基于高斯曲率相關(guān)系數(shù)的斜交梁橋支座損傷識(shí)別方法

梁 棟，康 健，陳 磊

(河北工業(yè)大學(xué) 土木與交通學(xué)院，天津 300401)

支座作為橋梁結(jié)構(gòu)中的重要組成部分，其質(zhì)量直接影響橋梁的使用壽命和結(jié)構(gòu)安全。在公路橋梁中廣泛使用板式橡膠支座，但由于布置方式不當(dāng)、施工不正確、養(yǎng)護(hù)不到位等原因，對(duì)支座造成了一定程度的損傷，支座脫空較為常見。支座脫空會(huì)引起其他支座的超壓或偏壓，改變結(jié)構(gòu)整體的受力狀態(tài)，降低橋梁的使用壽命。因此，及時(shí)發(fā)現(xiàn)支座是否脫空，對(duì)保證橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定及交通的正常運(yùn)行具有重要的理論意義和社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益。

近年來，相關(guān)學(xué)者提出了解決支座損傷的識(shí)別方法。徐忠陽等[1]提出了利用壓力傳感器識(shí)別支座損傷的直接檢查法，但需要在施工時(shí)安裝傳感器，對(duì)于已建成橋梁需要頂升安裝，費(fèi)用較高且存在風(fēng)險(xiǎn)。李云峰等[2]采用支座檢查鏡和檢查儀對(duì)支座脫空情況進(jìn)行識(shí)別，克服了支座空間狹小不易檢查等困難，但只能定性判斷支座受損情況，精確性有待提高。周正茂等[3]提出了基于位移的橋梁支座脫空測(cè)試技術(shù)，雖然提高了識(shí)別精度，但測(cè)試時(shí)間長(zhǎng)、需要人員較多，且影響正常的交通。喬振[4]采用動(dòng)力測(cè)試方法識(shí)別支座病害，以橋梁的固有頻率變化率作為支座的損傷評(píng)估指標(biāo)，但對(duì)小損傷不敏感，且無法準(zhǔn)確進(jìn)行支座損傷定位。戰(zhàn)家旺等[5]提出基于沖擊荷載作用下橋梁的時(shí)域動(dòng)力響應(yīng)判斷支座病害的方法，但其準(zhǔn)確度依賴于沖擊點(diǎn)的布置，因此在實(shí)際應(yīng)用中存在一定的局限性。

現(xiàn)有的損傷識(shí)別方法都是基于橋梁沿縱軸振動(dòng)的一維模態(tài)進(jìn)行分析，隨著交通量的增大，斜梁橋路幅寬度增大，對(duì)于寬跨比接近1.0的新建公路橋梁，大量低階二維模態(tài)出現(xiàn)。為充分考慮橋梁橫橋向模態(tài)，梁棟等[6]提出了基于高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)判斷簡(jiǎn)支T梁橋支座損傷的方法，該方法能很好地識(shí)別出寬跨比較大的橋梁支座損傷位置，但針對(duì)支座損傷程度的識(shí)別需進(jìn)一步提高。本文在此基礎(chǔ)上，將斜交寬梁橋簡(jiǎn)化為平行四邊形板，根據(jù)直角坐標(biāo)系與斜坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系得到平行四邊形板的振動(dòng)微分方程，并引入哈密頓辛對(duì)偶求解體系[7]，從板的頻率、振型等振動(dòng)特性出發(fā)[8-9]，通過處理橋梁振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)得到高斯曲率模態(tài)識(shí)別方法。綜合考慮前3階的振型曲率，采用鄧氏相關(guān)系數(shù)對(duì)支座的損傷定位進(jìn)行分析。通過津港高速公路Y線斜交梁橋現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)獲得各振型控制點(diǎn)的高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)，與有限元獲得到的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，從而驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性。

1 理論分析

1.1 平行四邊形板的振動(dòng)

圖1 平行四邊形薄板

假設(shè)一平行四邊形薄板(見圖 1)的厚度與其他尺寸相比可以忽略，用直角坐標(biāo)系xoy和斜坐標(biāo)系ξoη表示平行四邊形薄板的坐標(biāo)[10-11]，其轉(zhuǎn)換關(guān)系為

ζ=x-y/tanα,η=y/sinα

(1)

取ξ-η平面為板的中間平面，對(duì)于同一點(diǎn)的撓曲位移w，并不會(huì)因坐標(biāo)標(biāo)架的不同而變化，即w(ξ,η)=w(x,y)。對(duì)滿足Kirchhoff假定的薄板小撓度彎曲問題，由復(fù)合求導(dǎo)法則可知，板的應(yīng)變分量分別為

