)第一飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院, 西安 710089)

近些年來，無人機(jī)得到了長(zhǎng)足發(fā)展。為了延長(zhǎng)航行時(shí)間并降低能源消耗，無人機(jī)一般采用大展弦比高柔性機(jī)翼設(shè)計(jì)以追求較高的氣動(dòng)效率[1]。同時(shí)為了減輕飛機(jī)重量，機(jī)翼設(shè)計(jì)大都選擇輕質(zhì)材料，所以大展弦比無人機(jī)機(jī)翼一般都是柔性機(jī)翼。然而，機(jī)翼的展弦比增大以及重量減小會(huì)帶來新的挑戰(zhàn)，這就要求對(duì)機(jī)翼在正常飛行載荷下的大變形問題做進(jìn)一步研究，因?yàn)榇笞冃螁栴}會(huì)帶來幾何非線性行為及相關(guān)的氣動(dòng)彈性問題[2-3]。這些大變形會(huì)改變機(jī)翼的固有頻率，從而使其氣動(dòng)彈性行為發(fā)生顯著變化[4]。

在進(jìn)行氣動(dòng)彈性特性理論計(jì)算的同時(shí)，通過風(fēng)洞試驗(yàn)來確定飛機(jī)的氣動(dòng)彈性特性是必不可少的[5]。縮比模型的氣動(dòng)彈性試驗(yàn)是飛機(jī)研制過程中最基本的保證，縮比模型應(yīng)盡可能地反映出全尺寸飛機(jī)的氣動(dòng)彈性響應(yīng)[6]。使用縮比模型來進(jìn)行試驗(yàn)可以更好地理解機(jī)翼的物理行為，同時(shí)降低制造全尺寸飛機(jī)的風(fēng)險(xiǎn)與成本[7]。

氣動(dòng)彈性模型縮比設(shè)計(jì)要求同時(shí)考慮氣動(dòng)力和結(jié)構(gòu)的物理特性。氣動(dòng)力的模擬可以通過氣動(dòng)外形幾何縮比再進(jìn)行分析計(jì)算得到。而通常情況下，通過結(jié)構(gòu)的幾何尺寸縮比對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬是不現(xiàn)實(shí)的。根據(jù)縮比設(shè)計(jì)的要求，指定幾何縮比的結(jié)構(gòu)，其制造所用的材料通常是不存在的，而且很大程度上用于制造全尺寸飛機(jī)的加工技術(shù)在縮比模型上是不可能實(shí)現(xiàn)的。唯一可行的方法是對(duì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行重新設(shè)計(jì)并優(yōu)化，比如對(duì)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度、阻尼特性進(jìn)行縮比，并且與全尺寸飛機(jī)保持協(xié)調(diào)[8]。

目前研究考慮非線性的氣動(dòng)彈性模型縮比的相關(guān)文獻(xiàn)較少，只是最近幾年該課題才熱門起來，這些研究主要針對(duì)的是具有大展弦比高柔性機(jī)翼的高空長(zhǎng)航時(shí)無人機(jī)[9]和聯(lián)翼布局飛機(jī)[10-11]。

Wan和Cesnik[9]推導(dǎo)得到包含大變形引起的非線性剛度和預(yù)應(yīng)力影響的氣動(dòng)彈性運(yùn)動(dòng)方程的縮比參數(shù)，研究表明線性和幾何非線性的氣動(dòng)彈性運(yùn)動(dòng)方程的縮比因子在形式上是相同的。同時(shí)Wan和Cesnik[9]對(duì)大柔性飛機(jī)2種形式的縮比設(shè)計(jì)進(jìn)行了分析，其中一種設(shè)計(jì)有意忽略了Froude數(shù)，他們對(duì)包括結(jié)構(gòu)模態(tài)、非線性氣動(dòng)彈性配平、不同載荷下的線性長(zhǎng)周期穩(wěn)定性以及非線性瞬態(tài)陣風(fēng)響應(yīng)等特性進(jìn)行了計(jì)算。結(jié)果表明:包含F(xiàn)roude數(shù)的縮比模型響應(yīng)與全尺寸模型吻合得很好，所以Froude數(shù)的相似在驗(yàn)證的問題上不能被忽略。

