淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生反思能力的培養(yǎng)策略

摘?要：反思能力是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要逐漸養(yǎng)成的重要的思維能力，沒(méi)有反思的學(xué)習(xí)是不可能深刻的，《論語(yǔ)》中“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”也正是說(shuō)明了反思對(duì)于學(xué)習(xí)的重要意義。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要把對(duì)學(xué)生反思能力的培養(yǎng)作為一項(xiàng)重要的教學(xué)目標(biāo)，本文介紹了幾點(diǎn)利于培養(yǎng)學(xué)生反思能力的教學(xué)策略，以期提高教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);反思能力;教學(xué)策略;習(xí)題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的反思能力有助于幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念，及時(shí)查漏補(bǔ)缺提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量，有助于激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，鍛煉學(xué)生分析與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。同時(shí)有助于教師及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，對(duì)教學(xué)方式做出調(diào)整與優(yōu)化。那么在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)如何培養(yǎng)學(xué)生的反思能力呢？以下提出幾點(diǎn)教學(xué)建議：

一、

給予學(xué)生充足的反思時(shí)間

在以往的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師留給學(xué)生自主思考的時(shí)間很少，大部分教師都是依照自己的教學(xué)節(jié)奏進(jìn)行知識(shí)的講解甚至是灌輸，學(xué)生處在被動(dòng)的學(xué)習(xí)地位，自身的學(xué)習(xí)感受常常會(huì)被老師忽視，有可能一個(gè)知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有理解透徹、沒(méi)有吸收和內(nèi)化就要跟著老師的思路進(jìn)行下一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)缺乏反思，學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量必然不高。要培養(yǎng)學(xué)生的反思能力，首先需要教師以學(xué)生為主體，在教學(xué)中給予學(xué)生足夠的反思機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)反思找出自己知識(shí)的缺陷并通過(guò)補(bǔ)缺行為完善自己的知識(shí)構(gòu)成。比如我們?cè)趯W(xué)習(xí)三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)時(shí)，教師首先為學(xué)生講解三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，之后就要給予學(xué)生充分地進(jìn)行內(nèi)化吸收的時(shí)間，教師可以結(jié)合相關(guān)習(xí)題，讓學(xué)生在習(xí)題中找出自己認(rèn)識(shí)上的不足，并鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)成學(xué)習(xí)小組，在小組內(nèi)相互交流相互分享，對(duì)知識(shí)認(rèn)知進(jìn)行補(bǔ)充學(xué)習(xí)，這就是學(xué)生反思學(xué)習(xí)的過(guò)程。

二、

重視概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)最基本的形式，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須清晰透徹掌握的內(nèi)容，只有正確理解數(shù)學(xué)概念才能對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題做出正確的判斷和分析，因而概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的核心。但是在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)有許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解不到位，對(duì)概念的本質(zhì)內(nèi)涵缺乏深層次的掌握，以至于經(jīng)常出現(xiàn)將相似數(shù)學(xué)概念混淆的現(xiàn)象。出現(xiàn)這一問(wèn)題的原因除了數(shù)學(xué)概念本身比較抽象、晦澀存在一定的理解難度以外，還有學(xué)生的學(xué)習(xí)方式不正確，對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行死記硬背、缺乏反思。因而在概念教學(xué)中教師要適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，通過(guò)不管的反思提高夯實(shí)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。比如，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程、內(nèi)涵等進(jìn)行反思。像我們?cè)趯W(xué)習(xí)“函數(shù)”時(shí)，教師就可以通過(guò)向?qū)W生提出反思性的學(xué)習(xí)提綱來(lái)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)的定義進(jìn)行反思，如函數(shù)的研究對(duì)象是什么？研究對(duì)象之間有什么關(guān)系？x的值與y的值之間的關(guān)系被稱(chēng)為什么關(guān)系？有著怎樣的對(duì)應(yīng)法則？在實(shí)際生活中我們可以找到相似的例子嗎？通過(guò)反思，學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念會(huì)更加清晰，這樣不僅會(huì)讓學(xué)生加深對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)把握，還能夠給予學(xué)生充分的自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，鍛煉學(xué)生的理解能力、概括能力，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。在概念教學(xué)中教師也要注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概念間相互聯(lián)系的反思能力。在中學(xué)數(shù)學(xué)中許多概念之間都存在密切的聯(lián)系，比如對(duì)立事件和互斥事件、映射和函數(shù)、方程和不等式、平面角和空間角、平行線(xiàn)段和平行向量等等。在概念教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生找出相似概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而深化對(duì)概念的理解。再以“函數(shù)”概念為例，教師要引導(dǎo)學(xué)生引導(dǎo)初中階段我們所學(xué)的函數(shù)和高中所學(xué)的函數(shù)有什么不一樣，經(jīng)常思考學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)在高中階段我們學(xué)習(xí)的函數(shù)是站在集合、對(duì)應(yīng)的角度得出的定義，所對(duì)應(yīng)的關(guān)系是將原象集合中的每一個(gè)元素和象集合中唯一確定的元素相對(duì)應(yīng)。而初中我們學(xué)習(xí)的函數(shù)是從運(yùn)動(dòng)變化的角度出發(fā)得出的定義，其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是將自變量的每一個(gè)取值與唯一確定的函數(shù)值對(duì)應(yīng)起來(lái)。而函數(shù)的本質(zhì)屬性是對(duì)變量之間的依賴(lài)關(guān)系的描述，我們經(jīng)常用公式、表格、圖像來(lái)表示函數(shù)，所以與初中所學(xué)的函數(shù)相比，高中用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù)更具有一般性。而除了各自描述的出發(fā)點(diǎn)不同以往，初高中所學(xué)函數(shù)在對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)、定義域與值域的含義等都是一樣的。通過(guò)反思，學(xué)生回顧了初中的知識(shí)，加深了高中知識(shí)的理解，對(duì)概念的掌握更為深刻全面。

