2018全國Ⅲ(21)題的命題背景及解法探究

安徽省合肥市一六八中學 (230601)

談世勇

例(2018全國3卷第21題)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(x+1)-2x.

(1)若a=0，證明：當-10時，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點，求a.

(2)嘗試一：(極大值點的第二充要條件：已知函數(shù)y=f(x)在x=x0處各階導數(shù)都存在且連續(xù)，x=x0是函數(shù)的極大值點的一個充要條件為前2n-1階導數(shù)等于0，第2n階導數(shù)小于0.)

證明：h′(x)=q′(x)f(x)+q(x)f′(x)-

f′(x0)=g′(x0)，且f(x0)=g(x0)，代入化簡即得h′(x0)=0.

引理2 已知函數(shù)y=f(x)在x=x0處各階導數(shù)都存在且連續(xù)，x=x0是函數(shù)的極大值點的一個充要條件為前2n-1階導數(shù)等于0，第2n階導數(shù)小于0.

嘗試二：若x=0是f(x)的極大值點，注意到f′(0)=0，則存在充分接近于0的δ，使得當x∈(-δ,0)時，f′(x)>0，當x∈(0,δ)時，f′(x)<0(*),得到一個恒成立問題，其基本方法之一有分離參數(shù)法.