對(duì)“規(guī)律”失靈的思考

張繼攀

[摘 要]學(xué)生在運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”失靈了，無(wú)法解決問(wèn)題。究其原因，并非是學(xué)生的學(xué)習(xí)思維出現(xiàn)了障礙，而是教師教學(xué)時(shí)出現(xiàn)了“誤導(dǎo)”，讓學(xué)生找不到思維出口。促使學(xué)生明白規(guī)律的運(yùn)用原則和運(yùn)用技巧，是數(shù)學(xué)教學(xué)最需要解決的問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞]規(guī)律；失靈；思考；小學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2019）11-0032-02

【源 起】

蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)P85思考題：

1.計(jì)算下面各題，并找出得數(shù)的規(guī)律。

[12]+[14]+[18]；[12]+[14]+[18]+[116]；[12]+[14]+[18]+[116]+[132]。

2.應(yīng)用上面的規(guī)律，直接寫出下面算式的得數(shù)。

[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+[1128]=（ ）。

五年級(jí)組的數(shù)學(xué)教師講解這道題后，在一次綜合能力測(cè)試中設(shè)計(jì)了一道題目“[14]+[18]+[116]+[132]+[164]=？”，學(xué)生答題的正確率為9%，做錯(cuò)的學(xué)生中采用“1-[164]=[6364]”這一方法的學(xué)生占86%。這個(gè)結(jié)果讓很多教師無(wú)語(yǔ)。

學(xué)生是按照探究思考題所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行解答的。為什么還會(huì)出錯(cuò)呢？規(guī)律為什么失靈了呢？我們不妨回放一下教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)：教學(xué)此思考題時(shí)，很多教師一般是先讓學(xué)生進(jìn)行通分后計(jì)算出結(jié)果，再觀察結(jié)果與加數(shù)之間的關(guān)系，從而得出規(guī)律。學(xué)生似乎表面上經(jīng)歷了探究規(guī)律的全過(guò)程，實(shí)質(zhì)上，這種探究和發(fā)現(xiàn)都是源自于數(shù)的外部特征的比較，或者說(shuō)，只是基于幾個(gè)特例的一種不完全歸納，學(xué)生并沒(méi)有通過(guò)深入思考來(lái)體會(huì)規(guī)律存在的合理性和必然性。由此，學(xué)生面對(duì)形式相似、實(shí)質(zhì)變化的問(wèn)題情境時(shí)，機(jī)械應(yīng)用規(guī)律也就是意料之中的事情了?！耙?guī)律”失靈的背后折射出教學(xué)的低效。

【教學(xué)改進(jìn)】

師（出示“[12]+[14]+[18]”）：這些加數(shù)有什么特點(diǎn)？

生1：分?jǐn)?shù)的分子都是1。

生2：分母依次乘2。

生3：后一個(gè)加數(shù)的分母都是前一個(gè)加數(shù)的2倍。

師：能根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律接著往下寫幾個(gè)加數(shù)嗎？

（學(xué)生寫出“[12]+[14]+[18]+[116]”“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]”“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]”“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+[1128]”等）

師：加數(shù)是有規(guī)律的，和也有規(guī)律嗎？現(xiàn)以“[12]+[14]+[18]+[116]”為例進(jìn)行研究。

生4：[12]+[14]+[18]+[116]=[34]+[18]+[116]=[68]+[18]+[116]=[78]+[116]=[1416]+[116]=[1516]。

生5：[12]+[14]+[18]+[116]=[816]+[416]+[216]+[116]=[1516]。

師：這兩個(gè)同學(xué)都是用通分的方法計(jì)算的。（出示右圖）借助正方形，你能看出結(jié)果嗎？

生6：我從正方形上看出陰影部分的面積是[12]+[14]+[18]+[116]，也可從單位“1”中減去空白部分[116]，即1-[116]，所以[12]+[14]+[18]+[116]=1-[116] =[1516]。

師：借助圖形將復(fù)雜的算式轉(zhuǎn)化為一道簡(jiǎn)單的算式。你的發(fā)現(xiàn)很了不起。

生7：兩個(gè)[116]是一個(gè)[18]，兩個(gè)[18]是一個(gè)[14]……如果在算式后面再添一個(gè)[116]，正好等于1。因此，這道算式的結(jié)果就是1-[116]=[1516]。

師：能根據(jù)算式中的規(guī)律進(jìn)行推理，把復(fù)雜的算式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的算式，真聰明！