三、

加強(qiáng)習(xí)題練習(xí)

解答教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，習(xí)題練習(xí)是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)成果、幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行深化鞏固的重要途徑，學(xué)生解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程就是回顧與利用已學(xué)知識(shí)的過(guò)程，教師要加強(qiáng)習(xí)題練習(xí)，讓學(xué)生在解題過(guò)程中對(duì)知識(shí)進(jìn)行更深層次的建構(gòu)，促進(jìn)反思能力的發(fā)展。

（一） 選擇易錯(cuò)習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生反思

教師要多選擇學(xué)生易錯(cuò)的典型習(xí)題，有些數(shù)學(xué)題目中條件的內(nèi)涵很豐富，需要學(xué)生對(duì)其進(jìn)行深入滲透的分析理解，但是許多學(xué)生在看到題目之后，習(xí)慣從題干表面去分析，這樣就會(huì)忽略掉許多影響解題的關(guān)鍵信息，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生反思是否充分利用了題干中的已知條件。

比如這樣一道習(xí)題：已知ab<0，a+b=1，且在（a+b）9展開(kāi)式中按a降冪排列，第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，求a的取值范圍。

許多學(xué)生在看到這道題時(shí)，會(huì)這樣處理：由T2≤T3，得9a8b≤36a7b2，即a2b≤4ab2，因?yàn)閍b<0，所以a≥4b（1），將a+b=1變形為b=1-a，代入到（1）式中得出a≥4（1-a），由此得出a≥0.8。學(xué)生這樣的解答看似條理清楚、有理有據(jù)，但是如果我們?cè)偕钊氲胤治鲆幌戮蜁?huì)發(fā)現(xiàn)我們并沒(méi)有完全利用已知條件，教師可以向?qū)W生提問(wèn)：題目中給出的條件ab<0，a+b=1，我們已經(jīng)充分利用了嗎？根據(jù)這個(gè)已知條件我們可以得出a的取值范圍嗎？如果可以的話(huà)，這個(gè)取值范圍和我們之前的解答結(jié)果是一樣的嗎？讓學(xué)生針對(duì)這幾個(gè)問(wèn)題對(duì)剛剛的解題思路進(jìn)行反思，很快學(xué)生就會(huì)意識(shí)到剛剛解題中并沒(méi)有充分利用ab<0，a+b=1的已知條件，通過(guò)這個(gè)條件我們可以推出a<0或者a>1的結(jié)論，那么結(jié)合剛剛解答的答案，最終得出的a的取值范圍應(yīng)該是a<0或a>1

a≥0.8，即a>1。由此這道題得解，教師以學(xué)生易錯(cuò)的題目進(jìn)行解題分析，引導(dǎo)學(xué)生反思，有助于學(xué)生改掉一看見(jiàn)題目就沖動(dòng)解題的習(xí)慣，讓學(xué)生可以認(rèn)真審題，深挖題干中的已知條件，使解題思維更加嚴(yán)謹(jǐn)和有條理。

（二） 通過(guò)一題多解引導(dǎo)學(xué)生反思

在解題練習(xí)中，教師也要有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行反思，通過(guò)一題多解、一題多變等方式，鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度采取多種方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解析，培養(yǎng)學(xué)生的思維的靈活性與創(chuàng)新性。

