基于半正定測量的光量子OFDM通信系統(tǒng)在離散高斯噪聲環(huán)境下的性能分析

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(復(fù)旦大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200433)

0 引言

量子通信是量子力學(xué)與通信技術(shù)相結(jié)合誕生的一個新興學(xué)科，是量子信息學(xué)的重要分支?；诹孔恿W(xué)原理，將微觀領(lǐng)域的物理特性加以分析并運用在通信技術(shù)上，量子通信具有傳統(tǒng)通信無可比擬的優(yōu)勢，是當今世界通信領(lǐng)域的研究熱點[1]。然而，現(xiàn)有的量子通信系統(tǒng)通信速率較低，此類量子通信系統(tǒng)所需要的大量光纖資源是無法承受的。如果能在信道中同時傳輸多個不同波長的光脈沖，采用波分復(fù)用技術(shù)，就能夠很大程度的提升通信速率和信道容量。對于不同波長、頻率上獨立的光脈沖來說，正交頻分復(fù)用OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)是契合度相當高的復(fù)用方式。目前，來自華中科技大學(xué)和電子科技大學(xué)的研究團隊分別實現(xiàn)了經(jīng)典全光OFDM在光纖上的傳輸，分別為8路40 Gbits[2]和8路112 Gbits[3]。對于在全光OFDM系統(tǒng)中的量子態(tài)而言，大部分情況下都是非正交的，此時必須采用半正定算符測量POVM(Positive Operator Valued Measure)方法進行檢測，可以依據(jù)不同的準則設(shè)計相應(yīng)的POVM算符對接收信號量子態(tài)進行測量。本文采用了平方根檢測SRM(Square Root Measurement)方法[4]，由信號量子態(tài)可以快速構(gòu)造出用于檢測的POVM算符，具有較高的研究價值。同時，考慮到實際通信的要求，在接收端，由于量子熱噪聲的存在，接受態(tài)也會變?yōu)榛旌蠎B(tài)。雖然高斯量子熱噪聲的引入會極大地增加問題復(fù)雜度，但通過對連續(xù)的高斯量子噪聲進行離散化近似，則可以在降低復(fù)雜度的同時盡可能的逼近實際情況[5]。

本文研究了量子通信的特點，基于馬赫岑德干涉儀MZI(Mach-Zehnder Interferometer)的光OFDM系統(tǒng)的通信、不同量子態(tài)相位調(diào)制對應(yīng)的SRM檢測以及對量子高斯噪聲的離散化近似。第二部分介紹了基于MZI的光量子OFDM系統(tǒng)的實現(xiàn)過程。第三部分介紹了量子POVM檢測和量子SRM檢測方法以及該方法在量子OFDM系統(tǒng)接收端的應(yīng)用。第四部分介紹了量子高斯噪聲對量子態(tài)的影響、離散化近似以及檢測問題。第五部分研究了基于SRM檢測的量子OFDM系統(tǒng)的性能，仿真了加入離散量子高斯噪聲后整體的檢測錯誤率并對其進行相應(yīng)的分析說明。

1 基于MZI的量子OFDM系統(tǒng)

OFDM的主要思想是在頻域內(nèi)將信道分成若干子信道，每個子信道上對一個子載波進行調(diào)制，各子載波并行傳輸。而基于MZI的OFDM系統(tǒng)可以全部在光域上實現(xiàn)，滿足量子通信的需求[6]。

在發(fā)送端，為保證各個子載波間的頻率間隔，由光頻梳生成器OCG(Optical Comb Generator)產(chǎn)生8個光子載波，彼此頻率間隔相等，在頻域上正交。然后利用MZI對于8個正交的光子載波進行量子態(tài)的調(diào)制。量子信號調(diào)制方式是基于MZI的相位調(diào)制方式。如圖1所示。

圖1 量子相位調(diào)制器

一個持續(xù)時間為T(T=1/Δf,其中Δf是子載波間隔)的光脈沖在發(fā)送方處被送入預(yù)先設(shè)定好相位差的MZI當中，輸出的結(jié)果是兩個持續(xù)時間同樣為T、非疊加的連續(xù)的脈沖，強度各為輸入脈沖的1/2，分別用r和s表示，這兩個光脈沖，他們之間的相位差Φ表征對應(yīng)的經(jīng)典信息，如圖2所示。