(2)

對(duì)于各向同性的平行四邊形板，由于彈性參數(shù)為常數(shù)，不隨坐標(biāo)軸的改變而變化，則薄板的彎曲剛度D=Eδ3/[12(1-ν2)]，其中E,δ,ν分別為板的彈性模量、厚度和泊松比。因此，斜坐標(biāo)系中拉普拉斯算子為

(3)

由板的振動(dòng)方程可知，平行四邊形薄板的自由振動(dòng)微分方程為

(4)

根據(jù)坐標(biāo)變換，η方向的彎矩可以表示為

(5)

引入約束條件，由板的Hellinger-Reissner變分原理δ∏H-R=0推導(dǎo)得到斜形板的Hamilton算子矩陣，即

(6)

平行四邊形薄板自由振動(dòng)在Hamilton體系中的對(duì)偶方程為

(7)

按照辛幾何方法，利用分離變量法求解方程(7)，可得

υ=exp(μξ)ψ(η)

(8)

式中：μ為辛本征值；ψ為本征向量。

平行四邊形板在ξ邊簡(jiǎn)支的邊界條件為

Mη=0ω=0η=0,b

(9)

求出所有的本征值和本征向量以后，應(yīng)用辛本征展開定理得到通解

(10)

式中：υ*是在滿足ξ=0,a邊界條件時(shí)的特解；cn為待定常數(shù)。

位移模態(tài)函數(shù)表達(dá)式為

(11)

1.2 基于高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)的支座損傷定位

在計(jì)算板的曲率模態(tài)時(shí)，會(huì)綜合考慮ξ,η兩個(gè)方向的曲率模態(tài)值，為此引入微分幾何理論中的高斯曲率K[12]。設(shè)k1,k2為曲面上一點(diǎn)的2個(gè)主曲率，則它們的乘積稱為曲面在這一點(diǎn)的高斯曲率，即

(12)

其中，

(13)

在曲線為r={ξ,η,w(ξ,η)}的情況下，將式(13)代入式(12)可得：

(14)

其中，

(15)

式中：wi,j為節(jié)點(diǎn)的位移模態(tài)；Δh為相鄰節(jié)點(diǎn)的間距。

將式(11)得到的位移代入式(15)可求得相關(guān)參數(shù)，再根據(jù)式(14)即可獲得高斯曲率模態(tài)。

(16)

目前損傷識(shí)別中大都采用某一階曲率模態(tài)或某一階相關(guān)系數(shù)進(jìn)行損傷定位，可能使損傷處的損傷指標(biāo)不敏感或是對(duì)未損傷位置造成誤判。本文提出綜合考慮前3階高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)，對(duì)支座損傷定位進(jìn)行判斷的方法。

設(shè)某一振型控制點(diǎn)處第i階的高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)為ξi，定義由結(jié)構(gòu)前3階振型構(gòu)成的高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)為

(17)

在結(jié)構(gòu)的振動(dòng)中，低階模態(tài)起主導(dǎo)作用且測(cè)試精度容易保證，文中取a1=0.4,a2=0.35,a3=0.25。利用式(17)可獲得結(jié)構(gòu)的高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)，從而判斷結(jié)構(gòu)是否損傷并定位。具體方法為：結(jié)構(gòu)未發(fā)生損傷時(shí)，其上節(jié)點(diǎn)處的高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)應(yīng)等于1；結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)，未發(fā)生損傷處節(jié)點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)應(yīng)等于或接近1，而發(fā)生損傷處節(jié)點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)小于其他未發(fā)生損傷節(jié)點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)。

2 工程實(shí)例

2.1 橋梁概況

本文以天津?yàn)I海新區(qū)津港高速公路工程(西外環(huán)—臨港)Y線斜交梁橋?yàn)檠芯繉?duì)象進(jìn)行有限元模擬及試驗(yàn)測(cè)定。橋梁的上部結(jié)構(gòu)為3×30 m預(yù)應(yīng)力簡(jiǎn)支變截面連續(xù)預(yù)制小箱梁，下部結(jié)構(gòu)采用肋式橋臺(tái)、柱式橋墩。墩臺(tái)均采用鉆孔灌注樁基礎(chǔ)。主梁為變寬斜截面，由多片小箱梁組成，橫斷面形式為0.5 m(防撞護(hù)欄)+12.25～14.37 m(車行道)+0.5 m(防撞護(hù)欄)。斜交角度為30°，截面尺寸如圖2所示。

