近地圓軌道真的內(nèi)切于橢圓軌道近地點(diǎn)嗎？

余歡 李帖

摘 要：本文運(yùn)用橢圓參數(shù)方程，運(yùn)動(dòng)的合成和分解，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的方式，探討了近地圓軌道和橢圓軌道近地點(diǎn)的相切問題，以較簡(jiǎn)單的方式解開了困擾學(xué)生和教師已久的困惑。

關(guān)鍵詞：近地圓軌道；橢圓軌道；相切

一、問題說明

在進(jìn)行萬有引力的教學(xué)時(shí)，總會(huì)有學(xué)生很疑惑地來問我：老師，近地圓軌道真的內(nèi)切于橢圓軌道的近地點(diǎn)嗎？可以通過研究，找到了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)結(jié)合運(yùn)動(dòng)的合成與分解，再搭配曲率半徑的概念予以講解論證的思路。

二、知識(shí)準(zhǔn)備

1.橢圓的方程

a.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

+ （長(zhǎng)軸位于x軸）.其中（x，y）為橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，a為橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，b為橢圓的半短軸長(zhǎng)，橢圓的半焦距為c，且c2=a2-b2.

b.橢圓的參數(shù)方程

x=asinθ，y=bcosθ，聯(lián)立，消去θ可得： + =1。

由此聯(lián)想到若令θ=ωt，則x=asinωt，y=bsinωt，則可將軌跡為橢圓的運(yùn)動(dòng)視做兩個(gè)圓頻率相同且互相垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。

2.曲率半徑

曲線的曲率：就是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率。通過微分來定義就是：k=lim ，Δs趨向于0的時(shí)候，k值就是曲率。曲率表明曲線偏離直線的程度，或曲線在某一點(diǎn)的彎曲程度的數(shù)值。曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大。

3.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間關(guān)系

運(yùn)用數(shù)學(xué)求導(dǎo)的工具求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間關(guān)系。

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間關(guān)系為：x=Asin（ωt+？漬）

對(duì)x關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，得簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間關(guān)系：V=Aωcos（ωt+？漬）

由此可知，做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過平衡位置處的速度大小為：V=Aω。

小結(jié)：由以上的論述可知，橢圓運(yùn)動(dòng)可以視作互相垂直且圓頻率相同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，如圖所示，則橢圓近地點(diǎn)即A點(diǎn)的速度為：VA=bω。我們將在此認(rèn)識(shí)上繼續(xù)討論。

三、近地軌道與橢圓軌道

1.軌道在近地點(diǎn)的相切關(guān)系

圓軌道的半徑為：R=a-b，近地點(diǎn)處橢圓軌道A點(diǎn)，設(shè)其向心加速度為anA，曲率半徑為ρA，則：anA= ，anA=ω2a且VA=bω，聯(lián)立以上三式，得：ρA= 。

欲知近地圓軌道與近地橢圓軌道在近地點(diǎn)的相切關(guān)系，就需要比較R與ρA的大小關(guān)系，用作差法論證：R-ρA=（a-b）- = <0

所以：R<ρA，即近地圓軌道半徑小于近地橢圓軌道在近地點(diǎn)的曲率半徑，表明兩者的在近地點(diǎn)的空間關(guān)系為：近地圓軌道內(nèi)切于近地橢圓軌道。

2.向心力及向心加速度的關(guān)系

對(duì)于同一衛(wèi)星而言，無論其繞行軌道是近地橢圓軌道還是圓軌道，當(dāng)其通過近點(diǎn)時(shí)都是萬有引力提供其運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，由F萬=G 及a= 可知，向心力及向心加速度完全相同。

3.速度關(guān)系

a.從發(fā)射速度的角度定性角度思考釋疑：想要使衛(wèi)星能夠到達(dá)更高的軌道上運(yùn)行，就需要更大的發(fā)射速度。所以衛(wèi)星在橢圓軌道上A點(diǎn)的速度就大于近地圓軌道上A點(diǎn)的速度。

b.從圓周運(yùn)動(dòng)線速度表達(dá)式的定量角度思考釋疑。

對(duì)于近地圓軌道上的A點(diǎn)，由萬有引力提供向心力的線速度表達(dá)式，有：G =G =M2 ，所以：VA=

對(duì)于橢圓軌道上的近地點(diǎn)A，同理可得：

G =G =M2 ，代入ρA= ，整理得：V′A= =

用作商法比較VA與V′A的大小關(guān)系： = =

因?yàn)椋篴-c

即：衛(wèi)星在近地圓軌道上A點(diǎn)的運(yùn)行速度小于其在近地橢圓軌道處A點(diǎn)的運(yùn)行速度。

四、總結(jié)

定性、定量、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證是教師在授課過程中常用的講解方式，是已被實(shí)踐證明的有效的講解方式。但考慮到學(xué)生的思維方式存在差異，必要時(shí)教師也需要根據(jù)學(xué)生的情況予以調(diào)整，給以另外一個(gè)角度的思維補(bǔ)充，滿足學(xué)生的求知欲，也讓學(xué)生對(duì)知識(shí)產(chǎn)生發(fā)自內(nèi)心的認(rèn)可和切實(shí)的理解。

編輯 原琳娜