高超聲速飛行器預(yù)設(shè)性能反演控制方法設(shè)計

李小兵， 趙思源， 卜祥偉， 何陽光

(1. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 西安 710051； 2. 空軍工程大學(xué)研究生院， 西安 710051)

高超聲速飛行器是指以超燃沖壓發(fā)動機為動力，以馬赫數(shù)5以上的速度飛行在高度為20～100 km的臨近空間中的一類飛行器，主要為軍方執(zhí)行情報收集、偵察監(jiān)視、高空投送等任務(wù)[1]。因其軍民兩用前景廣闊，在情報偵查和通信運送等方面優(yōu)勢獨特，從而引起了世界大國廣泛且高度的關(guān)注，并迅速成為近年來空天領(lǐng)域研究的熱點。飛控技術(shù)是高超聲速飛行的核心問題之一。高超聲速飛行器具有強非線性、強耦合、模型不確定和多干擾、多約束以及大時變等特性。由于臨近空間中高超聲速飛行器特定的飛行速度和復(fù)雜的飛行環(huán)境，飛行控制正經(jīng)歷著傳統(tǒng)飛行器所未曾遇到過的新問題，這對于控制系統(tǒng)的設(shè)計提出了許多相應(yīng)的新要求，對其開展控制新理論、新方法和新技術(shù)研究意義重大[2-3]。

從目前公開的文獻資料看，大多數(shù)的研究工作是基于建立的Winged-Cone剛體模型上開展的[4-6]，一般很難反映出高超聲速飛行器的結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性。Bolender與Doman[7]則在以上研究的基礎(chǔ)上，通過分別建立彈性動力學(xué)模型、氣動力模型與發(fā)動機模型，最終得到了一個氣動/推進/結(jié)構(gòu)耦合的縱向一體化解析式系統(tǒng)模型。Parker等[8]則在Bolender與Doman[7]的工作基礎(chǔ)上，通過忽略模型中的一些弱耦合關(guān)系，建立了一個面向控制的高超聲速飛行器參數(shù)擬合模型。目前已有相當多的控制算法被應(yīng)用于控制器的設(shè)計。經(jīng)典的魯棒控制在本質(zhì)上是考慮不確定性為最壞情況時優(yōu)化解的求取情況，文獻[9]通過反饋線性化和極點配置的方法設(shè)計了標稱控制器，通過魯棒補償器來抑制參數(shù)不確定和外界擾動帶來的不利影響；滑?？刂茖δＰ捅旧淼牟淮_定與外部擾動都不敏感，具有良好的魯棒性，文獻[10]設(shè)計了一種多輸入、多輸出的自適應(yīng)滑模控制律，確保了速度與高度跟蹤誤差指數(shù)收斂的滑模面，但控制輸入存在高頻抖振；文獻[11]設(shè)計彈性自適應(yīng)控制律，減弱了系統(tǒng)的抖振，跟蹤效果較好，但控制律設(shè)計是基于剛體模型建立的且并未分析系統(tǒng)的彈性狀態(tài)影響；反演控制能充分利用系統(tǒng)有用的非線性項，將非匹配不確定系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為匹配不確定系統(tǒng)，這已成為高機動飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計的主流方法[12-13]。文獻[14]針對飛行器彈性模型設(shè)計了一種魯棒反演控制器，雖然對指令輸入跟蹤效果較好，但是由于未考慮到加入干擾觀測器后使得對模型的不確定項估計變得相對平滑，在后期魯棒性能上無法確保。