Bond等[10]提出了一個(gè)非線性氣動(dòng)彈性模型縮比方法，用來設(shè)計(jì)具有幾何非線性特征的聯(lián)翼飛機(jī)縮比模型。其設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)可以匹配前3階頻率、前3階模態(tài)振型以及第1階線性屈曲特征解，且縮比模型的氣動(dòng)彈性頻率和阻尼在整個(gè)速度包線上都匹配得很好。同時(shí)，結(jié)果表明，縮比模型的非線性靜響應(yīng)，在60%屈曲載荷下都匹配得很好。

Ricciardi等[11]發(fā)展的幾何非線性氣動(dòng)彈性模型縮比設(shè)計(jì)方法可以直接匹配縮比的線性和非線性靜響應(yīng)，同時(shí)可以滿足模態(tài)頻率的約束。他們用該方法設(shè)計(jì)的模型同利用傳統(tǒng)方法并經(jīng)過優(yōu)化的模型進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)用前面提到的方法設(shè)計(jì)并優(yōu)化的縮比模型其非線性氣動(dòng)彈性響應(yīng)同目標(biāo)響應(yīng)吻合較好，而利用傳統(tǒng)方法設(shè)計(jì)的縮比模型其非線性氣動(dòng)彈性響應(yīng)同目標(biāo)響應(yīng)相比誤差較大。

基于上述觀點(diǎn)，本文提出一個(gè)新的非線性氣動(dòng)彈性模型縮比方法，稱為動(dòng)力學(xué)有限元模型的非線性靜響應(yīng)-模態(tài)協(xié)同優(yōu)化方法，其中非線性靜響應(yīng)的匹配是基于等效靜態(tài)載荷法來實(shí)現(xiàn)的。這是首次將處理非線性靜力學(xué)的等效靜態(tài)載荷法與大展弦比機(jī)翼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)相結(jié)合的優(yōu)化方法。

另外該方法與Ricciardi等[11]提出的方法主要區(qū)別是縮比方法的實(shí)現(xiàn)過程不同。本文方法中剛度和質(zhì)量分布設(shè)計(jì)是在2個(gè)優(yōu)化循環(huán)過程中進(jìn)行的，而Ricciardi等的方法只是在一個(gè)優(yōu)化循環(huán)中進(jìn)行的。而且本文驗(yàn)證的實(shí)例是一架具有超大展弦比高柔性機(jī)翼的某型無人機(jī)，它的幾何非線性效應(yīng)比上述文獻(xiàn)中驗(yàn)證的飛機(jī)要強(qiáng)得多。

1 理論方法

1.1 相似準(zhǔn)則

縮比因子的選擇是氣動(dòng)彈性縮比模型設(shè)計(jì)過程中關(guān)鍵的第1步。通常選定氣動(dòng)彈性縮比模型設(shè)計(jì)的3個(gè)基本縮比因子：kb、kv和kρ。這里，kb為縮比模型與全尺寸模型的長(zhǎng)度比，kv為縮比模型與全尺寸模型的速度比，kρ為縮比模型與全尺寸模型所處環(huán)境的空氣密度比。

為了滿足縮比模型和全尺寸模型之間的氣動(dòng)彈性相似性，在前3個(gè)基本縮比因子[12-13]的基礎(chǔ)上，必須滿足下面描述的4個(gè)相似準(zhǔn)則。當(dāng)要求在重力作用下氣動(dòng)彈性響應(yīng)滿足相似要求時(shí)，必須滿足重力相似準(zhǔn)則作為附加條件。

1) 幾何相似

幾何相似的縮比因子即前述的kb。幾何相似意味著縮比模型與全尺寸模型之間的所有尺寸比(包括翼展比，弦長(zhǎng)比等)都與kb相同。同時(shí)還假定縮比模型和全尺寸模型具有相同的翼型。

2) 質(zhì)量相似

滿足質(zhì)量相似可以寫為

(1)

這意味著縮比模型的分布質(zhì)量應(yīng)該通過質(zhì)量縮比因子km與全尺寸模型的分布質(zhì)量成比例。

3) 剛度相似

滿足剛度相似可以描述為

(2)

這意味著縮比模型的分布剛度應(yīng)該通過剛度縮比因子kK與全尺寸模型的分布剛度成比例。

基于固有頻率與質(zhì)量和剛度的關(guān)系，頻率的縮比因子即為

(3)

