基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換參數(shù)求解方法研究

葛露露， 顧和和

(1.安徽水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 231603; 2.中國礦業(yè)大學(xué)， 江蘇 徐州 221116)

不動(dòng)產(chǎn)登記需要大量的不動(dòng)產(chǎn)數(shù)據(jù),這些數(shù)據(jù)由各個(gè)不動(dòng)產(chǎn)部門提供,它們有自己的數(shù)據(jù)采集標(biāo)準(zhǔn)。通常采用最小二乘法[1]求解不同基準(zhǔn)之間的轉(zhuǎn)換模型參數(shù)。但是,最小二乘法具有局限性,因此,考慮采用穩(wěn)健估計(jì)的方法求解轉(zhuǎn)換模型的參數(shù),并用實(shí)例驗(yàn)證。

1 參數(shù)求解方法

1.1 最小二乘法(LS)[2]

該法是測繪行業(yè)最為常用的一種模型方法,其中高斯-馬爾科夫(G-M)模型最經(jīng)典。在系數(shù)矩陣B中不含有誤差的前提下利用G-M模型求解,該模型沒有顧及系數(shù)陣中含有的誤差,僅考慮L中的偶然誤差,V為殘差向量,最小二乘原則:

VTPV=min

(1)

(r為多余觀測數(shù))

(2)

(3)

(4)

G-M模型簡單容易理解和掌握,但G-M模型求解參數(shù)沒有顧及可能含有粗差的情況, 只考慮了L中有偶然誤差,一旦含有粗差,求解的參數(shù)偏差較大,無抗差性[3]。

1.2 降權(quán)法

(5)

(6)

對其進(jìn)行Fi檢驗(yàn):

(7)

Fi服從F分布,其顯著水平為α,對應(yīng)的自由度為r1,r2,即:

Fi～F1-α(r1,r2)

(8)

4參數(shù)模型的自由度為:r1=2n-4,r2=2(n-1)-4,n為參加計(jì)算的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

由于出現(xiàn)可靠數(shù)據(jù)低于3個(gè)時(shí)不能進(jìn)行方差比值法檢驗(yàn),所以對特別明顯的粗差才直接剔除,不是非常明顯的粗差則降權(quán)處理,用不同的2個(gè)顯著水平不同作為區(qū)分不同程度同的粗差,令α1<α2,α1用來區(qū)分特別明顯的粗差,α2是用來能夠發(fā)現(xiàn)粗差的水平,位于α1與α2之間的數(shù)據(jù)可能是粗差:

(9)

其中，(v)代表的是迭代的次數(shù),通過之前大量的實(shí)驗(yàn)得出當(dāng)α1=0.05,α2=0.35[5]時(shí)效果比較好。

1.3 降權(quán)最小二乘法

2 實(shí) 例

使用LS法和降權(quán)LS法,分別求解4參數(shù)模型參數(shù),并對求解精度進(jìn)行比較。表1是2套坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)值, 1-8號點(diǎn)粗差未知的基準(zhǔn)點(diǎn),9、10號是不含粗差的檢核點(diǎn)。

表1 2套坐標(biāo)系的坐標(biāo)

構(gòu)建模型:

V=BX-L

求解縮放尺度κ、旋轉(zhuǎn)參數(shù)α、平移參數(shù)a、平移參數(shù)b及單位權(quán)方差,結(jié)果如表2所列。

表2 求解的參數(shù)及單位權(quán)

由表2可見,LS法的單位權(quán)方差的精度要低于降權(quán)LS法的單位權(quán)方差精度。利用求出的兩組參數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,將原坐標(biāo)系中的重合點(diǎn)(包括轉(zhuǎn)換基準(zhǔn)點(diǎn)和檢核點(diǎn))利用求出的轉(zhuǎn)換參數(shù)求解,用式(10)將目標(biāo)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)與求解的坐標(biāo)進(jìn)行相減,獲得坐標(biāo)殘差值,再利用式(11)計(jì)算轉(zhuǎn)換點(diǎn)和檢核點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差,如表3所列。

Δxi=Xi-xi,Δyi=Yi-yi

(10)

(11)

LS法受到粗差的影響,轉(zhuǎn)換點(diǎn)位誤差在0.7m-0.8m,降權(quán)LS法求解的點(diǎn)位精度在0.01m-0.03m。

表3 各點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差

據(jù)轉(zhuǎn)換基準(zhǔn)點(diǎn)和檢核點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差,計(jì)算內(nèi)符合精度、外符合精度。假設(shè)有n1個(gè)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換點(diǎn)(如果剔除點(diǎn)則要把剔除的點(diǎn)減掉),n2個(gè)檢核點(diǎn),計(jì)算內(nèi)、外符合精度公式如下:

(12)

(13)

LS法求解的內(nèi)、外符合精度為:55cm、 73cm,降權(quán)LS法求解的內(nèi)、外符合精度為:1.2cm、2.2cm,其精度較LS法提高很多。

3 結(jié)束語

本文對求解坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解方法進(jìn)行了分析,并以4參數(shù)模型為例進(jìn)行了演示,通過對4種不同參數(shù)求解方法的精度比較,可以發(fā)現(xiàn)如果數(shù)據(jù)中含有粗差LS法、TLS法不能得到可靠的參數(shù)解,但是采用降權(quán)方法可以得到較為可靠的參數(shù)解。本文僅以4參數(shù)模型為例,有可能存在一定的局限性,參數(shù)的求解精度還和選擇的模型、點(diǎn)的分布均勻情況等相關(guān)。