運(yùn)用數(shù)學(xué)思想 提高解題能力

吳建芬

[摘? ?要]在《數(shù)列》教學(xué)中滲透方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題，能提高學(xué)生的解題準(zhǔn)確率、效率，能提升學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思想; 解題能力;高中數(shù)學(xué)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）08-0016-02

《數(shù)列》是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，這不僅體現(xiàn)在高考所占的分值比例中，更體現(xiàn)在實際運(yùn)用中.為此，教師要重視《數(shù)列》教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生挖掘內(nèi)涵思想，以此探究解決問題的方法.

一、方程思想——尋找關(guān)系，求解未知量

在高中數(shù)學(xué)中，方程與數(shù)列關(guān)系十分密切，一般情況下數(shù)量問題都可借助方程解決.要達(dá)到這一目標(biāo)，就需要學(xué)生對方程概念有本質(zhì)的理解，能夠深入分析，并靈活轉(zhuǎn)換.

方程思想是動中求靜，在數(shù)列題目中的運(yùn)用很常見.在借助方程組求解未知量的過程中，要求學(xué)生能靈活轉(zhuǎn)換[a1、n、q、an、d、Sn]幾個量，并且在實際求解過程中，要充分運(yùn)用方程性質(zhì)求解，以此求出未知量，促進(jìn)問題解決.

例如，已知等差數(shù)列[an]與等比數(shù)列[bn]的前[n]項和分別是[Sn]和[Tn]，并且滿足[a2=b3=12]，[a5=b4=18].（1）求數(shù)列[an]與[bn]的通項公式;（2）求解[T5]的值;（3）如果[Sn=190]，求[n]的值.

對于這一問題，學(xué)生乍一看會覺得很難.其實只要稍稍啟發(fā)，引導(dǎo)其尋找等差、等比數(shù)列之間的對應(yīng)關(guān)系，就可借助方程解決.

二、函數(shù)思想——靈活轉(zhuǎn)化，分析解析式

簡單來說，“函數(shù)思想”是解決“數(shù)學(xué)型問題”的一種思維策略，將其運(yùn)用到數(shù)列教學(xué)中，限定了范圍，即“定義域為正整數(shù)的函數(shù)”，由此便將“無限”變?yōu)椤坝邢蕖?對此，可結(jié)合具體問題截取一段函數(shù)展開研究，以此促進(jìn)問題解決.

將數(shù)列置于函數(shù)層面上研究是解題的重要方法，畫圖像大多不再是直線，而是一系列離散的點，這就是通項公式相對應(yīng)的函數(shù)解析式.對此，要引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)換問題以及解決問題，以此厘清數(shù)列中的關(guān)系.其中，等差數(shù)列對應(yīng)的是一次函數(shù)，等比數(shù)列對應(yīng)的是指數(shù)函數(shù)，等差數(shù)列前[n]項和是關(guān)于[n]的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.由此，便能揭開數(shù)列神秘的“面紗”，加強(qiáng)函數(shù)與數(shù)列的一一對應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生明確探究方向，減少思考與解題的難度.在教學(xué)《等差數(shù)列通項公式》中，強(qiáng)調(diào)等差數(shù)列[an=2n-1]是關(guān)于[n]的一次式，由圖1可看出這個數(shù)列的點都均勻分布在直線[y=2x-1]上，這表明等差數(shù)列是特殊的一次函數(shù).在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生由于認(rèn)知上的差異，對于這一轉(zhuǎn)化不能馬上理解，對此教師就要耐心引導(dǎo)，緊扣要點促進(jìn)理解，以此激發(fā)學(xué)生，讓其在數(shù)學(xué)課堂上獲得相應(yīng)發(fā)展，實現(xiàn)能力提升.

在教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像.學(xué)生通過觀察圖像，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)區(qū)別在于：數(shù)列是離散的，函數(shù)是連續(xù)的.由此就可遷移思考，讓學(xué)生深刻意識到數(shù)列具有函數(shù)的一般性質(zhì)，在解題中可充分運(yùn)用，以此促進(jìn)問題解決，促進(jìn)自身思維能力提升.

三、數(shù)形結(jié)合思想——直觀思考，畫圖促分析

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中的兩個最古老、最基本的研究對象，在一定條件下可相互轉(zhuǎn)化，運(yùn)用十分廣泛.將這一思想運(yùn)用到數(shù)列問題中，就可借助幾何圖形代替代數(shù)處理，以此直觀反映數(shù)量關(guān)系，在數(shù)字與圖形的結(jié)合中尋找解題思路，以此簡化過程.