圖2 全光量子OFDM系統(tǒng)發(fā)射端示意圖

在對子載波調(diào)制完成后，通過光耦合器將n路光信號耦合為一路，產(chǎn)生攜帶光量子信息的OFDM符號。

在接收端，接收到的光量子OFDM信號通過一系列級聯(lián)的MZDI后對各路光子載波解復(fù)用，每個MZDI單元由2個耦合器、1個相移器和1段時延線組成。MZDI單元的延時與相移記為(τ,θ)，中心頻率為f，則其對應(yīng)的傳輸函數(shù)可以記為式(1)。

(1)

光量子OFDM信號進入接收端后，每一級MZDI將對其進行延時和相移，經(jīng)過3級MZDI延時后，光量子OFDM信號的8路光子載波被分離出來，如圖3所示。

圖3 全光量子OFDM系統(tǒng)接收端示意圖(8路光脈沖子載波)

得到不同光子載波上的脈沖r和s后，使其通過預(yù)設(shè)好的MZI，通過檢測門得到相位差同為Φ的位于3個脈沖中間位置的光脈沖，輔以相應(yīng)的檢測，從而得到量子信號當中的經(jīng)典信息，如圖4所示。

圖4 量子相位解調(diào)器

由于信息調(diào)制是在兩個光脈沖相對相位上完成的，因此初始的光脈沖相位可以是任意的。同時，在系統(tǒng)傳輸?shù)倪^程當中，由于采用了相對相位搭載信息，可能的相位影響會同時作用于兩個脈沖，并不會影響二者的相位差，使得系統(tǒng)對于相位噪聲有較強的抵抗能力。

2 量子相干態(tài)檢測

2.1 量子相干態(tài)

量子態(tài)有許多種形式，其中，相干態(tài)是指完全相干的量子光場，也是現(xiàn)實中最容易獲得的量子態(tài)。在光頻領(lǐng)域，電磁場借助于微觀粒子體系，通過經(jīng)典源驅(qū)動，通過量子諧振產(chǎn)生相干態(tài)光場。因此，由激光器產(chǎn)生的激光就是相干態(tài)。相干態(tài)是非Hermitian算符的本征態(tài)，所以利用相干態(tài)集可以構(gòu)成非正交、超完備的表象。而在光量子OFDM系統(tǒng)中，以QPSK經(jīng)典信息向量子態(tài)的映射為例，可以直觀地看到，得到的相干態(tài)是非正交的，即式(2)。

k=1,3,5,7,m=1,3,5,7

(2)

顯然，當k≠m，即兩個相干態(tài)的本征值不同時，上式的值不等于0，即兩個相干態(tài)是非正交的。相干態(tài)的光子數(shù)態(tài)(Fock態(tài))表象形式為式(3)。

(3)

2.2 最小平方根檢測

由于光量子OFDM系統(tǒng)中傳輸?shù)牧孔討B(tài)是相干態(tài)，而對應(yīng)不同本征值的兩個不同的相干態(tài)是非正交的，因而不能通過諸如馮·諾依曼測量等基于完全正交的方法完全確定發(fā)送的量子態(tài)。因此，需要找到一組測量基，來最小化檢測非正交態(tài)的錯誤概率。量子平方根檢測是POVM檢測中效果較好的一種，是在最小平方根條件下的最優(yōu)檢測。同時，也是當量子態(tài)集是由某種幾何對稱特性的量子態(tài)組成的系統(tǒng)中最優(yōu)的方法。SRM方法的測量基構(gòu)建十分簡潔，可以直接由給定的量子態(tài)集合得到。對發(fā)送的量子態(tài)集合{|αejφi〉}在光子數(shù)態(tài)表象下(維度為n)展開，得到集合{|φi〉}，它處于n維Hilbert空間中，向量|φi〉是線性獨立的，并由所有向量|φi〉構(gòu)成矩陣Φ=[|φ1〉,…,|φn〉]，它是一個秩為r的n×K的矩陣。對矩陣Φ作奇異值分解，即Φ=U∑V*。記SRM測量矩陣為M，則有式(4)。