雖然對于高超聲速飛行器的參考軌跡跟蹤研究已有大量的較好成果，但是考慮不確定擾動下跟蹤誤差的瞬態(tài)性能(如超調(diào)量、跟蹤誤差等)研究卻少之又少[15-16]。2008年，希臘學(xué)者Bechlioulis和Rovithakis[15]提出了一種控制策略-預(yù)設(shè)性能控制，較好地實現(xiàn)了對跟蹤誤差瞬態(tài)性能的范圍約束。預(yù)設(shè)性能控制方法的主要思路是通過設(shè)計預(yù)設(shè)性能函數(shù)對軌跡跟蹤誤差進行相應(yīng)轉(zhuǎn)化，從而保證誤差能夠以預(yù)期的瞬態(tài)性能收斂至預(yù)設(shè)范圍內(nèi)。文獻[17]設(shè)計了一種預(yù)設(shè)性能的魯棒反演控制，完成了控制任務(wù)且對未知隨機擾動有較強的魯棒性，但誤差收斂速度較慢。文獻[18]對于全狀態(tài)的預(yù)設(shè)性能設(shè)計了一種受限指令的反演控制器，在輸出和中間狀態(tài)穩(wěn)態(tài)分析的基礎(chǔ)上，對全狀態(tài)信號的瞬時性能進行了分析。

本文針對高超聲速飛行器巡航段縱向動力學(xué)模型設(shè)計了一種新型預(yù)設(shè)性能神經(jīng)反演控制方法。首先，將縱向運動模型分解為速度和高度子系統(tǒng)，并分別進行控制器設(shè)計，引入預(yù)設(shè)性能函數(shù)及轉(zhuǎn)化誤差來滿足預(yù)先設(shè)定的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度。在設(shè)計控制器過程中引入徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對模型不確定項進行補償和逼近，有效提高了控制精度。然后，分別對速度和高度子系統(tǒng)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。最后，通過仿真對所設(shè)計控制器的可行性和有效性進行驗證。

1 高超聲速飛行器建模

1.1 高超聲速飛行器縱向平面運動學(xué)方程

高超聲速飛行器軌跡控制系統(tǒng)的任務(wù)是在保持飛行姿態(tài)穩(wěn)定的前提下，通過調(diào)節(jié)燃料-空氣比Φ和升降舵偏角δe在縱向平面內(nèi)實現(xiàn)對速度參考指令和高度參考指令的有效跟蹤。高超聲速飛行器受力情況示意圖如圖1所示，其在縱向平面內(nèi)的運動模型為[7-8,19-20]

圖1 高超聲速飛行器受力示意圖Fig.1 Force map of hypersonic flight vehicle

(1)

式(1)中L、T、D、M的擬合式如下：

(2)

注1本文所采用的Parker彈性體模型相比于文獻[22-23]中采用的剛體模型更能準確地模擬出飛行器的真實飛行狀態(tài)。本文所采用模型的氣動力擬合公式中充分考慮了彈性狀態(tài)的影響，將彈性狀態(tài)視為系統(tǒng)的不確定項處理，因此相應(yīng)的控制難度加大。

由式(1)和式(2)可以看出，速度的變化主要與燃料-空氣比Φ相關(guān)，而高度的變化主要與舵偏角δe相關(guān)。因此控制輸入選擇燃料-空氣比Φ和升降舵偏角δe，輸出為速度V和高度h。

由式(1)和式(2)可以看出，飛行器彈性體狀態(tài)通過氣動力L、T、D、M嚴重地同剛體狀態(tài)耦合，如果抑制彈性狀態(tài)的效果不明顯，將會對剛體狀態(tài)的控制產(chǎn)生較大影響。因此，控制系統(tǒng)的任務(wù)除了保證剛體系統(tǒng)穩(wěn)定跟蹤參考輸入外，還要保證彈性狀態(tài)最終是收斂的。

為便于控制律設(shè)計，通常先將高超聲速飛行器的運動模型分解為速度子系統(tǒng)與高度子系統(tǒng)，再分別對其設(shè)計相應(yīng)控制律。這里已將2個子系統(tǒng)的耦合考慮在內(nèi)[14]。

1.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

引入如下RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用來逼近模型不確定項：

F(ξ)=WTψ(ξ)

(3)

式中：F∈R和ξ∈Rn分別為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出和輸入；W∈Rn為權(quán)值向量；ψ(ξ)=[ψ1(ξ),ψ2(ξ),…,ψn(ξ)]T為徑向基函數(shù)。通常情況下，將ψi(ξ)選取成如下高斯基函數(shù)：

(4)

