概念，在“畫”中感悟

傅愛蘭

【課前思考】

“倍的認(rèn)識(shí)”是人教版教材三年級(jí)上冊(cè)第五單元的內(nèi)容。在學(xué)習(xí)“倍”之前，學(xué)生頭腦中建構(gòu)的關(guān)于比較兩個(gè)數(shù)量大小的方法是比較數(shù)量的多與少，即比較兩個(gè)數(shù)量的差，也就是常說的差比。在比較兩個(gè)數(shù)量關(guān)系時(shí)除了差比，還可以將一個(gè)量確定為標(biāo)準(zhǔn)量，通過判斷另一個(gè)量里面有多少個(gè)這樣的標(biāo)準(zhǔn)量，來比較兩者的比率關(guān)系，即我們常說的倍比。比率這一概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的作用，是學(xué)生學(xué)習(xí)比例的基礎(chǔ)。實(shí)際上，倍、分?jǐn)?shù)（表示分率）、百分?jǐn)?shù)、比等概念的本質(zhì)都是比率。

理解兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系也是學(xué)生乘法認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立的重要方面，學(xué)生乘法認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)概念體系的建構(gòu)是按照整數(shù)—分?jǐn)?shù)—比例的順序依次建構(gòu)的。對(duì)“整數(shù)倍”的學(xué)習(xí)是學(xué)生第一次接觸比率，小數(shù)倍、分?jǐn)?shù)（表示分率）、百分?jǐn)?shù)、比的內(nèi)容，都可以看作是對(duì)“整數(shù)倍”的擴(kuò)展。

也就是說，教材的“倍比”教學(xué)還剛開始，那學(xué)生對(duì)“倍”的認(rèn)知是不是零起點(diǎn)呢？帶著這樣的思考，課前筆者對(duì)本班40名學(xué)生進(jìn)行前測(cè)：

通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，近半學(xué)生對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)并不陌生， 但教師通過對(duì)畫對(duì)的學(xué)生進(jìn)行交流訪談，發(fā)現(xiàn)了很多問題。

問題1：“多2”和“2倍”混淆。

在畫對(duì)的11人中，有5人是“第一行畫2個(gè)，第二行畫4個(gè)”，只有1人比較明確地說明是以第一行為標(biāo)準(zhǔn)去看第二行有幾個(gè)第一行這么多。其他學(xué)生都是指多出來的2個(gè)圖形，在增加或減少第一行的個(gè)數(shù)時(shí)，學(xué)生瞬間變得一片茫然。

問題2：“1倍”和“多1倍”混淆。

由于受生活語(yǔ)言“成倍增長(zhǎng)”的負(fù)遷移，很多學(xué)生認(rèn)為：以第一行為標(biāo)準(zhǔn)，第二行比它多1份就認(rèn)為第二行是第一行的1倍，多2份就是它的2倍?？梢姡瑢W(xué)生對(duì)“倍”的本質(zhì)理解還是有偏差的。

課前學(xué)情調(diào)查結(jié)果，為這節(jié)課的課堂教學(xué)開啟了一扇窗，學(xué)生的認(rèn)知疑惑處便是這節(jié)課教學(xué)的最佳切入口。

【教學(xué)實(shí)踐】

“倍”是一個(gè)抽象的概念，而三年級(jí)學(xué)生還是以形象思維為主。面對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容和認(rèn)知能力的矛盾，我們選擇教學(xué)方法的唯一突破口就是如何將抽象內(nèi)容直觀化。

畫圖策略可以幫助學(xué)生在形象思維和抽象思維之間搭建橋梁，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)過程中培養(yǎng)和發(fā)展幾何直觀能力，感悟初步的數(shù)形結(jié)合思想，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。教學(xué)中我們可以從“形”對(duì)于“數(shù)”的直觀性、“數(shù)”對(duì)“形”的深刻性這兩方面著手，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用，努力讓學(xué)生在“畫”中感悟“倍”的意義。

一、在“賞”畫中引出概念

1.看“畫”讀取數(shù)學(xué)信息

師：今天這節(jié)課我們一起來研究數(shù)學(xué)“畫”，想象一下你心目中的數(shù)學(xué)畫是怎么樣的。課前老師讓大家畫了一幅畫，現(xiàn)在我們一起來看看。

