要不要“數(shù)方格”

張蓮芝

[摘 要]在計(jì)算平行四邊形面積的教學(xué)中，雖然關(guān)于“要不要數(shù)方格”這一中心問(wèn)題，眾說(shuō)紛紜，但不可否認(rèn)，“數(shù)方格”方法有利于揭示面積概念、培養(yǎng)幾何直觀和經(jīng)驗(yàn)積累。

[關(guān)鍵詞]數(shù)方格；平行四邊形；面積計(jì)算

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2019）11-0041-01

在計(jì)算平行四邊形面積的教學(xué)中，關(guān)于“要不要數(shù)方格”這一問(wèn)題主要有三大派別：

其一是“不要數(shù)方格”。理由有三：一是數(shù)方格求面積很煩瑣，而且生活中并不適用；二是，教材中提到的“將半格按照一格近似取值”令人頗為費(fèi)解；三是，從思維層次來(lái)講，數(shù)方格就是數(shù)數(shù)，方法過(guò)于稚拙。

其二是“要數(shù)方格”。理由主要有二：一是多版本教材都構(gòu)設(shè)了這一內(nèi)容，存在即合理，自有其用意。二是，“數(shù)方格”本身就是一種求面積的原始方法，這種方法可以深刻地詮釋面積的概念。

其三是“可數(shù)可不數(shù)”。如果學(xué)生提及，就深入講一下，否則就作罷。

筆者無(wú)意從中分出是非高下，只是覺(jué)得有必要在以下方面深入辨析一下。

一、重現(xiàn)數(shù)方格的價(jià)值

1.“數(shù)方格”方法利于揭示面積概念

方格紙是度量面積的直觀模型。用單位面積平鋪于圖形上，可以根據(jù)方格個(gè)數(shù)直觀判定面積大小。課堂反饋顯示，學(xué)生在求圖形面積時(shí)大多是機(jī)械套用面積公式來(lái)計(jì)算面積大小的，對(duì)面積概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不清。以長(zhǎng)方形面積為例，開(kāi)始是通過(guò)研究長(zhǎng)方形里包含多少個(gè)小正方形來(lái)推算其面積公式的，但歸納形成“長(zhǎng)乘以寬”的簡(jiǎn)易公式后，初始算法就被徹底摒棄，“面積大小恰好就是含有單位方塊的個(gè)數(shù)”這種原理性認(rèn)知逐漸淡化。因此，在學(xué)習(xí)平行四邊形時(shí)，“數(shù)方格”方法有必要重提。

2.“數(shù)方格”有益于培養(yǎng)幾何直觀

數(shù)方格不但能直接對(duì)比出兩個(gè)圖形的大小，還能滲透計(jì)量面積的重要性?？稍诜礁窦埳媳容^兩個(gè)四邊形的面積，其中一個(gè)為長(zhǎng)方形，另一個(gè)為平行四邊形，誘導(dǎo)學(xué)生尋找數(shù)方格以外的方法。學(xué)生會(huì)探知割補(bǔ)平行四邊形后可以得到等面積的長(zhǎng)方形，可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)拼接的部位不唯一。

3.“數(shù)方格”有益于經(jīng)驗(yàn)積累

轉(zhuǎn)化法推導(dǎo)面積公式是本課的教學(xué)重點(diǎn)。推導(dǎo)中的某些經(jīng)驗(yàn)做法可為以后推導(dǎo)其他面積公式提供借鑒。具體操作經(jīng)驗(yàn)有：一要設(shè)法將原圖變形為長(zhǎng)方形；二是割補(bǔ)拼裝后面積大小不能改變；三要依據(jù)前后圖的相同元素來(lái)尋求等量關(guān)系。這些經(jīng)驗(yàn)不是強(qiáng)行植入，而是讓學(xué)生心領(lǐng)神會(huì)?！皵?shù)方格”增強(qiáng)了圖形轉(zhuǎn)化和變形的視覺(jué)效果，清晰顯現(xiàn)了圖形前后變化的軌跡。

二、觸及知識(shí)起點(diǎn)，喚起休眠經(jīng)驗(yàn)

“數(shù)方格”的價(jià)值不容小覷，在教學(xué)中有如下幾點(diǎn)做法值得效仿。

先進(jìn)行前測(cè)。題目：求圖1的面積，并概述解法。

前測(cè)結(jié)果表明，大部分學(xué)生選擇鄰邊相乘，這說(shuō)明學(xué)生受到了長(zhǎng)方形面積求法的負(fù)遷移；數(shù)方格的學(xué)生人數(shù)為零，也許學(xué)生在潛意識(shí)里已將這種笨拙的方法屏蔽掉了。

針對(duì)前測(cè)結(jié)果，可對(duì)教學(xué)做如下改進(jìn)：

讓學(xué)生比較圖2中兩圖面積的大小，因?yàn)椴⑽锤嬷緮?shù)據(jù)，所以學(xué)生只得采用數(shù)方格的笨方法來(lái)比較。學(xué)生通過(guò)切分方格，發(fā)現(xiàn)第二個(gè)圖被切分的方格數(shù)稍多，于是推知第二幅圖面積略大。

三、制造認(rèn)知沖突，鞏固轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生非常熟悉長(zhǎng)方形的面積公式，如果能夠?qū)⑵叫兴倪呅无D(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，其面積問(wèn)題就可迎刃而解。學(xué)生借助方格紙，從一個(gè)個(gè)數(shù)升級(jí)到巧妙地?cái)?shù)，在此過(guò)程中，學(xué)生初步認(rèn)同了平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形。教師再引導(dǎo)學(xué)生思考“撤去方格紙又當(dāng)如何轉(zhuǎn)化”的問(wèn)題，組織學(xué)生動(dòng)手操作，再次感受無(wú)格轉(zhuǎn)化，總結(jié)出“沿著高線裁切，一分為二，就能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化”。

“平行四邊形的面積計(jì)算”一課的重點(diǎn)在于，指點(diǎn)學(xué)生經(jīng)過(guò)操作、思考發(fā)現(xiàn)平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的竅門(mén)，從而推理出面積公式?！皵?shù)方格”的作用相當(dāng)于課前的引言，目的是建立轉(zhuǎn)化的初等模型。在公式誕生后，數(shù)方格仍然能發(fā)揮余熱，進(jìn)行溫故練習(xí)可以豐盈轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，加深轉(zhuǎn)化印跡。

在整理研究資料和反思后，筆者悟出教學(xué)要懂得取舍的道理，有時(shí)并不是塞給學(xué)生的越多越好，果斷舍棄一些看似重要的花架子，保留一些看似無(wú)用的枝葉——如“數(shù)方格”這樣的初始方法，會(huì)收到事半功倍的效果。

（責(zé)編 羅 艷）