4) 氣動(dòng)相似

當(dāng)縮比模型和全尺寸模型之間的馬赫數(shù)與雷諾數(shù)分別滿足一致性要求時(shí)，幾何相似便會(huì)帶來氣動(dòng)相似。但是，馬赫數(shù)相似和雷諾數(shù)相似都是不容易滿足的。對(duì)于大展弦比高柔性無人機(jī)的典型低速飛行，馬赫數(shù)效應(yīng)可以忽略。但是，縮比模型與全尺寸模型之間的雷諾數(shù)應(yīng)該相同或至少在相同的數(shù)量級(jí)上。

雷諾數(shù)的縮比因子可以定義為

kRe=kρkvkb/kμ

(4)

式中：kμ為空氣動(dòng)黏度的縮比因子。

基于升力方程，升力的縮比因子為

(5)

5) 重力相似

Froude數(shù)決定了重力載荷下?lián)隙扰c空氣動(dòng)力和慣性載荷下?lián)隙鹊谋戎?。?dāng)顫振試驗(yàn)中考慮重力效應(yīng)，縮比模型和全尺寸模型之間的Froude數(shù)應(yīng)相同，可以通過式(6)來滿足[10]：

(6)

與線性結(jié)構(gòu)相比，考慮幾何非線性的結(jié)構(gòu)具有其特殊的剛度特性，其特殊性取決于當(dāng)前的結(jié)構(gòu)變形。顯然，當(dāng)縮比模型和全尺寸模型在未變形狀態(tài)和任一給定的變形狀態(tài)下均滿足幾何相似，質(zhì)量相似和Froude數(shù)相似要求，則縮比模型和全尺寸模型在任何變形狀態(tài)下上述相似關(guān)系也是成立的。因此，這取決于考慮幾何非線性的結(jié)構(gòu)隨結(jié)構(gòu)變形而變化的剛度是否可以在縮比模型和全尺寸模型之間保持相似。這將直接影響線性氣動(dòng)彈性相似準(zhǔn)則對(duì)考慮幾何非線性的結(jié)構(gòu)的適用性。

Wan和Cesnik[9]的研究表明線性和幾何非線性氣動(dòng)彈性運(yùn)動(dòng)方程的縮比因子形式上是相同的。因此，若縮比模型是基于上述縮比因子設(shè)計(jì)的，則縮比模型與全尺寸模型之間的氣動(dòng)彈性行為在小變形狀態(tài)和大變形狀態(tài)下都是相似的。由式(1)～式(6)可知，對(duì)于考慮幾何非線性的氣動(dòng)彈性縮比模型而言，當(dāng)重力相似準(zhǔn)則作為附加條件時(shí)，在長(zhǎng)度比kb、空氣密度比kρ確定的情況下，作為模型設(shè)計(jì)目標(biāo)的模型質(zhì)量、模型固有頻率、模型顫振速度和顫振頻率便可隨之確定。

1.2 縮比方法

1.2.1 傳統(tǒng)線性縮比方法

從線彈性的控制方程可以看出，經(jīng)過對(duì)全尺寸飛機(jī)適當(dāng)?shù)目s比，對(duì)于不同結(jié)構(gòu)形式的縮比模型，只要具有相同的幾何縮比，以及相同的分布剛度和質(zhì)量縮比，將帶來相同的模態(tài)特性(固有頻率和模態(tài)振型)[14]。因此可以利用這一理論從全尺寸飛機(jī)那里獲得縮比模型的目標(biāo)值(質(zhì)量、慣性矩、固有頻率、模態(tài)振型和氣動(dòng)外形)。通過設(shè)計(jì)一個(gè)與全尺寸模型相似的模態(tài)特性的縮比模型，得到與內(nèi)部結(jié)構(gòu)無關(guān)的分布剛度和質(zhì)量相似性，即可采用簡(jiǎn)化的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。一般情況下，為了匹配目標(biāo)縮比值，有2種不同的傳統(tǒng)線性縮比方法：剛度質(zhì)量耦合匹配模態(tài)響應(yīng)法(方法A)；剛度質(zhì)量解耦匹配模態(tài)響應(yīng)法(方法B)。圖1和圖2分別是方法A和B的優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖。

圖1 傳統(tǒng)線性縮比方法(方法A)Fig.1 Traditional linear scaling method (Method A)

圖2 傳統(tǒng)線性縮比方法(方法B)Fig.2 Traditional linear scaling method (Method B)