比如這樣一道例題：在橢圓x245+y220=1上求一點(diǎn)P，使其與兩焦點(diǎn)F1F2的連線(xiàn)互相垂直。

大多數(shù)學(xué)生的解法是這樣的：設(shè)點(diǎn)P（x，y），因?yàn)镕1（-5，0）F2（5，0），PF1⊥PF2，所以yx+5·yx-5=-1，即x2+y2=25（1）。又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以x245+y220=1（2），建立（1）（2）方程組可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）、（3，-4）、（-3，4）、（-3，-4）。這個(gè)解法思路是正確的，在肯定學(xué)生的解答同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考還有沒(méi)有別的方法，在老師的啟發(fā)下，學(xué)生反思自己的解題思路意識(shí)到利用PF1⊥PF2的條件，還可以有其他的解法。

比如可以用向量法，設(shè)P（x，y），根據(jù)已知條件可以得出F1（-5，0）F2（5，0），F(xiàn)1P=（x+5，y），F(xiàn)2P=（x-5，y），所以F1P⊥F2P，點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上，即x2+y2=25，之后再與橢圓方程建立方程組求解得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）、（3，-4）、（-3，4）、（-3，-4）。

還有的學(xué)生提出可以用焦半徑公式進(jìn)行求解，設(shè)P（x，y），因?yàn)閍=35，e=53，則|PF1|=a+ex=35+53x，|PF2|=a-ex=35-53x。又因?yàn)镕1P⊥F2P，|PF1|2=100，可得x=±3，之后的解法就和解法1一致。

在老師的引導(dǎo)下和小組的探討中，學(xué)生還找出了求△F1PF2的面積的思路來(lái)求解的其他方法，這樣一道題學(xué)生們從不同角度利用不同知識(shí)找出了多種解題方法，不管是對(duì)已有知識(shí)回顧深化的綜合運(yùn)用能力，還是創(chuàng)新思維能力都可以得到良好的鍛煉。在平時(shí)的教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生多角度觀察、將學(xué)生思維的觸角延伸到更多的方向，讓學(xué)生養(yǎng)成做完一道題之后依然主動(dòng)反思解題過(guò)程，尋找最優(yōu)解法的習(xí)慣。

（三） 利用一題多變引導(dǎo)學(xué)生反思

以往教師為了讓學(xué)生能夠更好地理解與掌握同一類(lèi)型題目的解法，經(jīng)常會(huì)安排學(xué)生做大量的相似的題目，但同時(shí)容易產(chǎn)生的問(wèn)題就是學(xué)生容易形成思維定式，當(dāng)命題條件和結(jié)論發(fā)生改變時(shí)，學(xué)生難以快速的調(diào)整思路，找出解答策略，因此在解答數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，教師還要引導(dǎo)學(xué)生反思可不可以將命題的條件和結(jié)論進(jìn)行引申，通過(guò)對(duì)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)母淖?，激發(fā)學(xué)生發(fā)散性思維。比如這樣一道例題：如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC。

教師可以利用這道題進(jìn)行變式訓(xùn)練，可以在保留原題的條件下，改變結(jié)論，如讓學(xué)生思考變式①令∠ABP=θ1，∠ABC=θ2，∠PBC=θ，求證cosθ=cosθ1·θ2。變式②在三棱錐P

ABC中存在外接球且PB是外接球的直徑，PA⊥底面ABC，側(cè)面PAC和側(cè)面CBP成直角，如果∠BPC=45°，PC=a，求這個(gè)外接球的體積是多少？或者給原來(lái)的題干增加條件，如：AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上任意一點(diǎn)，若DE垂直平分PB，且分別交AB、PB于點(diǎn)D、E，又AC=AP，PC=BC，求二面角B CD

E的大??？讓學(xué)生在變式練習(xí)中反思命題的條件和結(jié)論的延伸與推廣，幫助學(xué)生加強(qiáng)思維發(fā)展。

（四） 利用知識(shí)遷移引導(dǎo)學(xué)生反思

在解題教學(xué)中，教師也要有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生反思解題問(wèn)題的思維方式是否可以遷移，要利用好知識(shí)遷移規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生建立系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠快速準(zhǔn)確地理清數(shù)學(xué)關(guān)系，找出關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行良好的解決。比如這樣一道例題：已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：abc+2>a+b+c。

這道題的解答過(guò)程如下：令函數(shù)f（a）=abc+2-a-b-c=（bc-1）a+2-b-c，將其視為關(guān)于a的一次函數(shù)。因?yàn)閨b|<1，|c|<1，所以bc-1<0，函數(shù)f（a）在（-1，1）上是減函數(shù)。又因?yàn)閒（1）=（1-b）（1-c）>0，所以f（a）>0，因此abc+2>a+b+c。