式中：ξi∈Rn為高斯基函數(shù)中心向量；bi∈R+為高斯基函數(shù)的寬度。

引理1[24]給定任意連續(xù)函數(shù)F(ξ)是定義在緊集Ωξ上的實函數(shù)以及任意常數(shù)?>0。當n足夠大時，選取合適的bi和ξi使得RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)變?yōu)?/p>

F(ξ)=(W*)Tψ(ξ)+Δ(ξ)

(5)

式中：|Δ(ξ)|≤?|表示估計誤差；?ξ∈Ωξ，W*為最優(yōu)權(quán)值向量，將W*定義為如下形式：

(6)

2 控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

2.1 預(yù)設(shè)性能分析

基于定義1，本文選取如下預(yù)設(shè)性能函數(shù)：

ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-lt+ρ∞

(7)

式中：ρ0,ρ∞,l∈R+為待設(shè)計參數(shù)且ρ0>ρ∞，ρ0為函數(shù)ρ(t)的初值，ρ∞為函數(shù)ρ(t)的穩(wěn)態(tài)值，l為函數(shù)ρ(t)的下降速率。

跟蹤誤差e(t)應(yīng)滿足下述定義不等式：

-κρ(t)

(8)

式中：κ和λ為正參數(shù)。

則對于任意未知但有界的e(0)，均有

-κρ(0)

(9)

由式(8)可以看出，ρ∞表示e(t)穩(wěn)態(tài)值的上界，即-κρ∞

在設(shè)計控制系統(tǒng)的過程中，直接對不等式約束(式(8))進行處理的難度非常大，因此可以先將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束再進行設(shè)計，這里定義一個誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)H(ε(t))：

(10)

式中：ε(t)為轉(zhuǎn)換誤差。

H(ε(t))平穩(wěn)遞增，則有

(11)

那么H(ε(t))的逆可以寫成

(12)

這里將ε(t)選取為如下形式：

(13)

對式(13)求導(dǎo)可得

(14)

式中：

顯然，μ和ν是有界的。

定理1若ε(t)有界，則有-κρ(t)

證明當e(0)>0時，因為ε(t)有界，必存在有界正數(shù)εM使得|ε(t)|≤εM。這樣，式(13)的逆變換為

(15)

由式(15)可得

(16)

也即

-κρ(t)

反之可得e(0)<0的情況。

證畢

下文的控制器設(shè)計將基于轉(zhuǎn)換誤差ε(t)。定理1表明，只要ε(t)有界，誤差e(t)便可被限定在式(8)所定義的預(yù)設(shè)區(qū)域內(nèi)。通過為ρ(t)設(shè)計合適的參數(shù)，便可保證e(t)具有預(yù)期的瞬態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。

2.2 速度控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

(17)

定義速度跟蹤誤差為

(18)

將式(18)求導(dǎo)，得到

(19)

根據(jù)式(13)，速度的轉(zhuǎn)換誤差εV可以表示為

(20)

式中：ρV=(ρV0-ρV∞)e-lVt+ρV∞，ρV0、ρV∞、lV均為正的待設(shè)計參數(shù)。

結(jié)合式(19)對式(20)求導(dǎo)可得

(21)

若假設(shè)μV>μV0>0，式(21)可以進一步寫成

(22)

基于反演理論，將實際控制律Φ設(shè)計為

(23)

對于式(5)中未知的最優(yōu)權(quán)值向量，定義

(24)

根據(jù)式(24)可得

(25)

證明選取如下Lyapunov函數(shù)：

(26)

對式(26)求導(dǎo)可得

(27)

將式(23)和式(25)代入式(27)可得

(28)

又有不等式

(29)

將不等式(29)代入式(28)可得

(30)

結(jié)合式(29)可得

(31)

證畢

2.3 高度控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

為了便于控制器設(shè)計，根據(jù)式(1)將高超聲速飛行器高度子系統(tǒng)改寫為如下形式：

(32)

定義高度跟蹤誤差為

(33)

將式(33)求導(dǎo)并結(jié)合式(32)，得到

(34)

根據(jù)式(13)，高度的轉(zhuǎn)換誤差函數(shù)εh可表示為

(35)