方法A類似于Bisplinghoff等[12]提出的方法，方法B則是French和Eastep[6]提出的。不過上述2種方法都是針對(duì)大部分的線性問題，對(duì)于非線性問題，這2個(gè)方法的適用性還需要進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證。

1.2.2 考慮幾何非線性的縮比方法

與方法B類似，通過分別匹配解耦的剛度和質(zhì)量分布來匹配模態(tài)特性。該方法(方法C)的 流程如圖3所示。方法B與方法C的區(qū)別體現(xiàn)在第1階段的剛度優(yōu)化過程中。在方法C中，縮比模型的剛度優(yōu)化引入了等效靜態(tài)載荷法，而且通過非線性靜力分析來獲得非線性廣義位移場(chǎng)。這個(gè)優(yōu)化過程可以在MATLAB中實(shí)現(xiàn)，靜力分析與模態(tài)分析使用MSC.Nastran軟件，優(yōu)化準(zhǔn)則使用粒子群尋優(yōu)算法。當(dāng)?shù)?階段的剛度優(yōu)化完成后，就可以進(jìn)行第2階段的質(zhì)量?jī)?yōu)化，質(zhì)量?jī)?yōu)化的目的是在匹配了非線性靜響應(yīng)后匹配模態(tài)特性(固有頻率和模態(tài)振型)。

圖3 考慮幾何非線性的縮比方法(方法C)Fig.3 Scaling method considering geometric nonlinearity (Method C)

研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)非線性靜力響應(yīng)的直接優(yōu)化很困難。對(duì)于這項(xiàng)任務(wù)，基于等效靜態(tài)載荷法來應(yīng)用等效線性系統(tǒng)的效率會(huì)更高[15]。等效靜態(tài)載荷法就是通過不斷迭代更新線性系統(tǒng)中的設(shè)計(jì)變量來獲得與非線性靜力分析結(jié)果相同的廣義位移場(chǎng)。

首先給定當(dāng)前或初始設(shè)計(jì)變量j5i0abt0b和載荷條件{F}，然后非線性靜力分析通過求解非線性平衡方程(式(7))得到非線性變形{xNL}。

[KNL(d)]{xNL}={F}

(7)

由線性剛度矩陣[KLin(d)]乘以非線性變形{xNL}得到等效載荷{Feq}：

{Feq}=[KLin(d)]{xNL}

(8)

由等效載荷{Feq}和線性剛度矩陣[KLin(d)]將可得到等效線性靜態(tài)廣義位移{xLin}：

[KLin(d)]{xLin}={Feq}

(9)

接下來在等效線性系統(tǒng)中便可以執(zhí)行高效的優(yōu)化，等效靜態(tài)載荷法需要一個(gè)迭代過程來更新線性化系統(tǒng)的設(shè)計(jì)變量，優(yōu)化收斂時(shí)的線性化的最佳響應(yīng)與非線性系統(tǒng)的響應(yīng)相匹配。

(10)

式中：i為迭代次數(shù)；ε為誤差參數(shù)(滿足設(shè)計(jì)要求的小值)。應(yīng)用等效靜態(tài)載荷法的過程如圖4所示。

該優(yōu)化過程是在2個(gè)域(分析域和設(shè)計(jì)域)里實(shí)施的。首先，在分析域中進(jìn)行非線性靜力分析，獲得非線性廣義位移場(chǎng)；然后，利用位移場(chǎng)通過等效靜態(tài)載荷法獲得新的載荷條件，把新的載荷條件應(yīng)用到設(shè)計(jì)域的線性靜力優(yōu)化中；最后，通過不斷迭代更新設(shè)計(jì)域中的設(shè)計(jì)變量來使非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的廣義位移場(chǎng)誤差滿足要求。該過程的具體實(shí)現(xiàn)如圖5所示。

本文目的是對(duì)具有幾何非線性特征的結(jié)構(gòu)進(jìn)行氣動(dòng)彈性縮比，設(shè)計(jì)出的縮比模型要與全尺寸 飛機(jī)的模態(tài)特性吻合，所以筆者根據(jù)傳統(tǒng)線性縮比方法結(jié)合等效靜態(tài)載荷法來實(shí)現(xiàn)這一縮比過程。

圖4 分析域和設(shè)計(jì)域優(yōu)化流程圖Fig.4 Flowchart of analysis and design domain optimization

