2018年天津卷理科第8題的多解與變式*

四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641112)

張 慶 胡 琳 劉成龍

一、試題及簡(jiǎn)評(píng)

圖1

簡(jiǎn)評(píng)：8題是考查向量和平面幾何交匯性的典型案例，具有一定難度、深度、廣度，呈現(xiàn)一系列亮點(diǎn)：構(gòu)思巧妙，內(nèi)涵豐富，解法多樣，富有探究性，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高.總之，該試題是測(cè)評(píng)的好試題、研究的好問題.

二、試題的解法

視角一：模型化

數(shù)學(xué)模型是研究者依據(jù)研究目的，將所研究客觀事物的過程和現(xiàn)象的主要特征、主要關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括或近似地表達(dá)出來的一種結(jié)構(gòu).[1]8題利用極化恒等式模型來解答直觀形象，不僅可以縮短思維過程，而且可以優(yōu)化運(yùn)算，分析如下：

圖2

圖3

評(píng)注：利用極化恒等式將向量的問題轉(zhuǎn)化成求線段長(zhǎng)的平面幾何問題，這對(duì)于初中學(xué)習(xí)水平一般的學(xué)生來說都能給出正確解答.

視角二：解析法

解析法使得原先獨(dú)立的兩個(gè)數(shù)學(xué)分支—幾何和代數(shù)聯(lián)系到一起，使得代數(shù)的很多對(duì)象有了直觀的幾何解釋.同時(shí)，利用代數(shù)和分析的知識(shí)能較方便地解決幾何問題.[2]解析法是利用代數(shù)方法解決幾何問題的常規(guī)解法，難度低，易操作.

圖4

評(píng)注：利用解析法解答時(shí)，將幾何問題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題，降低了問題的思維難度.順便指出，建系的方法很多，比如：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC分別為x、y軸.

視角三：向量的基本運(yùn)算

合理利用向量的分解來進(jìn)行向量間的基本運(yùn)算，可將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于單個(gè)向量的表達(dá)式.

圖5

評(píng)注：方法4、5通過向量的基本運(yùn)算將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為了關(guān)于某個(gè)變量的二次函數(shù)的最值問題，這與方法3有異曲同工之妙.

視角4：利用余弦定理

評(píng)注：解法6利用余弦定理將數(shù)量積關(guān)系最終轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，與方法3、4、5在落腳點(diǎn)上一致.

三、問題的變式

變式是指相對(duì)于某種范式，不斷變更問題情境或改變思維角度，使事物的非本質(zhì)屬性時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而事物的本質(zhì)屬性保持不變的變化方式.8題可以從多角度進(jìn)行變式，如下：

評(píng)注：變式1、2立足點(diǎn)是第8題的解答方法.

評(píng)注：變式3是第8題的一個(gè)推廣.從第8題到變式3體現(xiàn)了特殊到一般的研究方法.