“有益”的錯(cuò)誤 學(xué)生的再“生長(zhǎng)”

王俊玲

[摘 要]小學(xué)生受認(rèn)知發(fā)展水平和生活經(jīng)驗(yàn)缺乏的影響，在解決問(wèn)題時(shí)容易出錯(cuò)，但有些錯(cuò)誤是有一定思維價(jià)值且?guī)в衅毡樾缘?，教師?yīng)該有效利用這些錯(cuò)誤資源，引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思考，提高核心素養(yǎng)，錘煉學(xué)習(xí)品格，促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)。

[關(guān)鍵詞]有益錯(cuò)誤;思維生長(zhǎng);數(shù)學(xué)思考;資源

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）17-0092-02

數(shù)學(xué)是一門邏輯性和應(yīng)用性都比較強(qiáng)的學(xué)科，小學(xué)生受認(rèn)知發(fā)展水平較低和生活經(jīng)驗(yàn)缺乏的影響，在解決問(wèn)題時(shí)容易出錯(cuò)，但有些錯(cuò)誤是有一定思維價(jià)值且?guī)в衅毡樾缘模@些錯(cuò)誤是“有益”的錯(cuò)誤。作為教師，應(yīng)該把這些“有益”的錯(cuò)誤看成學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的嘗試和探索，把這種錯(cuò)誤當(dāng)作資源，讓這種錯(cuò)誤成為促進(jìn)學(xué)生成長(zhǎng)的新生長(zhǎng)點(diǎn)。

一、包容“有益”錯(cuò)誤，改變學(xué)生認(rèn)知

進(jìn)入高年級(jí)后，有些學(xué)生越來(lái)越害怕數(shù)學(xué)，究其原因是學(xué)生擔(dān)心在學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，對(duì)于錯(cuò)誤他們更多的是從負(fù)面的角度來(lái)看待，因而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去了信心。要改變這種狀況，關(guān)鍵在于教師要允許學(xué)生出錯(cuò)，要把一些有思維價(jià)值的錯(cuò)誤當(dāng)作資源，引導(dǎo)學(xué)生再學(xué)習(xí)。

【例1】教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”時(shí)有這樣一題：把一張長(zhǎng)18厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形紙，剪成同樣大小面積盡可能大的正方形，且沒(méi)有剩余，可以剪多少個(gè)？

這題正確的解題思路是先求出剪出的正方形的邊長(zhǎng)，再求能剪多少個(gè)。交流時(shí)有位學(xué)生認(rèn)為18和12的最大公因數(shù)6就是剪得的正方形的個(gè)數(shù)。我沒(méi)有批評(píng)這位學(xué)生，而是豎起大拇指夸她有敢于和同學(xué)交流的勇氣。這個(gè)“有益”的錯(cuò)誤為學(xué)生的深入思考創(chuàng)造了條件，通過(guò)畫圖（如圖1）分析，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生找出了此解法錯(cuò)誤的原因以及解決該問(wèn)題的辦法。

教學(xué)中教師包容學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，讓學(xué)生知道自己是可以出錯(cuò)的。通過(guò)分析這些“有益”的錯(cuò)誤，提醒學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)需要注意些什么、哪些地方容易出錯(cuò)、怎樣才能避免出錯(cuò)等，使學(xué)生真正理解和掌握所學(xué)知識(shí)。長(zhǎng)此以往，學(xué)生就會(huì)改變對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)知，并敢于面對(duì)自己的錯(cuò)誤、改正錯(cuò)誤，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

二、重塑“有益”錯(cuò)誤，理解所學(xué)知識(shí)

當(dāng)學(xué)生能夠勇敢地面對(duì)自己錯(cuò)誤時(shí)，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生重塑“有益”的錯(cuò)誤，分析錯(cuò)誤原因。教師可以用類似“你的錯(cuò)誤是什么？”“是什么原因?qū)е碌模俊薄敖窈笕绾伪苊?？”“從中你學(xué)到了什么？”等話語(yǔ)引導(dǎo)學(xué)生。剛開(kāi)始學(xué)生可能只能說(shuō)出一些表面的、淺顯的錯(cuò)誤原因，諸如沒(méi)看清題目、計(jì)算錯(cuò)誤等，對(duì)此教師可以采取師生對(duì)話、同伴互助等形式幫助學(xué)生找出真正的錯(cuò)因，然后鼓勵(lì)學(xué)生將“有益”的錯(cuò)誤和全班同學(xué)分享，時(shí)間久了學(xué)生就會(huì)自覺(jué)地重塑自己“有益”的錯(cuò)誤。