圖5 等效靜態(tài)載荷法的實(shí)現(xiàn)過程圖Fig.5 Implementation procedure of equivalent static loads method

2 模 型

2.1 全尺寸模型

本文縮比的全尺寸模型是一架具有大展弦比柔性機(jī)翼的某型機(jī)。該機(jī)機(jī)翼的展弦比為31.25，屬于超大展弦比機(jī)翼。該機(jī)的巡航馬赫數(shù)Ma=0.1，巡航高度為20 km。機(jī)翼的主要參數(shù)在表1中列出。

整個(gè)機(jī)翼包括1段10 m長(zhǎng)的中央翼，2段10 m長(zhǎng)的中外翼，2段10 m長(zhǎng)的外翼。整個(gè)機(jī)翼包括梁、肋和前后緣，翼梁為盒形梁，梁截面寬度為240 mm，高度為170 mm。翼肋采用夾芯肋，前后緣為殼形蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)。全尺寸機(jī)翼的平面布局如圖6所示，該機(jī)結(jié)構(gòu)布局如圖7所示。本文使用MSC.Nastran軟件對(duì)全尺寸模型進(jìn)行求解計(jì)算。

本文首先對(duì)全尺寸模型進(jìn)行線性和非線性靜力分析，以評(píng)估2種分析之間的差異。圖8顯示了隨著過載系數(shù)的增加，翼尖線性與非線性垂向變形量變化趨勢(shì)的差異。根據(jù)定義，通過增加升力來實(shí)現(xiàn)不同的過載系數(shù)：

(11)

式中：n為過載系數(shù);L和W分別為飛機(jī)的總升力和總重力。分析發(fā)現(xiàn)，隨著過載系數(shù)的增加，線性和非線性變形量變化曲線逐漸分離。當(dāng)過載系數(shù)是4時(shí)，翼尖非線性變形量與線性變形量相差4.07 m。這是因?yàn)榫€性靜力分析時(shí)不考慮升力跟隨后的軸向分力，所以翼尖不會(huì)向翼根方向移動(dòng)。從圖8還可以看出，過載系數(shù)為1.5時(shí)，非線性效應(yīng)還不明顯，這是因?yàn)闄C(jī)翼剛度稍大，載荷較小時(shí)，結(jié)構(gòu)還沒有到達(dá)非線性狀態(tài)造成的。當(dāng)過載系數(shù)為3時(shí)，截面轉(zhuǎn)角θ和扭轉(zhuǎn)角φ沿展向的非線性和線性變化趨勢(shì)如圖9所示， 其中b為翼展長(zhǎng)度。由圖9可知，當(dāng)進(jìn)行非線性靜力分析時(shí)，結(jié)構(gòu)會(huì)經(jīng)歷一個(gè)剛度硬化效應(yīng)。在圖9中線性和非線性變化趨勢(shì)分離的地方出現(xiàn)在翼展20%站位的位置，這是由剛度變化引起的。

表1 全尺寸機(jī)翼的主要參數(shù)Table 1 Main parameters of full-scale wing

圖7 全機(jī)結(jié)構(gòu)及內(nèi)部結(jié)構(gòu)Fig.7 Whole aircraft structure and internal structure

圖8 翼尖變形趨勢(shì)Fig.8 Variation of wing tip deflection

圖6 機(jī)翼平面布局
Fig.6 External configuration of wing

針對(duì)本文的研究，結(jié)構(gòu)幾何非線性主要?dú)w因于大位移狀態(tài)，處理大位移問題時(shí)，利用跟隨力的非線性求解器可以大幅改變系統(tǒng)的載荷和剛度矩陣，從而改變變形狀態(tài)。圖8和圖9說明了線性和非線性靜力分析之間的區(qū)別以及隨著結(jié)構(gòu)的變形增大，不斷地引入附加剛度造成的這些差異。

圖9 截面轉(zhuǎn)角和扭轉(zhuǎn)角的變化趨勢(shì)Fig.9 Variation of cross-section bend angle and twist angle