圖2 橫截面尺寸示意(單位：cm)

全橋共布置16個(gè)支座，其平面約束及振型控制點(diǎn)分布情況如圖3所示。圖中箭頭方向表示支座可活動(dòng)方向，支座均約束豎直方向。斜交梁橋材料采用C50混凝土，彈性模量為34.5 GPa。

圖3 平面約束及振型控制點(diǎn)分布情況(單位：cm)

2.2 支座損傷模擬工況振型

根據(jù)斜交梁橋的特性及支座的布置情況，通過選取不同位置的支座進(jìn)行剛度折減來模擬支座脫空程度。其中，λ表示支座豎向剛度損傷程度。初步將支座損傷劃分為3個(gè)等級(jí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為0.3，0.6，1.0。λ=0.3表示支座的剛度為原來支座剛度的0.3倍；λ=1.0 表示支座全部受損，失去剛度效應(yīng)。本文設(shè)計(jì)了14種單支座與多支座的損傷工況，使用基于高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)的識(shí)別方法對(duì)損傷指標(biāo)進(jìn)行驗(yàn)證，具體工況見表1。

表1 支座損傷模擬工況

2.3 斜交梁橋有限元模型

為了充分考慮橋梁橫橋向模態(tài)，本文使用MIDAS FEA建立橋梁實(shí)體有限元模型進(jìn)行分析。采用實(shí)體單元模擬主梁，用8節(jié)點(diǎn)單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。通過支座位置處約束缺失來模擬支座損傷。每個(gè)支座處均為振型控制點(diǎn)，共計(jì)16個(gè)。

3 基于高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)的支座損傷分析

3.1 單支座損傷分析

為了分析單支座損傷時(shí)損傷指標(biāo)的敏感性，對(duì)不同約束條件下支座的損傷情況進(jìn)行模擬，將工況1～9模擬得到的振型模態(tài)按式(14)計(jì)算得到高斯曲率模態(tài)，并根據(jù)式(17)計(jì)算得到考慮前3階振型的高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)。將各支座控制點(diǎn)相關(guān)系數(shù)繪制成曲線，見圖4。

圖4 單支座受損高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)

由圖4(a)可知：①當(dāng)單支座發(fā)生損傷時(shí)，損傷支座處的高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)會(huì)發(fā)生明顯的突變，而其他振型控制點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)基本不變，均接近1，可準(zhǔn)確判斷出受損支座的位置。在λ僅為0.3的情況下，損傷支座處的相關(guān)系數(shù)就下降到了0.6～0.7，體現(xiàn)了損傷指標(biāo)對(duì)支座損傷的敏感性。②無論支座的約束形式為固定鉸支座還是單向或雙向活動(dòng)鉸支座，以及是否約束ξ,η方向的活動(dòng)，損傷指標(biāo)均能有效地識(shí)別出支座損傷的位置，且不會(huì)影響其他控制點(diǎn)處的相關(guān)系數(shù)大小，不會(huì)造成誤判，說明受損支座的識(shí)別定位與支座的約束形式無關(guān)。③無論支座在斜交角的銳角處、鈍角處還是中間位置，可以看出受損支座與其他振型控制點(diǎn)處相關(guān)系數(shù)存在明顯差異，說明損傷指標(biāo)不受支座位置的影響。

由圖4(b)、圖4(c)可知，隨著支座損傷程度的增加，高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)會(huì)逐漸變小，單向活動(dòng)支座處的剛度折減度對(duì)相關(guān)系數(shù)的敏感性大于雙向活動(dòng)支座，其他支座處的相關(guān)系數(shù)均沒有降低。因此，該方法能有效地識(shí)別出支座損傷的位置，并且大體能估計(jì)出支座損傷的程度。

3.2 多支座損傷分析

對(duì)于多支座損傷，選取工況10～14進(jìn)行分析，將各支座控制點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)繪制成曲線，見圖5。

圖5 多支座受損高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)

由圖5(a)、圖5(b)可知：多支座發(fā)生損傷時(shí)，不論是雙支座損傷，還是三支座或四支座損傷，損傷支座的高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)明顯降低，其他振型控制點(diǎn)處相關(guān)系數(shù)基本沒有波動(dòng)，能有效識(shí)別多支座的損傷位置。由圖5(c)可知：高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)不僅對(duì)于單支座損傷程度識(shí)別適用，同樣可以對(duì)多支座損傷程度進(jìn)行預(yù)估。隨著支座損傷程度的增加，其相應(yīng)位置的相關(guān)系數(shù)隨之降低。

