6支鏈臺(tái)體型Stewart衍生構(gòu)型位置正解半解析算法

葉鵬達(dá) 尤晶晶,2 沈惠平 吳洪濤 李成剛

(1.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院， 南京 210037; 2.江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210016;3.常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 常州 213016; 4.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院， 南京 210016)

0 引言

1965年，STEWART[1]首次提出含6條相同支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，學(xué)者們將其稱為Stewart機(jī)構(gòu)。與傳統(tǒng)的串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有輸出精度高、結(jié)構(gòu)剛性好、承載能力強(qiáng)、便于控制等優(yōu)點(diǎn)，成為國(guó)內(nèi)外機(jī)構(gòu)學(xué)研究熱點(diǎn)[2-6]。Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要有平臺(tái)型、臺(tái)體型兩大類，相比于前者而言，后者動(dòng)、靜平臺(tái)[7]上球鉸鏈的球心可在空間任意布置，而不局限于同一平面上，并且具有對(duì)稱性和各向同性[8]，可用于對(duì)精度和穩(wěn)定性要求較高的場(chǎng)合[9]。因此，臺(tái)體型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有更廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，如六維加速度傳感器[8-10]、飛行模擬器[11-12]、遙操作機(jī)器人[13-14]等，但其理論研究難度更大。

由于涉及到至少6個(gè)輸入量和6個(gè)輸出量，而且它們之間呈現(xiàn)強(qiáng)非線性耦合的關(guān)系，目前，臺(tái)體型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)問題并沒有完全解決。正向運(yùn)動(dòng)學(xué)是工作空間、奇異位型、動(dòng)力學(xué)控制等后續(xù)工作的基礎(chǔ)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量的探索研究，主要方法有數(shù)值法和解析法兩種[15-17]。數(shù)值法主要通過Newton法或擬Newton法等數(shù)值逼近迭代求解[18-22]。文獻(xiàn)[19]利用擬Newton法成功求解3-RPS和6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解，計(jì)算效率明顯提高，然而，求解算法對(duì)初值較敏感，且在特殊奇異位型下無法計(jì)算；文獻(xiàn)[23]利用粒子群算法進(jìn)行正解研究，能夠得到所有可能的正解，但該算法的收斂速度和計(jì)算效率還有待提高。解析法主要通過消元得到單一參數(shù)多項(xiàng)式，不需要給定初值，就能求得全部解。文獻(xiàn)[24]提出一種解析化方法用于6-SPS[25]并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，但是該方法消元復(fù)雜，不具有通用性，且不利于程式化；文獻(xiàn)[26]針對(duì)6-6平臺(tái)型Stewart機(jī)構(gòu)，運(yùn)用分次字典序Groebner基法消元，得到一元20次代數(shù)方程，然而，獲得的高次方程仍需要通過數(shù)值法求解；文獻(xiàn)[27]指出，采用冗余驅(qū)動(dòng)的思路可以設(shè)計(jì)出具有全解析解的臺(tái)體型Stewart機(jī)構(gòu)，然而，由于添加了多條支鏈，特別是引入了三重復(fù)合鉸鏈，結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜，不利于加工、裝配及控制。

沈惠平等[28]研究發(fā)現(xiàn)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿正解的求解難度與機(jī)構(gòu)的耦合度有關(guān)。為了構(gòu)造低耦合度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，同時(shí)舍棄三重復(fù)合鉸鏈，本文設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易加工、易裝配的6支鏈臺(tái)體型Stewart衍生構(gòu)型，并構(gòu)建一種數(shù)值法和解析法相結(jié)合、程式化程度高的半解析算法，為6支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工程應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。

1 Stewart衍生構(gòu)型及重構(gòu)構(gòu)型

本文提出4種6支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的衍生構(gòu)型，分別是6-6構(gòu)型、6-5構(gòu)型、6-4構(gòu)型和6-3構(gòu)型(前、后數(shù)字分別代表靜、動(dòng)平臺(tái)上的球鉸鏈個(gè)數(shù)，下同)，如圖1所示。衍生構(gòu)型由1個(gè)邊長(zhǎng)為2N的正方體狀動(dòng)平臺(tái)、1個(gè)內(nèi)邊長(zhǎng)為2(N+L)的正方體空殼狀靜平臺(tái)以及6條完全相同的SPS(Spherical-prismatic-spherical)支鏈構(gòu)成；初始狀態(tài)下，6條支鏈長(zhǎng)度相等，動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)的幾何中心重合，并且姿態(tài)完全相同。與衍生構(gòu)型相比，重構(gòu)構(gòu)型增加了6條虛擬支鏈，每2條支鏈構(gòu)成一組，6個(gè)二重復(fù)合球鉸鏈分別固結(jié)在動(dòng)平臺(tái)的6條棱邊的中點(diǎn)；重構(gòu)構(gòu)型的初始狀態(tài)與衍生構(gòu)型的初始狀態(tài)相同，如圖2所示。