2.2 縮比模型

本文縮比模型選取基本縮比因子kb=0.1，kρ=13.764，kv=0.316，進(jìn)而目標(biāo)縮比參數(shù)可以通過這些縮比因子確定。為了增大優(yōu)化過程中可行解區(qū)域，設(shè)計(jì)變量選取截面的“剛度底層控制信息”，即截面積A、截面慣性矩Ia和Ib以及截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)J。因此在縮比優(yōu)化之前不需要對(duì)縮比模型結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行設(shè)計(jì)，可在優(yōu)化結(jié)束后對(duì)截面“剛度底層控制信息”進(jìn)行逆運(yùn)算來獲取截面幾何信息。為了使縮比模型正確描述全尺寸模型的氣動(dòng)彈性特性，確定匹配兩者前10階固有頻率和相應(yīng)的模態(tài)振型，其相似度不低于90%。全尺寸模型顫振主要由第4階模態(tài)(水平二彎)和第5階模態(tài)(一扭)參與，所以主要看第4階與第5階模態(tài)匹配相似度。同時(shí)，縮比模型和全尺寸模型的總質(zhì)量匹配相似度不低于90%。

就外部幾何布局而言，縮比模型是全尺寸模型的精確幾何縮比。在縮比的過程中，還要尋找最佳材料來模擬縮比模型的結(jié)構(gòu)部件。全尺寸模型所采用的材料為7075鋁合金，然而精確縮比后的材料是不存在的。所以在縮比之前要對(duì)縮比模型的材料進(jìn)行研究并選擇。最終決定使用較靠近材料縮比目標(biāo)值的鑄鋁青銅作為縮比模型的材料。

最優(yōu)設(shè)計(jì)變量的目標(biāo)是使縮比模型和全尺寸模型的一些特性(質(zhì)量、固有頻率、模態(tài)振型以及在考慮幾何非線性的方法中的非線性靜響應(yīng))匹配。殘差平方和(SSR)是量化響應(yīng)差異的一個(gè)基本參考值。

3 計(jì)算結(jié)果

本文采用粒子群尋優(yōu)算法對(duì)縮比模型的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化，來使得縮比模型的各階固有頻率和模態(tài)振型與全尺寸模型對(duì)應(yīng)階的固有頻率和模態(tài)振型相似度達(dá)到90%以上。1.2節(jié)提到了2種傳統(tǒng)線性縮比方法(方法A與方法B)以及考慮幾何非線性的縮比方法(方法C)。

表2為傳統(tǒng)線性縮比方法與考慮集合非線性縮比方法結(jié)果參數(shù)比較，其中方法B和方法C分別給出了階段1和階段2的參數(shù)值。從表2可以看出，方法A和方法B相比于方法C耗時(shí)較少，所以當(dāng)結(jié)構(gòu)非線性效應(yīng)不明顯時(shí)，推薦使用傳統(tǒng)線性縮比方法。然而，當(dāng)考慮了結(jié)構(gòu)的非線性效應(yīng)，用傳統(tǒng)線性縮比方法設(shè)計(jì)的模型計(jì)算結(jié)果誤差較大，無法處理考慮幾何非線性的模型設(shè)計(jì)。

為了高效地捕捉結(jié)構(gòu)的非線性行為，本文提出使用等效靜態(tài)載荷法進(jìn)行非線性靜響應(yīng)匹配，來對(duì)動(dòng)力學(xué)有限元模型的非線性靜響應(yīng)-模態(tài)進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化。對(duì)使用考慮幾何非線性的方法獲得的非線性翼尖變形量和傳統(tǒng)線性縮比方法設(shè)計(jì)的模型翼尖變形量以及變形量目標(biāo)縮比值進(jìn)行了比較。分析發(fā)現(xiàn)，方法C設(shè)計(jì)的模型非線性靜變形量相比于方法B，更為靠近目標(biāo)值(圖10)。

圖11顯示了傳統(tǒng)線性縮比方法(方法A、方法B)和考慮幾何非線性的縮比方法(方法C)在前10階的固有頻率、模態(tài)振型上匹配相似度的差異。目標(biāo)縮比值是從全尺寸模型的相關(guān)計(jì)算中獲得到。

表2 傳統(tǒng)線性縮比方法與考慮幾何非線性的 縮比方法結(jié)果參數(shù)比較Table 2 Comparison of result parameters between traditional linear scaling method and scaling method considering geometric nonlinearity