式中：ρh=(ρh0-ρh∞)e-lht+ρh∞，ρh0、ρh∞、lh均為正的待設(shè)計參數(shù)。

類似的，航跡角的轉(zhuǎn)換誤差函數(shù)εγ可表示為

(36)

式中：ργ=(ργ0-ργ∞)e-lγt+ργ∞，ργ0、ργ∞、lγ均為正的待設(shè)計參數(shù)。

俯仰角的轉(zhuǎn)換誤差函數(shù)εθ可表示為

(37)

式中：ρθ=(ρθ0-ρθ∞)e-lθt+ρθ∞，ρθ0、ρθ∞、lθ均為正的待設(shè)計參數(shù)。

俯仰角速率的轉(zhuǎn)換誤差函數(shù)εQ可表示為

(38)

式中：ρQ=(ρQ0-ρQ∞)e-lQt+ρQ∞，ρQ0、ρQ∞、lQ均為正的待設(shè)計參數(shù)。

結(jié)合式(34)對式(35)求導(dǎo)可得

(39)

若假設(shè)μh>μh0>0，式(39)可以進一步寫成

(40)

(41)

其中：|Δh(ξh)|≤?h為估計誤差。

基于反演理論，將虛擬控制律γd設(shè)計為

(42)

同時

(43)

選取如下Lyapunov函數(shù)：

(44)

對式(44)求導(dǎo)可得

(45)

根據(jù)Yong不等式，有

(46)

又有不等式

(47)

因此

(48)

將式(42)、式(43)代入式(48)可得

(49)

定義航跡角誤差為

(50)

將式(50)求導(dǎo)并結(jié)合式(32)，得到

(51)

結(jié)合式(51)對式(36)求導(dǎo)可得

(52)

若假設(shè)μγ>μγ0>0，式(52)可以進一步寫成

(53)

(54)

其中：|Δγ(ξγ)|≤?γ為估計誤差。

基于反演理論，將虛擬控制律θd設(shè)計為

(55)

同時

(56)

選取如下Lyapunov函數(shù)：

(57)

對式(57)求導(dǎo)可得

(58)

與式(46)和式(47)類似可得

(59)

定義俯仰角誤差為

(60)

將式(60)求導(dǎo)并結(jié)合式(32)，得到

(61)

結(jié)合式(61)對式(37)求導(dǎo)可得

(62)

若假設(shè)μθ>μθ0>0，式(62)可以進一步寫成

(63)

(64)

其中：|Δθ(ξθ)|≤?θ為估計誤差。

基于反演理論，將虛擬控制律Qd設(shè)計為

(65)

同時

(66)

選取如下Lyapunov函數(shù)：

(67)

對式(67)求導(dǎo)可得

(68)

與式(46)和式(47)類似可得

(69)

定義俯仰角速率誤差為

(70)

將式(70)求導(dǎo)并結(jié)合式(32)，得到

(71)

結(jié)合式(71)對式(38)求導(dǎo)可得

(72)

若假設(shè)μQ>μQ0>0，式(72)可以進一步寫成

(73)

(74)

其中：|ΔQ(ξQ)|≤?Q為估計誤差。

基于反演理論，將實際控制律δe設(shè)計為

(75)

同時

(76)

證明選取如下Lyapunov函數(shù)：

(77)

對式(77)求導(dǎo)可得

(78)

與式(46)和式(47)類似可得

(79)

注2RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有補償和逼近系統(tǒng)的不確定項的能力，這樣一來避免了虛擬控制量的重復(fù)求導(dǎo)問題。在每一步設(shè)計控制律中，通過引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的估計值，使得只有一個參數(shù)需要在線更新，這樣簡化了參數(shù)設(shè)計降低了計算量。同時考慮到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的估計性能是建立在緊集Ω上的，這里只能保證控制系統(tǒng)的局部穩(wěn)定。

應(yīng)用如下不等式：

(80)

將式(79)寫成如下形式：

(81)

式中：

(82)

令ι=min{2ciμi,τiσi}，式(81)變?yōu)?/p>

(83)

則由式(83)可得

(84)

