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    計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)上輾轉(zhuǎn)相除法的實(shí)際應(yīng)用分析

    2019-04-26 01:19:58李彬
    廣東教育·職教版 2019年3期
    關(guān)鍵詞:最大公約數(shù)公倍數(shù)減損

    李彬

    在計(jì)算機(jī)運(yùn)算和編程的過(guò)程中,最終運(yùn)算結(jié)果為正負(fù)數(shù)的現(xiàn)象是非常普遍存在的,而這些最終數(shù)據(jù)的正負(fù)數(shù)會(huì)直接影響到程序員設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)程序的效率問(wèn)題,如果在計(jì)算機(jī)編程的過(guò)程中使用輾轉(zhuǎn)相除法則可以避免這些問(wèn)題的出現(xiàn)。在計(jì)算機(jī)的計(jì)算程序中,輾轉(zhuǎn)相除法是代數(shù)計(jì)算的重要理論,輾轉(zhuǎn)相除法的運(yùn)算特點(diǎn)和計(jì)算機(jī)的運(yùn)行程序有著很大的共通性,在具體的運(yùn)算過(guò)程中可以使用輾轉(zhuǎn)相除法來(lái)求得最大公約數(shù),那么就避免了最終輸出結(jié)果存在正負(fù)整數(shù)的問(wèn)題,程序員就可以在自然數(shù)的范圍之內(nèi)進(jìn)行,這樣的計(jì)算流程可以大大節(jié)省計(jì)算時(shí)間,同時(shí)也提高了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性,有著非常良好的應(yīng)用前景。

    一、輾轉(zhuǎn)相除法概念分析

    輾轉(zhuǎn)相除法,又名euclidean algorithm,是一種求最大公約數(shù)的一種方法。它的具體流程為:用數(shù)列中較大的數(shù)來(lái)除以最小的數(shù),然后用這兩個(gè)數(shù)相除得出的余數(shù)再去除以除數(shù),接著再用這兩個(gè)數(shù)的余數(shù)來(lái)除以前面的第一個(gè)余數(shù),按照這樣的流程反復(fù)相除,直至除到最后余數(shù)為零為止。那么最后一次的這個(gè)除數(shù)就是開(kāi)始計(jì)算時(shí)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

    二、輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損法、窮舉法對(duì)比分析

    通過(guò)上述的概念分析,我們可以知道輾轉(zhuǎn)相除法有著較大的優(yōu)點(diǎn),它的連續(xù)相除能夠使得整個(gè)計(jì)算流程以一種比較系統(tǒng)的方法來(lái)求出兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),而不需要我們?cè)賹?duì)兩個(gè)數(shù)進(jìn)行因式分解。因?yàn)樵诰唧w的計(jì)算和操作過(guò)程中,因數(shù)分解是一個(gè)比較困難的過(guò)程,尤其是數(shù)量比較大的時(shí)候,因數(shù)分解對(duì)于程序員來(lái)說(shuō)更是不小的挑戰(zhàn),即便是現(xiàn)代最先進(jìn)的計(jì)算機(jī)加入,也是對(duì)此非常難以處理的。當(dāng)然,輾轉(zhuǎn)相除法也有著自身的缺點(diǎn),從上文的論述中我們可以清晰地看出,輾轉(zhuǎn)相除法的運(yùn)算是非常繁瑣和復(fù)雜的,長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)算很容易出現(xiàn)差錯(cuò),而且從算法的實(shí)現(xiàn)角度來(lái)看,這種方法對(duì)于運(yùn)行設(shè)備的存儲(chǔ)空間要求是比較大的,其運(yùn)算時(shí)間也是非常長(zhǎng)的,其運(yùn)算速度也不太快。而窮舉法的主要計(jì)算思想就是根據(jù)數(shù)量的主要特征來(lái)確定出大致的范圍,然后對(duì)數(shù)值進(jìn)行一個(gè)一個(gè)的驗(yàn)證,如果某一個(gè)情況是符合題目的條件的,那么就是該題目的唯一解,如果不符合條件,則無(wú)解。其主要的優(yōu)點(diǎn)就在于計(jì)算簡(jiǎn)單,但是其主要缺點(diǎn)是運(yùn)行所需要花費(fèi)的時(shí)間比較長(zhǎng),在利用窮舉法的時(shí)候,我們通常采用的是三種列舉方法,第一是順序列舉,該方法是指在答案的范圍內(nèi)的各種情況是很容易和自然數(shù)進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)的,或者說(shuō)本身就是自然數(shù),那么具有這樣的特征的時(shí)候,我們就可以使用順序列舉;第二是排列列舉,該種方法主要指的是數(shù)據(jù)的形式是一組數(shù)的排列方式,我們可以列舉出所有答案所在范圍內(nèi)的排列,這就是所謂的排列列舉;第三是組合列舉,組合列舉是無(wú)序排列的,也是說(shuō)當(dāng)答案額度數(shù)據(jù)形式為一些元素的組合的時(shí)候,我們通常是要采用組合列舉的。

