探究本質(zhì) 建立模型

王歡

[摘 要]模型思想在小學數(shù)學教學中無處不在。以“植樹問題”的教學為例，談?wù)勗诮虒W中如何滲透數(shù)學模型思想，以培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學模型思想；一一對應；植樹模型

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）11-0009-02

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》強調(diào)：“要從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展?！毕旅婢鸵浴爸矘鋯栴}”的教學為例，論述如何在教學中滲透數(shù)學模型思想。

一、學生對“植樹問題”的認知現(xiàn)狀

對學生進行課前調(diào)研發(fā)現(xiàn)，對于題目“30米長的小路，每隔6米種一棵樹，可以種多少棵？”，班上34名學生中，2名學生能寫出三種正確答案，28名學生能寫出一種正確答案，4名學生答錯。從解題形式來看，列式解答的有21名學生，先畫圖再列式解答的有13名學生；從思考方式來看，2名學生考慮了一端種一端不種、兩端都種、兩端都不種這三種情況，5名學生考慮了一端種一端不種的情況，17名學生考慮了兩端都種的情況，10名學生考慮了兩端都不種的情況。

由此可以看出，學生的認知基礎(chǔ)不是一片空白。班上有個別學生在課外已經(jīng)學習過“植樹問題”，對于他們來說沒有難度；而沒有提前學習過的絕大多數(shù)學生，他們也能通過思考找到正確的解題方法。在正確的解題方法中，有一部分學生是通過畫圖得到了正確的答案（如圖1），而一部分學生沒有畫圖也得出了正確的答案（如圖2）。通過追問該部分學生得知，由于數(shù)據(jù)較小，他們可以在頭腦中想象出線段圖，借助線段圖來解決問題。

鄭毓信教授在《“植樹問題”教學之我見》一文中提出，植樹問題”的本質(zhì)就是對應問題，只要明確了“間隔”與“樹”兩者之間的對應關(guān)系，無論是“植樹問題”，還是“爬樓問題”“鋸木問題”“敲鐘問題”等相關(guān)問題都能迎刃而解。盡管“植樹問題”是一個很好的“現(xiàn)實原型”，但在教學中我們還需要超出這一特定情境，設(shè)法幫助學生清楚地認識到，所有這些具體問題都有著相同的數(shù)學結(jié)構(gòu)，從而幫助學生建構(gòu)普適的數(shù)學模式，提升學生的思維水平。

二、基于數(shù)學模型思想的教學重構(gòu)

【教學片段1】小組合作，初步感受“植樹模型”

出示問題情境：15米長的小路，每隔3米種一棵樹，可以種多少棵？

師：先把思考過程畫在練習紙上，再在小組內(nèi)交流想法。

（教師巡視輔導，并把學生的一些作品貼在黑板上）

師：這些作品看起來比較亂，我們一起來整理。可以把它們分為幾種情況？

（學生將作品分類：一端種一端不種，兩端都種，兩端都不種。）

在這一教學片段中，教師還引導學生把文字性問題轉(zhuǎn)化成了線段圖，這不僅提升了學生的認知能力，也為“植樹問題”的教學埋下了伏筆。植樹問題的三種情況并不是在教師的刻意安排下出示的，而是在教師的引導下，學生將多個作品適當分類得到的。這一教學環(huán)節(jié)的設(shè)計為后面的教學提供了很好的資源。

【教學片段2】滲透“一一對應”意識，構(gòu)建“植樹模型”

師：這三種情況就是我們今天要學習的“植樹問題”。

師：對于一端種一端不種的情況，如果只種5棵數(shù)，用算式怎么表示？

生1：15÷3=5（棵）。

師：如果是兩端都種的情況，又怎么列式？

生2：15÷3+1=6（棵）。

師：兩端都不種呢？

生3：15÷3-1=4（棵）。

師：是的，植樹的方式不同，列式的方法也就不同，但在不同中有相同，是什么？

生4：都有15÷3。

師：15÷3求的是什么？

生5：間隔數(shù)。

師：明明這三種情況都是5個間隔，為什么有的答案要+1，有的答案卻要-1？

生6：從左往右看，一個間隔對應一棵樹。一端種一端不種，間隔與樹一一對應，所以樹的棵數(shù)等于間隔數(shù)；兩端都種時，有一棵樹沒有間隔與它對應，所以樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1；兩端都不種時，有一個間隔沒有樹與它對應，所以樹的棵數(shù)比間隔數(shù)少1。