在解答這道題時(shí)，我們利用了構(gòu)造函數(shù)的思想，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。那么我們能不能將這種思想遷移到別的問(wèn)題上呢？教師可以給出幾個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考這個(gè)問(wèn)題，如：

（1）已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1，求證abc+1abc≥27+127。

（2）設(shè)x、y、z∈R，α+β+γ=π，求證x2+y2+z2≥2yzcosα+2zxcosβ+2zycosγ。

通過(guò)例題的練習(xí)和老師的引導(dǎo)，學(xué)生嘗試用構(gòu)造函數(shù)的思想對(duì)這兩個(gè)題目進(jìn)行解答，在（1）中嘗試構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+1x，且1>x1>x2>0，再利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明。在（2）中嘗試構(gòu)造二次函數(shù)f（x）=x2-2（zcosβ+ycosγ）x+（y2+z2-2yzcosα）再進(jìn)行證明。在這組例題的解答中，學(xué)生會(huì)加深對(duì)構(gòu)造函數(shù)思想含義理解，會(huì)在實(shí)際應(yīng)用中鍛煉學(xué)生舉一反三、觸類(lèi)旁通的解題能力。

四、

養(yǎng)成反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣

引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法，養(yǎng)成課前預(yù)習(xí)、課上學(xué)習(xí)、課后復(fù)習(xí)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣是提高學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量，促進(jìn)反思能力發(fā)展的重要途徑。但是如今高中學(xué)的學(xué)習(xí)壓力一天比一天大，學(xué)生每天面對(duì)的各個(gè)學(xué)科的學(xué)習(xí)任務(wù)都比較重，有時(shí)候單純應(yīng)對(duì)課上的學(xué)習(xí)和課下大量的練習(xí)題就讓學(xué)生應(yīng)接不暇，以至于很少有學(xué)生能夠做好高效的課前預(yù)習(xí)和課外復(fù)習(xí)，但是這兩個(gè)環(huán)節(jié)偏偏是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的環(huán)節(jié)，教師有必要要求學(xué)生堅(jiān)持預(yù)習(xí)和及時(shí)復(fù)習(xí)，并引導(dǎo)學(xué)生在預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)中加強(qiáng)自己的反思意識(shí)。以預(yù)習(xí)為例，學(xué)生需要給自己定下學(xué)習(xí)任務(wù)，帶著“這部分內(nèi)容講了什么？運(yùn)用了什么樣的概念、公式、定理？與上一講的內(nèi)容有什么聯(lián)系？在實(shí)際生活中有哪些運(yùn)用？自己能單獨(dú)做出課本上的例題嗎”等問(wèn)題，開(kāi)展預(yù)習(xí)，并在看完一遍課本后對(duì)自己的問(wèn)題進(jìn)行解答，進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，找出仍然存在的問(wèn)題留待課上更有針對(duì)性的聽(tīng)講。再比如復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，教師要要求學(xué)生在每節(jié)課結(jié)束后、每天結(jié)束后對(duì)課上所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行思考，同樣問(wèn)自己幾個(gè)問(wèn)題“今天都學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法？自己預(yù)習(xí)時(shí)的理解和老師課上的講解有什么不一樣的地方？還有哪些方面我需要加強(qiáng)”等，通過(guò)這種方式，讓學(xué)生及時(shí)清理自己的思路，反思自己的學(xué)習(xí)過(guò)程。另外，教師還可以鼓勵(lì)學(xué)生寫(xiě)反思日記，指導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)反思日記不是記流水賬，而是要突出思維總結(jié)的特點(diǎn)，一要對(duì)回顧教師的講解的思路和內(nèi)容對(duì)課上所學(xué)知識(shí)進(jìn)行反思，尤其要記下課堂要點(diǎn)。二要對(duì)所學(xué)的有關(guān)聯(lián)的問(wèn)題進(jìn)行反思，讓當(dāng)天所學(xué)的知識(shí)與以往學(xué)會(huì)的知識(shí)相關(guān)聯(lián)，理清數(shù)學(xué)知識(shí)之間的脈絡(luò)，形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。讓學(xué)生將反思融于日常學(xué)習(xí)的方方面面，久而久之形成常反思、會(huì)反思的習(xí)慣，使學(xué)生的反思能力得到發(fā)展。

五、 結(jié)語(yǔ)

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要給予學(xué)生充足的反思時(shí)間，通過(guò)加強(qiáng)概念教學(xué)、解題教學(xué)、引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣等途徑促進(jìn)學(xué)生反思能力的發(fā)展，使學(xué)生在反思中加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、在反思中促進(jìn)自身學(xué)習(xí)能力的提高。

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作者簡(jiǎn)介：

林榮生，福建省龍巖市，福建武平一中。