(4)

此時，對應(yīng)的SRM測量是正交測量且滿足最優(yōu)最小二乘測量準則。

取矩陣M的列向量，記為{|μi〉}，這就是最優(yōu)的測量態(tài)集。針對SRM檢測方法，對于包含K個發(fā)射量子態(tài)的符號集系統(tǒng)，在輸入量子態(tài)等概率的條件下，檢測的誤碼率為[7]式(5)。

(5)

3 量子熱噪聲的引入

3.1 離散高斯噪聲模型

由于量子熱噪聲的引入，會使得接收端的量子態(tài)不再是純態(tài)而變?yōu)榛旌蠎B(tài)，考慮對引入量子熱噪聲的相干態(tài)其進行近似。將積分轉(zhuǎn)換為無窮項和的形式表示，即將引入量子熱噪聲后的相干態(tài)視為一個有限數(shù)量的相干態(tài)的加權(quán)和，每個相干態(tài)出現(xiàn)的概率則有它所代表的區(qū)域Ajk的高斯權(quán)重決定。每一個特定的量子態(tài)對應(yīng)復(fù)平面上一個特定的區(qū)域，接收到它的概率為Pjk是這片區(qū)域的權(quán)重。這一近似模型稱為“離散相干態(tài)”近似，即(DCS，discrete coherent state)。

由于高斯分布的性質(zhì)，當距離更遠時，對應(yīng)的權(quán)重會極大地減小，幾乎可以忽略不計。因此，以原始信號態(tài)為中心，一個單位處分布不同的疊加噪聲后的相干態(tài)足以相當準確地描述引入量子熱噪聲之后混合態(tài)的情況。

當發(fā)射的態(tài)為|φ0〉，接受態(tài)是[|φ00〉,|φ01〉,…,|φ0k〉],k=0,…,D-1中的任意一個，對應(yīng)的概率為[P00,P01,…,P0k],k=0,…,D-1。這一系列可能相干態(tài)的概率分布則可以由高斯函數(shù)在對應(yīng)區(qū)域內(nèi)的權(quán)重得到，對于第k個發(fā)射態(tài)為式(6)。

(6)

在半徑為r圓上對上式積分，即可得到概率為式(7)。

P(r)k=1-e-(r2/N)

(7)

由于噪聲的引入，需要重新根據(jù)可能的接受態(tài)情況構(gòu)造測量算符。任意一個可能的發(fā)射態(tài)都有了D個可能的接受態(tài)，故整個符號集由之前的K個變?yōu)镵×D個。相對應(yīng)的，對于混合態(tài)形式的接受態(tài)，其POVM算符變?yōu)槭?8)。

(8)

信號矩陣Φ和測量矩陣M的尺寸均由n×K變?yōu)閚×(KD)。

3.2 檢測錯誤率分析

上面已經(jīng)提到，當接收量子態(tài)為純態(tài)，針對SRM檢測方法，對于包含K個發(fā)射量子態(tài)的符號集系統(tǒng)，在輸入量子態(tài)等概率的條件下，檢測的誤碼率由式(X)給出。而對于引入噪聲后的檢測，量子測量假設(shè)依舊適用。假設(shè)發(fā)射態(tài)為Hk，正確檢測的概率為式(9)。

(9)

對于包含K個發(fā)射量子態(tài)的符號集系統(tǒng)，記發(fā)射符號對應(yīng)的先驗概率為P(Hk)，正確的檢測概率為式(10)。

(10)

由此易知，此時的檢測錯誤率為Pe=1-Pc。

4 系統(tǒng)仿真與分析

為了驗證本文中提到的光量子OFDM系統(tǒng)的性能，進行了相關(guān)的系統(tǒng)仿真。首先討論了對量子高斯近似后不同的離散量子態(tài)半徑范圍取值對實際復(fù)平面的覆蓋情況，然后仿真了引入不同強度的量子高斯噪聲對系統(tǒng)檢測性能的影響，最后，針對典型的不同的離散量子態(tài)半徑值在不同強度的量子高斯噪聲環(huán)境中的情況，進行了整體仿真，并就結(jié)果進行了相關(guān)討論。