師：真了不起，能夠借助一一對應的關(guān)系，了解隱藏在“植樹問題”里面的奧秘。

在這一教學片段中，教師有意識地讓學生把畫圖與列式相結(jié)合，降低了學生的學習難度?！懊髅鬟@三種情況都是5個間隔，為什么有的答案要+1，有的答案卻要-1？”這一問題引發(fā)了學生的認知沖突。學生將思考點聚焦在“樹”與“間隔”之間的一一對應關(guān)系上，有效突破了學習的難點，初步建立了一一對應的數(shù)學思想，為后續(xù)植樹模型的構(gòu)建打下了基礎(chǔ)。

【教學片段3】對比總結(jié)提升，強化“植樹模型”

師：把全長15米改一下，還會做嗎？

師：如果全長越來越長，有n個間隔，你還知道有多少棵樹嗎？你是怎么想的？

生1：如果一端種一端不種，間隔與樹一一對應，樹的棵數(shù)等于間隔數(shù)，所以樹的棵數(shù)=n；如果兩端都種，有一棵樹沒有間隔與它對應，樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1，所以樹的棵數(shù)=n+1；如果兩端都不種，有一個間隔沒有樹與它對應，樹的棵數(shù)比間隔數(shù)少1，所以樹的棵數(shù)=n-1。

師：看來全長有多長并不重要，重要的是看清楚棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。

在這一教學片段中，學生經(jīng)歷了從特殊到一般的研究過程，在匯報、交流、總結(jié)中形成結(jié)構(gòu)性的數(shù)學認知?？梢钥吹?，“植樹模型”本質(zhì)上是乘法模型和一一對應的“點段模型”相互結(jié)合后產(chǎn)生的新模型。學生以后遇到這類題目就會直接列式，即用“總長度÷間距=段數(shù)”來解決問題，找到這個基本模型對學生來說并不難，如果學生還能借助直觀圖，那便很容易發(fā)現(xiàn)“段數(shù)”與“點數(shù)”之間的對應關(guān)系，意識到求出的實際上不是“點數(shù)”而是“段數(shù)”。對于“爬樓問題”“鋸木問題”“敲鐘問題”等相關(guān)問題，其本質(zhì)和結(jié)構(gòu)是相同的，也就是有一樣的數(shù)學模型。

三、數(shù)學模型思想的教學思考與定位

數(shù)學家米山國藏曾說：“作為知識的數(shù)學，出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學精神、數(shù)學思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，才能使人終身受益?！睌?shù)學思想是學生認識事物、學習數(shù)學的基本依據(jù)，是學生數(shù)學素養(yǎng)的核心。小學數(shù)學的知識內(nèi)容并不多，而與數(shù)學內(nèi)容息息相關(guān)的數(shù)學模型思想?yún)s無處不在。如果 “只見樹木而不見森林”，那么數(shù)學教學就會失去真正的價值。因此，教師要重視數(shù)學模型思想的教學。

小學數(shù)學模型思想教學的對象是兒童，教師確定數(shù)學模型思想教學的起點時必須考慮兒童的生活經(jīng)驗和思維特征。兒童的生活經(jīng)驗相對比較貧乏，但也有其時代特點，教師必須從兒童的視角出發(fā)，充分挖掘并引入學校、家庭中與數(shù)學學習相關(guān)的素材，努力將教材中的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學生所熟悉的數(shù)學問題，從而使學生產(chǎn)生學習的內(nèi)驅(qū)力，從而積極調(diào)動自身經(jīng)驗，感知數(shù)學模型的存在。同時，小學生年齡較小，思維方式更偏向于直觀層面，因而小學數(shù)學建?；顒討Y(jié)合學生的實際思維水平，分層逐步推進，這樣才能調(diào)動學生思考的積極性。

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》沒有對數(shù)學模型思想教學提出明確要求，這符合小學生的學情，也符合小學生的知識和能力水平。與小學低年級學生談數(shù)學建模，對小學高年級學生提出學會數(shù)學建模等要求，這顯然是人為地拔高了數(shù)學模型思想在小學階段的教學目標，但這并不代表教師在小學階段不需要作為或不可能作為。恰恰相反，小學階段正是數(shù)學模型思想教學的初級階段，應該抓住合適的時機讓學生來體驗和感悟數(shù)學模型思想。

基于上述認識，教師應當注重從兒童的視角出發(fā)，積極開展以體驗感悟為目標指向的數(shù)學模型思想教學。作為《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出的數(shù)學核心素養(yǎng)之一，“數(shù)學建?！睂W生中學階段繼續(xù)學習數(shù)學的價值是不言而喻的。在小學數(shù)學教學中，讓學生有些感悟和體驗，嘗試經(jīng)歷這樣的過程，積累有價值的數(shù)學經(jīng)驗，使學生能夠在中學甚至大學的學習中達到更高的建模水平，這是我們所期望的。

（責編 金 鈴）