圖1 Stewart機(jī)構(gòu)的4種衍生機(jī)構(gòu)Fig.1 Four derivative mechanisms of Stewart mechanism

圖2 12-6臺(tái)體型重構(gòu)構(gòu)型Fig.2 12-6 platform reconstructed configuration

2 半解析算法

2.1 基本思路

將數(shù)值法與解析法相結(jié)合的方法稱為半解析算法，基本思路為通過數(shù)值法求解出6條虛擬支鏈的長(zhǎng)度，再通過解析法求解出重構(gòu)構(gòu)型的位置正解。算法流程如圖3所示。其中虛線表示傳統(tǒng)數(shù)值法。

圖3 半解析算法流程圖Fig.3 Flow chart of semi-analytic algorithm

2.2 重構(gòu)構(gòu)型運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的全解析解

由并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈長(zhǎng)度計(jì)算動(dòng)平臺(tái)位姿的過程稱為“正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的求解”。本文假設(shè)機(jī)構(gòu)各個(gè)幾何參數(shù)已知，動(dòng)平臺(tái)為一個(gè)剛體，并且各個(gè)球副之間不存在摩擦與間隙。

如圖4所示，動(dòng)平臺(tái)幾何中心為P，其笛卡爾坐標(biāo)設(shè)為(x0,y0,z0)，動(dòng)平臺(tái)頂點(diǎn)及其坐標(biāo)為Ad(xd,yd,zd)(d=1,2,…,8)，二重復(fù)合球鉸鏈及其坐標(biāo)為Bi(xi,yi,zi)(i=1,2,…,6)，12個(gè)外球鉸鏈的中心點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的笛卡爾坐標(biāo)為bj(xj,yj,zj)(j=1,2,…,12)。根據(jù)重構(gòu)構(gòu)型中的幾何約束關(guān)系，建立二次相容方程

(1)

(2)

(3)

圖4 位姿求解原理圖Fig.4 Schematic of position and orientation solution

將二次相容方程(1)～(3)分成3組，每組二次相容方程中的同構(gòu)方程兩兩相減，得到12個(gè)線性相容方程，通過考慮線性方程組的求解理論，可以得到點(diǎn)P、B1、B2、B3的部分坐標(biāo)為

(4)

(5)

(6)

(7)

其中

觀察動(dòng)平臺(tái)特征點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)P、B1、B2、B34點(diǎn)構(gòu)成菱形，且對(duì)角線互相平分。因此有

x1=x2+x3-x0

(8)

z2=z1+z0-z3

(9)

y3=y1+y0-y2

(10)

如圖4所示，將動(dòng)平臺(tái)的前面、右側(cè)面和上面中心點(diǎn)的坐標(biāo)分別記作Pfront、Pright、Ptop。

根據(jù)特征點(diǎn)與Pfront、Pright、Ptop之間的尺度關(guān)系，計(jì)算其解析解

(11)

(12)

(13)

這樣，動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)可分別表示為

P=(x0,y0,z0)T

(14)

(15)

2.3 基于協(xié)調(diào)方程求解虛擬支鏈的長(zhǎng)度

動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)過程中，桿長(zhǎng)之間滿足一定的幾何約束關(guān)系，即

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

為了降低上述9個(gè)協(xié)調(diào)方程的次數(shù)，通過式(16)、(22)相減，式(17)、(23)相減，式(18)、(24)相減，式(19)、(22)、(23)相減，式(20)、(23)、(24)相減，式(21)、(22)、(24)相減，得到6個(gè)低次冪的協(xié)調(diào)方程為

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

可以看出，方程(25)、(26)、(27)消除了8次方項(xiàng)；方程(28)、(29)、(30)消除了6次方項(xiàng)?；?jiǎn)前后協(xié)調(diào)方程數(shù)目由9個(gè)降為6個(gè)，最高次項(xiàng)數(shù)由45項(xiàng)降為9項(xiàng)。

協(xié)調(diào)方程可寫成

(31)

式中X——6個(gè)未知桿長(zhǎng)

將方程(31)用泰勒公式展開

F(Xn)+F′(Xn)(X-Xn)+O(|X-Xn|2)=0

(32)

其中

式中F′(Xn)——雅可比矩陣

忽略二階無窮小量后

Xn+1=Xn-[F′(Xn)]-1F(Xn)