    更相減損法是出自于我們前人的《九章算術(shù)》中的一種算法,是一種求最大公約數(shù)的算法,它本來(lái)是為數(shù)據(jù)的約分而設(shè)計(jì)的,應(yīng)用是比較廣泛的,隨著計(jì)算機(jī)的興起,更相減損術(shù)作為一種算法也是廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)工程中的。和輾轉(zhuǎn)相除法相比,這兩種方法都是求最大公因數(shù)的方法,在主要的計(jì)算方法上,輾轉(zhuǎn)相除法主要是以除法為主要算法,而更相減損術(shù)主要?jiǎng)t是以減法為算法,但是在計(jì)算的次數(shù)對(duì)比上來(lái)看,輾轉(zhuǎn)相除法的計(jì)算次數(shù)是相對(duì)較少的,但是如果兩個(gè)數(shù)字之間的大小差別很大的時(shí)候,兩者的計(jì)算次數(shù)是比較明顯的。從最終的結(jié)果體現(xiàn)形式來(lái)看,輾轉(zhuǎn)相除法最終的結(jié)果是相除的余數(shù)為0得到的,而更相減損術(shù)主要是和減數(shù)的差而得到的。更相減損法在兩個(gè)數(shù)量之間的差距比較大的時(shí)候可以將時(shí)間復(fù)雜度退化成0(N),而輾轉(zhuǎn)相除法則可以穩(wěn)定在0(logN)。所以,在目前的應(yīng)用中,輾轉(zhuǎn)相除法和計(jì)算機(jī)算法的結(jié)合較為緊密。

    三、輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算最大公約數(shù)原理分析

    輾轉(zhuǎn)相除法有著較大的優(yōu)點(diǎn),它的連續(xù)相除能夠使得整個(gè)計(jì)算流程以一種比較系統(tǒng)的方法來(lái)求出兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),而不需要我們?cè)賹?duì)兩個(gè)數(shù)進(jìn)行因式分解。這樣可以避免因式分解中的盲目性,提供了運(yùn)算的效率。根據(jù)數(shù)學(xué)上最大公約數(shù)的定義,在使用輾轉(zhuǎn)相除法來(lái)求取數(shù)字的最大公約數(shù)的時(shí)候,我們主要是通過(guò)數(shù)字之間的反復(fù)計(jì)算、反復(fù)相除來(lái)求出最大公約數(shù)。具體的計(jì)算過(guò)程可以通過(guò)文字描述如下:對(duì)于題目中已知的兩個(gè)數(shù)量A、B,我們采用A÷B的算法,進(jìn)而求出A÷B的值,在大多數(shù)情況下,A÷B的值都不是一個(gè)整數(shù),還會(huì)有余數(shù)現(xiàn)象的產(chǎn)生,我們將它們相除的余數(shù)用C來(lái)表示,一般而言,最終的計(jì)算結(jié)果可以分為兩種,第一,C=0,那么我們就將此時(shí)的B的值稱之為A、B的最大公約數(shù),第二,C≠0,那么我們就接著用B÷C,這時(shí)同樣有兩種情況,當(dāng)結(jié)果不等于零的時(shí)候我們就接著按照上述的過(guò)程進(jìn)行計(jì)算,直至最終的結(jié)果為零為止,最終得到的結(jié)果就是A、B兩數(shù)的最大公約數(shù)。舉個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō),求整數(shù)31875和6375的最大公約數(shù),按照上述的方法,我們首先拿31875÷6375,得到了結(jié)果為5,說(shuō)明此時(shí)的余數(shù)為0,那么31875和6375的最大公約數(shù)就為6375,而12345和765的最大公約數(shù)計(jì)算就和上述計(jì)算略有不同,首先我們先計(jì)算12345÷765最終的結(jié)果為16余105,這時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)余數(shù)不等于0,那么就需要我們接著進(jìn)行下去,就拿765÷105,最終的結(jié)果為7余30,這時(shí)候的余數(shù)不為0,所以我們接著進(jìn)行上述的計(jì)算,用105÷30得到3余15,其余數(shù)依然不為零,那么我們就接著用30÷15得到了整數(shù)為2,這時(shí)候我們就可以認(rèn)為12345和765的最大公約數(shù)為15.這種循環(huán)往復(fù)的計(jì)算非常適合計(jì)算機(jī)的程序設(shè)計(jì)特點(diǎn),所以我們?cè)谟?jì)算機(jī)的編程中輸入圖1所示的語(yǔ)句,在該式子中,M、N代表兩個(gè)整數(shù),其中R作為余數(shù),我們可以將上述的兩個(gè)例子帶入試算。