圖10 非線性翼尖垂向變形Fig.10 Nonlinear wing tip vertical deformation

本文的顫振計(jì)算使用偶極子格網(wǎng)法求解非定 常氣動(dòng)力模型。為了匹配全尺寸模型的氣動(dòng)彈性響應(yīng)，分別采用方法B和方法C對(duì)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)，表3是2種模型顫振求解結(jié)果與目標(biāo)縮比值的比較，通過考慮幾何非線性的氣動(dòng)彈性模型縮比方法設(shè)計(jì)的模型，其顫振結(jié)果誤差得到了顯著降低。圖12(a)為第4階和第5階模態(tài)的V-g(速度-阻尼系數(shù))圖，圖12(b)為第4階和第5階模態(tài)的V-f(速度-頻率)圖。為了便于觀察，圖中是把縮比模型的顫振計(jì)算結(jié)果進(jìn)行逆縮比，其逆縮比的值可直接與全尺寸機(jī)翼的顫振計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。因?yàn)轭澱裰饕堑?階模態(tài)(面內(nèi)二彎)和第5階模態(tài)(一扭)引起，所以在圖12中，只顯 示了這2階模態(tài)。當(dāng)采用幾何非線性縮比方法時(shí)，氣動(dòng)彈性響應(yīng)匹配相似度有所改進(jìn)，其精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)線性縮比模型得到的結(jié)果。

表3 兩種方法結(jié)果與目標(biāo)顫振速度及頻率誤差Table 3 Flutter speed and frequency differences between Method B and C in relation to associated target scaled values %

圖12 V-g 和V-f圖Fig.12 V-g and V-f diagram

4 結(jié) 論

本文研究了氣動(dòng)彈性模型的傳統(tǒng)線性縮比方法和考慮幾何非線性的縮比方法，得到以下結(jié)論：

1) 本文提出的考慮幾何非線性的氣動(dòng)彈性模型縮比方法能夠針對(duì)幾何非線性效應(yīng)明顯的氣動(dòng)彈性模型進(jìn)行縮比，縮比模型與全尺寸模型的高階模態(tài)匹配度較高，說明該方法可以捕捉到傳統(tǒng)線性縮比方法無法捕捉到的高階信息，進(jìn)而縮比模型能夠更好地再現(xiàn)全尺寸飛機(jī)的非線性氣動(dòng)彈性行為。

2) 傳統(tǒng)線性縮比方法求解平均時(shí)間為1.2 h，平均誤差為9.03%；幾何非線性氣動(dòng)彈性模型縮比方法求解時(shí)間為2.9 h，誤差為2.80%?？梢钥闯?，雖然傳統(tǒng)線性縮比方法求解時(shí)間少于幾何非線性氣動(dòng)彈性模型縮比方法求解時(shí)間，但是前者誤差已經(jīng)無法滿足模型設(shè)計(jì)要求。所以對(duì)于考慮幾何非線性的結(jié)構(gòu)，從縮比設(shè)計(jì)相似精度要求來看，傳統(tǒng)線性縮比方法是不適用的，推薦使用本文的新方法。

3) 方法A(耦合)求解時(shí)間高于方法B(解耦)求解時(shí)間，但方法A誤差略低于方法B誤差，雖然兩者對(duì)于考慮幾何非線性的結(jié)構(gòu)縮比問題都無法滿足設(shè)計(jì)要求，但對(duì)于幾何非線性效應(yīng)不明顯的結(jié)構(gòu)，這2種方法都是可以處理相關(guān)縮比問題的。

4) 等效靜態(tài)載荷法的優(yōu)化邏輯是把原先非線性求解過程中的剛度無規(guī)律低效更新轉(zhuǎn)變?yōu)閯偠扔蟹较蚋咝Ц?，使用等效靜態(tài)載荷法來進(jìn)行非線性靜響應(yīng)的匹配在保證匹配精度的同時(shí)能大大降低時(shí)間成本。

本文的后續(xù)工作是要對(duì)具有大展弦比機(jī)翼的飛機(jī)按照文中提出的考慮幾何非線性的縮比方法縮比后進(jìn)行風(fēng)洞試驗(yàn)。從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，本文所得結(jié)論也能應(yīng)用到設(shè)計(jì)飛行試驗(yàn)的模型上，驗(yàn)證飛行過程中的幾何非線性氣動(dòng)彈性響應(yīng)。同時(shí)，還需要將本文所提的考慮幾何非線性的縮比方法應(yīng)用于更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)以及更高精度的氣動(dòng)模型，并進(jìn)一步驗(yàn)證其有效性。