【例2】學(xué)習(xí)蘇教版六年級(jí)下冊(cè)“圓柱和圓錐”之后，有位學(xué)生在易錯(cuò)題本上記錄了這樣一題：如圖2所示，陰影部分材料可以做成一個(gè)圓柱，求這個(gè)圓柱的體積。

這位學(xué)生這樣分析自己的錯(cuò)誤：“我不理解12.56分米這個(gè)數(shù)量表示的意思，認(rèn)為題中給出的條件不夠，所以不能解答。通過(guò)和同學(xué)的交流我才明白，12.56分米是圓柱的底面周長(zhǎng)，已知底面周長(zhǎng)就可以求出圓柱的半徑，從圖中還可以直接看出圓柱的高是直徑的2倍，有了底面半徑和高，就能求出圓柱的體積了。我出錯(cuò)的原因是沒(méi)有理解好圓柱側(cè)面積的推導(dǎo)過(guò)程。為此，在同學(xué)的幫助下，我再次體驗(yàn)到把圓柱側(cè)面沿著高剪開(kāi)可以得到一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓柱的底面周長(zhǎng)，寬是圓柱的高，加深了對(duì)圓柱的側(cè)面積的理解?！?/p>

實(shí)踐證明：重塑“有益”的錯(cuò)誤，可以幫助學(xué)生更好地把握題目的來(lái)龍去脈，深刻理解所學(xué)知識(shí)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

三、對(duì)比“有益”錯(cuò)誤，建構(gòu)知識(shí)聯(lián)系

當(dāng)學(xué)生已經(jīng)會(huì)分析自己“有益”的錯(cuò)誤，知道如何避免這樣的錯(cuò)誤時(shí)，他們腦海中的知識(shí)點(diǎn)還是零散的，只是知道類似的題目怎樣做，但當(dāng)遇到相似的題目時(shí)他們還是會(huì)受思維定式的影響再次出錯(cuò)。

例如，因?yàn)樽鲞^(guò)例2中的題目，所以學(xué)生在解決“如圖3所示，陰影部分材料可以做成一個(gè)圓柱，求這個(gè)圓柱的體積”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，思維定式地將16.56分米當(dāng)作圓柱的底面周長(zhǎng)。為此我把這兩題放在一起（如圖4），讓學(xué)生對(duì)比、分析，找出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

生1：這兩題都與圓柱側(cè)面有關(guān)，圓柱側(cè)面可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓柱的底面周長(zhǎng)，寬就是圓柱的高。

生2：解題時(shí)我們必須明確題中的條件和問(wèn)題，理解每個(gè)數(shù)量表示的意思。如圖4左圖中的12.56分米表示圓柱的底面周長(zhǎng)，即πd=12.56（分米）;而圖4右圖中的16.56分米則表示圓柱的底面周長(zhǎng)再加上1個(gè)直徑，即πd+d=16.56（分米）。

生3：生2說(shuō)的就是我們解決問(wèn)題時(shí)最容易出錯(cuò)的地方。

生4：已知條件不同，求圓柱底面半徑的方法就不同。

生5：我能設(shè)計(jì)一個(gè)相似的題目（如圖5所示），并說(shuō)明25.7分米是圓柱的底面周長(zhǎng)加上2個(gè)直徑的長(zhǎng)，即πd+2d=25.7（分米）。

作為教師要及時(shí)將容易混淆、容易出錯(cuò)的題目進(jìn)行歸納，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、分析，溝通知識(shí)間的聯(lián)系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在這過(guò)程中有時(shí)還會(huì)萌發(fā)創(chuàng)新思維的種子。

四、編寫“有益”錯(cuò)誤，發(fā)展數(shù)學(xué)思考

教師及時(shí)利用“有益”的錯(cuò)誤，不僅能助推課堂教學(xué)，提高教學(xué)效率，還能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。但只會(huì)分析“有益”的錯(cuò)誤還不夠，教學(xué)中教師要鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生嘗試編寫“有益”的錯(cuò)誤，發(fā)展學(xué)生思維。