    首先將整數(shù)31875輸入到程序框內(nèi),然后在接著的程序框中輸入整數(shù)6375,按下運(yùn)算鍵1之后,我們可以得到的結(jié)果顯示為:?/31875/?/6375/6375-Disp-。在第二個(gè)例子的試算中,我們將整數(shù)12345輸入到程序框中,在接著的程序框中輸入765,同樣按下運(yùn)算鍵1,最終得到的結(jié)果顯示為:?/12345/?/765/15/-Disp-。

    四、輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算最小公倍數(shù)原理分析

    利用計(jì)算機(jī)的程序計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)其原理是和求最大公倍數(shù)有著相似的特點(diǎn)的,是在求最大公約數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,在求A、B兩數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí),首先要計(jì)算出A×B的值,然后再計(jì)算出A×B的值除以A與B的最大公約數(shù)的值,然后得到的商C就是A、B的最小公倍數(shù)。

    舉個(gè)例子來(lái)說(shuō),求12345和765的最小公倍數(shù),那么按照上述的計(jì)算流程就是先用12345×765,計(jì)算出的結(jié)果為9443925,然后根據(jù)上文的計(jì)算結(jié)果,我們知道12345和765的最大公約數(shù)為15,那么我們就拿9443925÷15得到結(jié)果629595,那么12345和765的最小公倍數(shù)就是629595,具體的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)編程語(yǔ)言見(jiàn)圖2所示。在下圖中,A、B是代表兩個(gè)整數(shù),我們將12345輸入到對(duì)話框中,接著輸入765,按下運(yùn)算鍵1,得到了最終的結(jié)果為629595,計(jì)算機(jī)的編程顯示為:?/12345/?/765/629595/-Disp-。