在用離散相干態(tài)模型對引入的量子高斯熱噪聲進行近似時，近似量子態(tài)覆蓋區(qū)域的半徑r是一個較為重要的參數(shù)，對r分別取0.4，0.5以及0.6的情況時對整個復(fù)平面覆蓋比例的仿真結(jié)果,如圖5所示。

圖5 不同近似相干態(tài)覆蓋半徑覆蓋率隨噪聲平均光子數(shù)的變化

由仿真結(jié)果可以看到，在噪聲平均光子數(shù)較小，即量子高斯噪聲較小時，3種半徑取值均能很好的覆蓋整個復(fù)平面。這是因為，在噪聲較小時，疊加了噪聲的接受量子態(tài)只有很小的概率會出現(xiàn)在離發(fā)射的純態(tài)的位置較遠的地方。而隨著量子高斯噪聲的增大，疊加了噪聲的接受量子態(tài)出現(xiàn)在較遠位置處的概率不斷增大，此時較小的r覆蓋的區(qū)域就不能很好的大概率覆蓋可能的區(qū)域。

接下來我們仿真了在引入維度D=7，不同強度的量子高斯噪聲后對系統(tǒng)檢測性能的影響，結(jié)果如圖6所示。

圖6 引入不同平均光子數(shù)高斯熱噪聲后系統(tǒng)性能(混合態(tài)維度D=5)

由仿真結(jié)果可以看到，在采用量子QPSK調(diào)制的系統(tǒng)中，對比N=0，即沒有任何量子高斯熱噪聲的情況，即使只引入平均光子數(shù)為0.05的量子熱噪聲，也會對系統(tǒng)的整體性能造成極大的影響。而隨著熱噪聲平均光子數(shù)的進一步增加，檢測的錯誤率也會進一步增大。注意到越是在信號態(tài)平均光子數(shù)較大的時候，有無噪聲的存在對系統(tǒng)的影響越大。這是一點可以理解的，因為在信號態(tài)平均光子數(shù)較大時，同樣的比例下疊加了噪聲的量子態(tài)會偏出更遠。

最后，為了綜合考慮前文中提到的因素，我們仿真了維度D=7情況下，兩種近似量子態(tài)覆蓋區(qū)域的半徑r對不同量子熱噪聲平均光子數(shù)的檢測性能，如圖7所示。

由仿真結(jié)果可以看到，在覆蓋區(qū)域半徑r相同的情況下，較小的噪聲平均光子數(shù)N對應(yīng)的檢測錯誤率更低，與圖7所得的結(jié)論相一致。而在其他參數(shù)都相同的情況下，較小的量子態(tài)覆蓋區(qū)域的半徑的檢測正確率更低，因為它對噪聲引入的區(qū)域覆蓋的比例更低，這是可以理解的。但同時也應(yīng)該意識到，這里的r也并不是取的越大越好，因為當r取的太大，實際上是將很大范圍內(nèi)疊加了噪聲的混合態(tài)都作為純態(tài)處理，這樣也就失去了討論引入量子熱噪聲的實際意義。

圖7 不同近似相干態(tài)覆蓋半徑下量子高斯熱噪聲對系統(tǒng)的性能影響(混合態(tài)維度D=7)

5 總結(jié)

本文研究了量子通信的原理特點以及基于馬赫岑德干涉儀的全光OFDM系統(tǒng)，結(jié)合量子相位調(diào)制的方法，研究并分析了基于馬赫岑德干涉儀的光量子相位調(diào)制OFDM通信系統(tǒng)。針對光量子OFDM相位調(diào)制發(fā)送量子態(tài)符號集不正交的特點，將發(fā)送量子態(tài)符號集在光子數(shù)態(tài)表象下展開，并采用了最小平方根的量子測量方法。并且引入離散量子高斯熱噪聲近似這一噪聲模型，并通過仿真討論了量子熱噪聲的引入及諸如混合態(tài)維度、近似范圍、噪聲平均光子數(shù)等不同噪聲參數(shù)對系統(tǒng)所造成的影響及原因。