(33)

為驗(yàn)證協(xié)調(diào)方程計(jì)算方法的可行性，在Mathematica中進(jìn)行虛擬仿真，如圖5所示。

圖5 12-6 SPS重構(gòu)構(gòu)型虛擬樣機(jī)Fig.5 Virtual prototype of 12-6 SPS reconstructed configuration

取N=15 mm，L=25 mm，任意給定動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)矩陣與移動(dòng)路徑為

(34)

(35)

如圖6所示。

圖6 動(dòng)平臺(tái)移動(dòng)路徑Fig.6 Path of moving platform

點(diǎn)Ad在靜坐標(biāo)系中的位置矢量為

(36)

首先通過反解，求出6條支鏈的長(zhǎng)度，再運(yùn)用協(xié)調(diào)方程求解出6條虛擬支鏈長(zhǎng)度，對(duì)比虛擬支鏈長(zhǎng)度的計(jì)算值與準(zhǔn)確值，得到桿長(zhǎng)計(jì)算誤差。如圖7所示。

由圖7a可知，曲線光滑且連續(xù)，表明計(jì)算過程沒有產(chǎn)生算法奇異。由圖7b可知，計(jì)算值與準(zhǔn)確值吻合得較好，表明協(xié)調(diào)方程是正確的；微小的桿長(zhǎng)計(jì)算誤差是由軟件在數(shù)值計(jì)算過程中產(chǎn)生的舍入誤差等因素造成的。

3 數(shù)值性態(tài)分析

數(shù)值性態(tài)不僅與算法有關(guān)，還與構(gòu)型有關(guān)。本文將分別對(duì)比分析半解析算法與傳統(tǒng)數(shù)值法在計(jì)算衍生構(gòu)型位姿正解時(shí)的精度、效率和穩(wěn)定性。將兩種算法編寫成Mathematica程序，使用的計(jì)算機(jī)CPU為Intel CORE I5-4200U,主頻為2.30 GHz，內(nèi)存為4 GB。

圖7 協(xié)調(diào)方程的驗(yàn)證Fig.7 Verification of compatibility equations

3.1 精度

傳統(tǒng)數(shù)值法即牛頓法是一種被廣泛使用的求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解的迭代算法。通過數(shù)值算例發(fā)現(xiàn)，初值偏差對(duì)位姿正解計(jì)算誤差的影響較小，因此，這里僅分別對(duì)比半解析算法與傳統(tǒng)數(shù)值法在計(jì)算衍生構(gòu)型位姿正解時(shí)的精度，如表1所示。在虛擬樣機(jī)中，任意給定動(dòng)平臺(tái)一組位姿：x0=0.1 mm，y0=0.1 mm，z0=0.1 mm；λ1=0.05，λ2=0.05，λ3=0.05，算法迭代精度控制為1.0×10-6，計(jì)算值取小數(shù)點(diǎn)后5位有效數(shù)字。

表1 位姿正解的精度對(duì)比Tab.1 Comparison of accuracy of forward displacement analysis

定義位姿正解的綜合相對(duì)誤差(位姿正解6個(gè)變量的相對(duì)誤差的平均值)δ為

(37)

由表1可知，在計(jì)算過程中，半解析算法的綜合相對(duì)誤差明顯低于傳統(tǒng)數(shù)值法。

3.2 效率

算法效率(計(jì)算時(shí)間)τ與其使用的方法有關(guān)，也與求解的具體構(gòu)型有關(guān)。從不同算法和不同構(gòu)型來研究初值偏差對(duì)效率的影響。在軟件中通過Timing指令獲取算法的計(jì)算時(shí)間，分別計(jì)算對(duì)比同種構(gòu)型下兩種算法所需計(jì)算時(shí)間的比值，選取最小值作為兩種算法的效率比值。通過數(shù)值算例發(fā)現(xiàn)，算法的迭代精度與初值偏差對(duì)傳統(tǒng)數(shù)值法的效率影響較小，因此，本文僅列出了不同構(gòu)型下傳統(tǒng)數(shù)值法的效率，如表2所示。對(duì)于半解析算法，迭代精度分別控制為1.0×10-6與1.0×10-9，將初值偏差從5%變化到25%，在不同的迭代精度下，對(duì)應(yīng)的效率如表3所示。