    五、二元一次不定方程整數(shù)解的求解過(guò)程分析

    從二元一次不定方程整數(shù)解的求解原理來(lái)看,其主要的核心是判斷二元一次不定方程的整數(shù)解是否存在的問(wèn)題,也是說(shuō)通過(guò)判定兩個(gè)系數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的基礎(chǔ)上綜合進(jìn)行的。例如,我們假設(shè)二元一次方程為ax+by=C,其中abc均為整數(shù),那么在計(jì)算的過(guò)程中就是尋找該方程是否具有整數(shù)解的過(guò)程。在求解的過(guò)程中,我們首先要計(jì)算出a和b的最大公約數(shù),該過(guò)程可以利用輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行求解,求出的最大公約數(shù)我們將其命名為d,然后使用c÷d,如果c÷d的余數(shù)為0,那么就說(shuō)明二元一次不定方程ax+by=C是存在著整數(shù)解的,而且整數(shù)解的數(shù)量是無(wú)窮個(gè),如果c÷d的值不為零,那么就說(shuō)明ax+by=C二元一次不定方程不存在整數(shù)解,也就是說(shuō)該等式的整數(shù)解為零。舉個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō),我們來(lái)判斷一下28x+12y=200是否存在著整數(shù)解。我們可以參照上述的方法來(lái)進(jìn)行運(yùn)算。首先利用我們所述的輾轉(zhuǎn)相除法來(lái)計(jì)算出28和12的最大公約數(shù),也就是用28除以12,得到結(jié)果為2余4,此時(shí)的結(jié)果不為零,那么我們就接著用12除以4等于3,此時(shí)得到了整除,那么我們可以認(rèn)為4為28和12的最大公約數(shù),然后計(jì)算出200÷4=50,也就是說(shuō)此時(shí)的余數(shù)為0,也就是說(shuō)該等式28x+12y=200是存在著整數(shù)解的,而且整數(shù)解有無(wú)數(shù)個(gè)。再舉個(gè)例子來(lái)說(shuō),我們要求2x+4y=1是否具有整數(shù)解。首先,我們采用輾轉(zhuǎn)相除法來(lái)計(jì)算出2和4的最大公約數(shù),通過(guò)計(jì)算4÷2我們知道其結(jié)果為2,是整除的,那么就說(shuō)明,4和2的最大公約數(shù)為2,然后再計(jì)算1÷2的值,我們發(fā)現(xiàn)并不能整除,那么就說(shuō)明該等式2x+4y=1是不存在整數(shù)解的,在具體的應(yīng)用中我們主要是利用N-S的結(jié)構(gòu)化流程圖來(lái)描述其算法,詳細(xì)見(jiàn)圖3所示。

    六、結(jié)語(yǔ)

    計(jì)算機(jī)的發(fā)明和使用為人們的計(jì)算提供了更多的便利,在計(jì)算機(jī)的計(jì)算程序中,輾轉(zhuǎn)相除法是代數(shù)計(jì)算的重要理論,將其編制在計(jì)算機(jī)程序中能夠?qū)λ惴ㄟM(jìn)行較大程度的改良,換句話說(shuō),輾轉(zhuǎn)相除法的運(yùn)算特點(diǎn)和計(jì)算機(jī)的運(yùn)行程序有著很大的共通性,因此,輾轉(zhuǎn)相除法應(yīng)用到計(jì)算機(jī)程序之中能夠更好地與計(jì)算機(jī)的性能結(jié)合,能夠更加快速和便捷地求出一些較為復(fù)雜算式中的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù),同時(shí)還能夠解決計(jì)算機(jī)算法中的一些疑難問(wèn)題,有著非常好的應(yīng)用效果。通過(guò)上述的論述和研究,我們也可以清晰地看出輾轉(zhuǎn)相除法在解決一些計(jì)算機(jī)中的復(fù)雜問(wèn)題具有比較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì),尤其是在處理和解決整數(shù)之間求取最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)以及二元一次方程的整數(shù)解等方面的問(wèn)題有著較好的準(zhǔn)確性。本文的研究也是立足于理論,比較和分析了輾轉(zhuǎn)相除法的優(yōu)勢(shì)與特點(diǎn),從當(dāng)前的實(shí)際應(yīng)用情況出發(fā),對(duì)于程序設(shè)計(jì)中的輾轉(zhuǎn)相除法的相關(guān)適用情況和算法語(yǔ)句進(jìn)行了深入分析,明確了輾轉(zhuǎn)相除法的基本原理以及使用范圍,對(duì)于輾轉(zhuǎn)相除法中的程序設(shè)計(jì)問(wèn)題也進(jìn)行了探討,并且從程序運(yùn)行的角度來(lái)解決數(shù)據(jù)計(jì)算的問(wèn)題,這樣可以解決實(shí)際操作過(guò)程中的一些問(wèn)題,大大的提高的運(yùn)算的效率和質(zhì)量,提高運(yùn)算的精度,為計(jì)算機(jī)的運(yùn)算提供了新的思路。

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    責(zé)任編輯 魏家堅(jiān)

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