證畢

3 仿真與分析

針對高超聲速飛行器動力學(xué)模型進行速度與高度的閉環(huán)仿真實驗。速度與高度參考輸入均由圖2所示的二階參考模型給出。該二階參考模型的傳遞函數(shù)為[26]

(85)

圖2 參考輸入二階模型結(jié)構(gòu)Fig.2 Second-order model structure of reference input

通過MATLAB/Simulink搭建控制系統(tǒng)，采用步長為0.01 s的四階Runge-Kuta法驗證本文控制方法的有效性。在保持動壓q=90 148 Pa不變的前提下，要求巡航階段高超聲速飛行器在速度階躍100 m/s,高度階躍100 m作用下?？刂频哪康氖且笙到y(tǒng)輸出跟蹤給定的速度和高度參考指令并保證跟蹤誤差穩(wěn)定在給定的預(yù)設(shè)性能范圍內(nèi)。為了檢驗控制律的魯棒性，假設(shè)高超聲速飛行器模型氣動系數(shù)存在±40%的攝動量，定義

表1 高超聲速飛行器的狀態(tài)初值Table 1 Hypersonic flight vehicle state initial value

(86)

式中：C0為高超聲速飛行器氣動系數(shù)的標稱值。

為了驗證本文方法的優(yōu)越性，將其與文獻[27]中傳統(tǒng)反演控制方法進行對比仿真，仿真結(jié)果如圖3～圖9所示。由圖3和圖4可見，速度與高度均能準確跟蹤參考輸入，采用預(yù)設(shè)性能控制方法時的速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差均能夠被限定在預(yù)設(shè)的區(qū)域內(nèi)；與文獻[27]方法相比，本文方法能夠保證速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差具有較好的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能；當存在氣動參數(shù)攝動時，本文方法的控制精度更高，也具有更強的魯棒性。圖5表明，2種控制方法的航跡角控制效果并無很大差別，但本文方法的航跡角響應(yīng)更平滑。雖然文獻[27]方法的俯仰角與俯仰角速率響應(yīng)更平滑，但采用本文方法時，這2個角度響應(yīng)沒有出現(xiàn)高頻抖振，并且本文方法能夠保證俯仰角以及俯仰角速率跟蹤誤差具有更好的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。由圖6～圖8可見，2種控制方法的彈性狀態(tài)與控制輸入均沒有高頻抖振現(xiàn)象。圖9表明，誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)εV(t)、εh(t)、εγ(t)、εθ(t)與εQ(t)均有界。

圖3 速度跟蹤響應(yīng)Fig.3 Velocity tracking performance response

圖4 高度跟蹤響應(yīng)Fig.4 Altitude tracking performance response

圖5 高度角曲線Fig.5 Curves of altitude angle

圖6 彈性狀態(tài)Fig.6 Flexible states

圖7 燃料-空氣比Fig.7 Fuel-to-air ratio

圖8 升降舵偏角Fig.8 Elevator declination

圖9 轉(zhuǎn)換誤差函數(shù)Fig.9 Conversion error function

4 結(jié) 論

針對高超聲速飛行器縱向動力學(xué)模型設(shè)計了一種預(yù)設(shè)性能神經(jīng)反演控制方法。

1) 通過構(gòu)造預(yù)設(shè)性能函數(shù)，使得速度跟蹤誤差和高度跟蹤誤差能夠同時滿足預(yù)先設(shè)定的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度。

2) 為了保證系統(tǒng)具有足夠的魯棒性應(yīng)對參數(shù)及模型的不確定，在每個子系統(tǒng)反演控制器設(shè)計過程中的未知非線性函數(shù)引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計，在對不確定項逼近的過程中僅有一個參數(shù)需要實時更新，既有效將控制精度提高，又順利避免了反演控制方法中的“微分膨脹問題”，并降低了計算量。

3) 基于Lyapunov函數(shù)證明了所有閉環(huán)系統(tǒng)均是有界的。仿真結(jié)果表明，同現(xiàn)有的反演控制器相比，本文所設(shè)計的控制方法可以很好地實現(xiàn)控制目標，滿足預(yù)設(shè)性能且對未知的隨機擾動具有較強的魯棒性。