例如，設(shè)[an=-n2+10n+11]，那么數(shù)列[an]從首項到哪一項的和最大？

這一問題，在講解過程中，可先讓學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流，以此促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)散.在匯報中，學(xué)生會談及數(shù)形結(jié)合思想，教師將其作為一種方法拓展講解.方法明確之后，不要急于求解，先要帶領(lǐng)學(xué)生梳理，讓其先畫圖后分析.根據(jù)數(shù)列[an]是二次函數(shù)[f（x）=-x2+10x+11]上的離散點，可發(fā)現(xiàn)數(shù)列前10項都是整數(shù)，第11項是0，之后一直是負(fù)數(shù)，并且單調(diào)遞減.通過這樣的分析，學(xué)生不難看出前10項或前11項的和最大.在這一環(huán)節(jié)中，少部分學(xué)生可能存在理解困難，這時就可邀請學(xué)生板演具化過程，以此促進(jìn)理解，讓學(xué)生在互助學(xué)習(xí)中加深對課堂內(nèi)容的理解.如果條件允許或者學(xué)生需要，可在探究環(huán)節(jié)開展交流，或者實施“一對一幫扶”，讓學(xué)生在互助交流中加深對內(nèi)容的理解，以此體會數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢.長此以往，不僅能激發(fā)學(xué)生的探究興趣，還能最大限度地驅(qū)動學(xué)生，讓其在良好氛圍中積極交流，主動思考，以此落實教學(xué)目標(biāo)，讓課堂教學(xué)達(dá)到預(yù)期效果.

四、分類討論思想——限定范圍，確保不重復(fù)

有關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論，都有其對應(yīng)的條件.每一種數(shù)學(xué)方法在使用時也有范圍.因此，學(xué)生在解題中，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)有些問題的結(jié)論不是唯一確定的.對此，就不能用統(tǒng)一的形式研究，而要嘗試在對應(yīng)的范圍下分析，以此確保標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，結(jié)論不重復(fù)、不遺漏.

將這一思想運(yùn)用到數(shù)列問題中，就可將大問題轉(zhuǎn)化為小問題解決，根據(jù)不同情況分類，以此逐個解決.以等差數(shù)列為例，就可根據(jù)公差[d]的正負(fù)情況分成遞增數(shù)列、常數(shù)列以及遞減數(shù)列，同理等比數(shù)列也可這樣分類：

（1）若[a1>0，q>1]或者[a1<0，0

（2）若[a1>0，01]，那么數(shù)列為遞減數(shù)列;

（3）若[q=1]，那么數(shù)列為常數(shù)列;

（4）若[q<1]，那么數(shù)列為擺動數(shù)列.

問題呈現(xiàn)之后，要給學(xué)生提供充足的探究空間，讓其在獨(dú)立思考中吸收、消化，之后圍繞分類在小組里討論.如果學(xué)生出現(xiàn)分歧，要及時引導(dǎo)，在關(guān)鍵處點撥，以此激發(fā)學(xué)生，讓其沿著正確思路分析，逐步得出結(jié)論.需要注意的是，這一分類對學(xué)生思維要求較高，學(xué)困生可能會出現(xiàn)不理解的情況，對此就要耐心引導(dǎo)，循序漸進(jìn)，以此促進(jìn)理解.在實際教學(xué)中，在這些關(guān)鍵環(huán)節(jié)，如果單一講解無法促進(jìn)理解，就要嘗試鼓勵學(xué)生自行組織語言概括，以此相互啟發(fā)，就能讓教學(xué)達(dá)到預(yù)期效果.這樣一來，學(xué)生就能根據(jù)不同情況，靈活分析問題情境，結(jié)合問題展開思考.這樣處理，不僅能培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，還能提升學(xué)生思維的邏輯性，促進(jìn)問題有效解決，提高課堂教學(xué)效率.

在高中數(shù)學(xué)體系中，函數(shù)的重要性不言而喻，既是重點也是難點，與其相關(guān)的數(shù)學(xué)思想很多，教師在教學(xué)過程中都要積極滲透，讓學(xué)生掌握相應(yīng)技巧與方法，以此提高解題效率.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）