等距畫線，圖像分析
——例談含整體絕對值函數(shù)最值問題處理一法

浙江省安吉縣高級中學 (313300)

黃德麗

含絕對值的函數(shù)最值問題在近幾年一些省份高考中已成為一個熱點問題，浙江尤為明顯．粗看起來不外乎兩種類型：函數(shù)內嵌局部絕對值最值問題和函數(shù)的整體絕對值最值問題．但這兩類絕對值的函數(shù)最值問題處理起來，還是有很大差別的．從解決問題的本源方法來看，都要圍繞“去絕對號”做好文章．但對于函數(shù)的整體絕對值最值問題我們也可以根據(jù)“切比雪夫不等式的逼近原理”找到更加簡潔的處理辦法．

1．問題提出

2．多維思考

①若a≤4，則|5-a|+a=5恒成立；

圖1

雖然視角1的解釋簡潔明了，但遇到復雜的函數(shù)類型，比如含參過多則處理起來就不方便了．為了解決更多類型的含絕對值函數(shù)的最值問題，現(xiàn)擇取視角4的解釋進行拓展：從含單參的絕對值函數(shù)最大值問題推廣到含雙參的函數(shù)的最大值的最小值問題．

3．推廣重釋

已知函數(shù)f(x)=|g(x)-a|(a∈R)，其中g(x)是定義在閉區(qū)間[m,n]上的連續(xù)函數(shù)，且g(x)的最大值為g(x)max，g(x)的最小值為g(x)min．若f(x)的最大值為M(a)，求M(a)的最小值．

分析與論證：因為g(x)min-a≤g(x)-a≤

|(g(x)min-a)-(g(x)max-a)|≥|g(x)min-

顯然g(x)max=5，g(x)min=4．

4．教學反思

對于含參絕對值函數(shù)的最大值問題，處理起來基本上有三種途徑：

一是借助分類討論，去掉絕對號，化為分段函數(shù)探討．但它的使用范圍有限，適合解決比較特殊的函數(shù)(即圖像操作性強的函數(shù))，使用起來有很大的局限性.(這是視角2的思想方法)

二是利用絕對值不等式或絕對值三角不等式(即||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|)，結合最大值定義合理放縮，消元求解.(這是視角3的思想方法)

三是利用絕對值的幾何意義(即|a-b|表示數(shù)軸上a,b所對應的點之間的距離)，數(shù)形結合，借助幾何圖形直觀解決．(這是視角1和視角4的思想方法，但視角1解釋更加簡潔)

5．教學價值

上述推廣的結論可以處理很多更加復雜的含雙參的絕對值函數(shù)的最值問題．請看2015年高考浙江理科數(shù)學試題第18題：

已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)，記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值．

(Ⅰ)證明：當|a|≥2時，M(a,b)≥2；

(Ⅱ)當M(a,b)≤2，求|a|+|b|的最大值．

對于(Ⅱ)，則利用絕對值三角不等式考慮，在此不再贅述．

6．解題回味

再看2015年高考浙江理科數(shù)學試題第18題的第(Ⅰ)問，如果換個角度用“等距畫線，圖像分析”，就有不同的收獲與體驗．記g(x)=x2(-1≤x≤1)，則|f(x)|=|g(x)-(-ax-b)|．

圖2

一個好的教學問題能很好地激發(fā)我們研究的興致，并且我們可以從多個角度審視并解決它，我們教學不僅僅為了解題而解題，更需要通過有限的典型范例的學習去領悟那種解無限道題的數(shù)學機智，去培養(yǎng)和幫助我們的學生，讓學生領悟到更多的人生內涵，也能學到更多的智慧．