表2 傳統(tǒng)數(shù)值法的效率Tab.2 Efficiency of traditional numerical method

表3 半解析算法的效率Tab.3 Efficiency of semi-analytic algorithm ms

由表2、3可知，傳統(tǒng)數(shù)值法的效率優(yōu)于半解析算法。從算法的方程復(fù)雜程度分析，半解析算法方程的最高次冪(8次)高于傳統(tǒng)數(shù)值法的方程(3次)。半解析算法的效率隨著構(gòu)型中二重復(fù)合球鉸鏈數(shù)目的增多而變高，且迭代精度越高，效率越低；對(duì)于6-4構(gòu)型，當(dāng)初值偏差達(dá)到25%時(shí)，半解析算法的計(jì)算結(jié)果發(fā)散。

3.3 穩(wěn)定性

穩(wěn)定性的主要影響因素有初值偏差和計(jì)算步長(zhǎng)，考慮到位姿正解與初值偏差有關(guān)，與計(jì)算步長(zhǎng)無關(guān)，因此，從兩種算法的最大初值偏差和迭代發(fā)散來研究衍生構(gòu)型的穩(wěn)定性。在實(shí)際計(jì)算過程中，如初值偏差過大，結(jié)果可能不收斂，計(jì)算失去了穩(wěn)定性。

各變量計(jì)算許用區(qū)間寬度為

Q=[X*-ΔXX*+ΔX]

(38)

其中

式中X*——初始位姿

ΔX——位姿最大計(jì)算值

定義最大初值偏差(位姿正解6個(gè)變量的相對(duì)許用區(qū)間寬度的平均值)Imax為

(39)

式中M——?jiǎng)悠脚_(tái)位姿各變量(分量)的最大工作范圍

半解析算法與傳統(tǒng)數(shù)值法在計(jì)算衍生構(gòu)型時(shí)的最大初值偏差如表4所示。由表4可知，半解析算法的穩(wěn)定性明顯優(yōu)于傳統(tǒng)數(shù)值法。對(duì)于半解析算法，6-3構(gòu)型穩(wěn)定性優(yōu)于其他構(gòu)型，從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析，該構(gòu)型動(dòng)平臺(tái)上有3個(gè)二重復(fù)合球鉸鏈，相比于其他構(gòu)型，該構(gòu)型支鏈分布較集中；對(duì)于傳統(tǒng)數(shù)值法，6-5構(gòu)型穩(wěn)定性最高，達(dá)到46.2%。

表4 衍生構(gòu)型的最大初值偏差Tab.4 Maximum initial deviation of derivative configuration %

4 結(jié)論

(1)設(shè)計(jì)了一類6支鏈臺(tái)體型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其衍生構(gòu)型，對(duì)其進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析，動(dòng)平臺(tái)分別含有0、1、2、3個(gè)二重復(fù)合球鉸鏈。針對(duì)6支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問題，構(gòu)建了一種結(jié)合數(shù)值法和解析法的半解析算法。通過數(shù)值法求出虛擬支鏈長(zhǎng)度，構(gòu)成12-6臺(tái)體型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)，利用其低耦合度和支鏈布局的高度對(duì)稱性，推導(dǎo)了一種全解析式正解算法，并可得到唯一解析表達(dá)式。該方法同樣適用于動(dòng)平臺(tái)上含3個(gè)以上二重復(fù)合球面副、球鉸中心不局限于動(dòng)平臺(tái)棱邊的中點(diǎn)、且耦合度小于2的臺(tái)體型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。

(2)對(duì)比了半解析算法和傳統(tǒng)數(shù)值法在計(jì)算6支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)衍生構(gòu)型時(shí)的精度、效率和穩(wěn)定性。半解析算法的精度和穩(wěn)定性優(yōu)于傳統(tǒng)數(shù)值法至少2倍，但傳統(tǒng)數(shù)值法的效率為半解析算法的7倍。

(3)構(gòu)型選取不僅與應(yīng)用對(duì)象有關(guān)，還與算法的數(shù)值性態(tài)有關(guān)。半解析算法在具體應(yīng)用場(chǎng)合需要合理選取衍生構(gòu)型，其選取原則為：對(duì)精度要求較高且效率和穩(wěn)定性要求不高時(shí)，選用6-6構(gòu)型；對(duì)實(shí)時(shí)性(或穩(wěn)定性)要求較高且精度和穩(wěn)定性(或?qū)崟r(shí)性)要求不高時(shí)，選用6-3構(gòu)型。當(dāng)最大初值偏差小于106%時(shí)，4種衍生構(gòu)型都適用；當(dāng)最大初值偏差大于106%且小于526%時(shí)，選用6-3構(gòu)型；當(dāng)最大初值偏差大于526%時(shí)，衍生構(gòu)型都不適用。綜合考慮精度、效率和穩(wěn)定性，6-3構(gòu)型優(yōu)于其他構(gòu)型。