【例3】教學(xué)“圓柱和圓柱”時(shí)有這樣一題：如圖6所示，一個(gè)圓柱的高是8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面積將增加25.12平方厘米，求原來(lái)圓柱的體積。

有位學(xué)生是這樣編寫錯(cuò)誤答案的：“圓柱半徑為25.12÷3.14÷2=4（厘米），V=πr2h=π×4×4×8=128π?！彪m然他沒(méi)有用文字說(shuō)明錯(cuò)誤原因，但根據(jù)圖示和他算式中體現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系也能說(shuō)明為什么會(huì)產(chǎn)生這一錯(cuò)誤，即錯(cuò)把25.12平方厘米看成圓柱的底面周長(zhǎng)，這種錯(cuò)誤是大多數(shù)學(xué)生的通病。

在此基礎(chǔ)上我組織學(xué)生分析、討論，學(xué)生不僅找出了錯(cuò)誤的原因，還主動(dòng)展示和說(shuō)明正確的解題思路：圓柱增加的表面為展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形的側(cè)面，已知長(zhǎng)方形的面積和寬，就可以先求出它的長(zhǎng)，也就是圓柱的底面周長(zhǎng)，然后再計(jì)算圓柱的體積，解題過(guò)程如圖7所示。

換一種方式對(duì)待“有益”的錯(cuò)誤，讓學(xué)生經(jīng)歷編寫“有益”錯(cuò)誤的過(guò)程，預(yù)測(cè)可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，主動(dòng)分析、自我糾正，既發(fā)展數(shù)學(xué)思考，又提升學(xué)習(xí)能力。

五、反思“有益”錯(cuò)誤，促進(jìn)學(xué)生成長(zhǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非一蹴而就，需要不斷地反思才能獲得體驗(yàn)、積累經(jīng)驗(yàn)。教師要善于利用多種形式（如自我反思、同伴互助等）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思。

【例4】教學(xué)“圓柱和圓柱”時(shí)有這樣一題：將一個(gè)圓錐形零件完全浸沒(méi)在底面直徑是30厘米的圓柱形玻璃水缸里，這時(shí)水面上升4厘米。這個(gè)圓錐形零件的體積是多少立方厘米？

生1：這題是求圓錐的體積，所以我想到了圓錐的體積計(jì)算公式，然后在題目中找公式需要的條件，直徑30厘米，高4厘米，很快就完成了。半徑為30÷2=15（厘米），體積為V=[13πr2h=13×π×15×15×4=300π]（立方厘米）。小組交流時(shí)同桌問(wèn)我：“圓錐形零件的直徑是30厘米、高是4厘米嗎？”聽(tīng)到這個(gè)問(wèn)題我回過(guò)頭再仔細(xì)閱讀題目，發(fā)現(xiàn)自己錯(cuò)了。圓錐形零件的體積無(wú)法直接計(jì)算，只能利用圓柱形玻璃缸中水上升這一點(diǎn)來(lái)解決。

（組織全班學(xué)生交流）

生2：我佩服生1的勇氣，樂(lè)于和同學(xué)交流，敢于面對(duì)自己的錯(cuò)誤并改正。

生3：解決問(wèn)題時(shí)，要弄清題意，理解數(shù)量之間的關(guān)系，不能瞎拼湊，還要注意單位的統(tǒng)一。

生4：我發(fā)現(xiàn)這題蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化思想，可以用這種辦法測(cè)量不規(guī)則石塊的體積。

生5：轉(zhuǎn)化思想能把復(fù)雜問(wèn)題變成簡(jiǎn)單問(wèn)題，它可以幫助我們解決很多疑難問(wèn)題。

……

反思學(xué)習(xí)行為，尤其是對(duì)錯(cuò)題解題過(guò)程的反思，可以幫助學(xué)生加深理解所學(xué)知識(shí)，提高自我反思能力，在反思中增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信，堅(jiān)定學(xué)習(xí)意志，促進(jìn)學(xué)生思維成長(zhǎng)。

心理學(xué)家蓋耶說(shuō)：“誰(shuí)不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過(guò)最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻?！边@也說(shuō)明，教師準(zhǔn)確把握好“最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻”，有效利用“有益”的錯(cuò)誤資源，能更好地引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，深刻理解所學(xué)知識(shí)，完善知識(shí)建構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思考，提高核心素養(yǎng)，錘煉學(xué)習(xí)品格。

（責(zé)編 楊偲培）