師：照樣子，大家能快速算出其余算式的結(jié)果嗎？

生8：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]=[3132]。

生9：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]=[6364]。

生10：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+[1128]=[127128]。

……

師：你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

師（總結(jié)）：幾個(gè)幾分之一相加，后一個(gè)加數(shù)的分母都是前一個(gè)加數(shù)分母的2倍，這個(gè)算式的和等于1減去最小一個(gè)分?jǐn)?shù)的差。

師（出示“[14]+[18]+[116]+[132]+[164]”）：這道算式的結(jié)果是[6364]，你們同意嗎？

生11：同意。這道算式中的加數(shù)的分子都是1，后一個(gè)加數(shù)的分母都是前一個(gè)加數(shù)分母的2倍，用1減去[164]，就等于[6364]。

生13：我不同意。剛才幾道算式是從[12]加起，這里是從[14]加起的。

師：你觀察得真仔細(xì)。這道題的結(jié)果是多少呢？

生13：我是這樣想的，如果再添一個(gè)[164]，兩個(gè)[164]是一個(gè)[132]，兩個(gè)[132]是一個(gè)[116]……最后兩個(gè)[14]是一個(gè)[12]。因此，這道算式的結(jié)果就是[12 ]- [164]=[3164]。

師：對(duì)于剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你們還有什么要補(bǔ)充的？

……

【思 考】

1.為什么要教學(xué)“找規(guī)律”？

首先，探索規(guī)律是培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的有效渠道。上述教學(xué)中，學(xué)生先嘗試探究規(guī)律，進(jìn)而舉一反三，最終完善規(guī)律。這樣，學(xué)生經(jīng)歷了不完全歸納推理的全過(guò)程，學(xué)生的歸納推理能力得到了有效發(fā)展。

其次，探索規(guī)律是改善學(xué)生學(xué)習(xí)方式的有效途徑。學(xué)生在探索規(guī)律的過(guò)程中，由觀察加數(shù)特征開始，尋求不同方法解決問(wèn)題。在學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、歸納等活動(dòng)，認(rèn)真聽老師和同學(xué)講，結(jié)合自己的思考，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得積極體驗(yàn)之后，教師有意設(shè)置障礙，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律居然失靈了，學(xué)生的思維被再次激活。學(xué)生經(jīng)歷了“發(fā)現(xiàn)規(guī)律—規(guī)律失靈—完善規(guī)律”的探究過(guò)程，思維得以淋漓盡致地展現(xiàn)。整個(gè)教學(xué)活動(dòng)彰顯出“找規(guī)律”教學(xué)的價(jià)值。

2.如何引導(dǎo)學(xué)生“找規(guī)律”？

“找規(guī)律”重在“找”，要引導(dǎo)學(xué)生在“找”規(guī)律的過(guò)程中體會(huì)規(guī)律存在的必然性，從而提高學(xué)生探索數(shù)學(xué)的能力。學(xué)生根據(jù)開始的三個(gè)算式，通過(guò)不完全歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再按照發(fā)現(xiàn)的規(guī)律類比出第四個(gè)算式的結(jié)果。這樣探究，學(xué)生只是淺嘗輒止，印象不會(huì)深刻，出現(xiàn)高錯(cuò)誤率也就在所難免。后來(lái)的實(shí)踐中，教師組織學(xué)生先觀察、比較，初步感受算式的特征，并在寫算式中形成“加數(shù)有規(guī)律，和也有規(guī)律嗎？”的猜想。待學(xué)生自主探索“[12]+[14]+[18]+[116]”的結(jié)果后，教師引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用變式讓學(xué)生體會(huì)發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”的殘缺性，從而自覺(jué)完善規(guī)律。學(xué)生找規(guī)律的過(guò)程具體而又可感，每個(gè)學(xué)生都獲得了探究成功的體驗(yàn)，并且能靈活應(yīng)用規(guī)律解決相似問(wèn)題，這樣，找規(guī)律也就不再成為學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)了。

總之，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)現(xiàn)象中總結(jié)規(guī)律，是學(xué)科教學(xué)的重要特點(diǎn)和訴求。教師應(yīng)立足學(xué)生思維基礎(chǔ)展開針對(duì)性引導(dǎo)，讓學(xué)生順利進(jìn)入規(guī)律探尋環(huán)節(jié)，并在具體實(shí)踐中完成認(rèn)知檢驗(yàn)，形成嶄新的學(xué)科能力。

（責(zé)編 黃春香）