4 實(shí)橋驗(yàn)證

根據(jù)橋梁結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，按照環(huán)境激勵(lì)法的試驗(yàn)要求，傳感器的動(dòng)態(tài)范圍應(yīng)具有良好的低頻響應(yīng)特性，抗干擾能力強(qiáng)，故本次試驗(yàn)采用INV9580A 無線采集儀。為提高橋梁模態(tài)的測(cè)試精度，需要合理地布置參考點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)的位置。參考點(diǎn)應(yīng)避開系統(tǒng)任意一階振型的節(jié)點(diǎn)，盡量避免設(shè)定在振動(dòng)幅度較小、容易造成誤差的位置，確保采集信號(hào)具有較高的信噪比，避免模態(tài)遺漏。布置的測(cè)點(diǎn)應(yīng)能夠明確反映橋梁結(jié)構(gòu)的輪廓，通過不同測(cè)點(diǎn)之間的振動(dòng)信號(hào)，根據(jù)相關(guān)函數(shù)及相位關(guān)系識(shí)別出結(jié)構(gòu)的固有模態(tài)。因此，應(yīng)在橋梁豎向、橫向布置測(cè)點(diǎn)，其測(cè)點(diǎn)布置如圖6所示，全橋共布置18個(gè)測(cè)點(diǎn)。為驗(yàn)證利用高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)判斷支座損傷程度的準(zhǔn)確性，對(duì)上述數(shù)值模擬橋梁進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)實(shí)橋驗(yàn)證。

圖6 測(cè)點(diǎn)布置

圖7 有限元模態(tài)振型與試驗(yàn)?zāi)B(tài)振型對(duì)比

根據(jù)傳感器及測(cè)試設(shè)備情況，全橋測(cè)點(diǎn)共分4批次進(jìn)行測(cè)量(參見圖6)，既彌補(bǔ)了試驗(yàn)成本高、可靠性低等缺點(diǎn)，又簡(jiǎn)化了現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試作業(yè)。7號(hào)和10號(hào)測(cè)點(diǎn)為參考點(diǎn)，與每個(gè)批次并行測(cè)量。

根據(jù)試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果得到斜交梁橋的模態(tài)。為驗(yàn)證試驗(yàn)所測(cè)得模態(tài)振型的準(zhǔn)確性，與有限元模態(tài)振型進(jìn)行了對(duì)比，如圖7所示。試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率與數(shù)值模擬模態(tài)頻率對(duì)比見表2?？芍簲?shù)值模擬模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)基本一致，振型相同，頻率相差不大，表明試驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確。

表2 試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率與數(shù)值模擬模態(tài)頻率對(duì)比

高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)模擬值與試驗(yàn)值對(duì)比見圖8。根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的模態(tài)計(jì)算得到高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)，其各個(gè)振型控制點(diǎn)處的相關(guān)系數(shù)在0.95～1.00，可知各個(gè)支座未發(fā)生損傷。因斜橋所處位置有水流的波動(dòng)，且風(fēng)速較大，對(duì)試驗(yàn)?zāi)B(tài)有一定影響，導(dǎo)致部分振型控制點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)不等于1，但仍可對(duì)支座的損傷與否進(jìn)行判定，能夠滿足工程測(cè)定的需要。此外，模態(tài)測(cè)定后，通過橋檢車對(duì)橋底各個(gè)支座的損傷情況進(jìn)行了觀察，未發(fā)現(xiàn)損傷，說明采用高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)對(duì)公路斜交梁橋支座損傷進(jìn)行定位是可行有效的。

圖8 高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)模擬值與試驗(yàn)值對(duì)比

5 結(jié)論

1)利用高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)，可以準(zhǔn)確地判斷出斜交梁橋支座損傷的位置，且支座損傷程度越大，相關(guān)系數(shù)越小。

2)無論是單支座損傷還是多支座損傷，利用文中方法均能很好地實(shí)現(xiàn)斜交梁橋支座損傷定位。即使是微小的損傷，相關(guān)系數(shù)也有明顯突變，說明了高斯曲率模態(tài)相關(guān)系數(shù)是斜交梁橋支座損傷識(shí)別的敏感指標(biāo)。

3)針對(duì)橋梁現(xiàn)場(chǎng)情況進(jìn)行模態(tài)測(cè)定，只要保證模態(tài)測(cè)試準(zhǔn)確，即可得到各振型控制點(diǎn)處的相關(guān)系數(shù)，對(duì)支座進(jìn)行損傷判定。