出示學(xué)生數(shù)學(xué)前測(cè)作品：

師：從畫中你獲得了哪些數(shù)學(xué)信息？圓形和三角形在數(shù)量上有什么關(guān)系呢？

生1：三角形的個(gè)數(shù)比圓形多3個(gè)，也可以說圓形的個(gè)數(shù)比三角形少3個(gè)。

生2：三角形的個(gè)數(shù)是圓形的1倍。

生3：三角形的個(gè)數(shù)是圓形的2倍。

師：剛才你們都說到一個(gè)新名詞——“倍”（板書：倍），首先請(qǐng) ×× 同學(xué)說說“1倍”你是怎么找的？

生2上臺(tái)邊圈邊說：我把第一行的3個(gè)圓形作為參照標(biāo)準(zhǔn)，第二行多了這樣的3個(gè)，所以第二行是第一行的1倍。

師：說得好像很有道理，那你的“2倍”又是怎么找的呢？（指向生3）

生3（上臺(tái)演示）：你看這里圓形是1個(gè)3，三角形有2個(gè)3，所以三角形的個(gè)數(shù)是圓形的2倍。

2.初識(shí)倍數(shù)關(guān)系

師：剛才兩位同學(xué)通過比一比、圈一圈，發(fā)現(xiàn)比較兩個(gè)數(shù)量，除了誰(shuí)比誰(shuí)多、誰(shuí)比誰(shuí)少這種相差關(guān)系外，還可以用倍數(shù)關(guān)系來表示，那到底三角形的個(gè)數(shù)是圓形的1倍還是2倍呢？一起看圖，他們兩位都是把圓形作為標(biāo)準(zhǔn)，我們把它看成“1份”，那么三角形的個(gè)數(shù)有幾個(gè)這么多？（生答2個(gè)）

師：我們把圓形的個(gè)數(shù)看作1份，再找三角形的個(gè)數(shù)有這樣的2份，在數(shù)學(xué)上，就說“三角形的個(gè)數(shù)是圓形的2倍”。（板書：三角形的個(gè)數(shù)是圓形的2倍）

[思考]通過前測(cè)，真實(shí)了解學(xué)生的學(xué)情，教學(xué)中從學(xué)生的“問題”出發(fā)，通過討論辨析，矯正學(xué)生對(duì)“2倍”的認(rèn)識(shí)偏差，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的比較中真正體驗(yàn)“2倍”的認(rèn)識(shí)過程，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性。

二、在“圈”中理解概念

1.出示前測(cè)收集的數(shù)學(xué)“畫”

2.圈出倍數(shù)關(guān)系

活動(dòng)要求：

比一比，看上面畫中是不是2倍關(guān)系。

圈一圈，表示出圖中的倍數(shù)關(guān)系。

改一改，把不是2倍的改成2倍關(guān)系。

3.學(xué)生展示匯報(bào)

在師生、生生互動(dòng)中進(jìn)一步理解一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍。

[思考]利用學(xué)生的前測(cè)素材，讓學(xué)生進(jìn)行二度思考，從課前的“盲目”到課中通過比一比、圈一圈進(jìn)行自我調(diào)整。學(xué)生懂得要先確定標(biāo)準(zhǔn)，也就是第一行的1份是幾個(gè)，再找到第二行含有“2個(gè)幾”，有效地找到“2倍”關(guān)系。

4. 比較概括

出示圖5。

師：仔細(xì)觀察這4幅“畫”，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：第一行畫的都是圓形，第二行畫的都是三角形。

生2：第二行的個(gè)數(shù)都是第一行的2倍。

師（追問）：他們畫的兩行圖形的個(gè)數(shù)各不相同，為什么都說三角形的個(gè)數(shù)是圓形的2倍呢？和你的同桌說一說。

生3：都是以第一行為標(biāo)準(zhǔn)，第二行有2個(gè)第一行這么多，所以就是第一行的2倍。

師：也就是說我們都是把第一行看成1份，第二行有這樣的2份（演示圖6的形成過程）。那這1份里面可以畫幾個(gè)？

生：想畫幾個(gè)就畫幾個(gè)，只要第二行畫2個(gè)第一行這么多。

師：太厲害了，我們把掌聲送給他。那只能畫三角形和圓形嗎？

生：我們只比較圖形的個(gè)數(shù)的關(guān)系，跟圖形的形狀沒有關(guān)系。

師：是的，倍數(shù)關(guān)系只比較圖形的個(gè)數(shù)，那如果第二行再增加1份，現(xiàn)在的倍數(shù)又會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

生：如果再增加1份，那么第二行就是第一行的3倍。

師：要想第二行是第一行的10倍，想象一下它是怎樣的。

生：第一行畫3個(gè)五角星，第二行畫10個(gè)3，就是30個(gè)。

生：不管第一行畫幾個(gè)，只要第二行有10個(gè)第一行這么多。

師：你的一句話把所有的可能都概括了，太棒了！

[思考]“倍”是一個(gè)抽象的概念，教學(xué)中教師在學(xué)生初步感知“2倍”的基礎(chǔ)上，以形輔數(shù)，結(jié)合集合圖不斷深化“2倍”的意義，同時(shí)通過學(xué)生“2倍”的建模經(jīng)驗(yàn)初步類推出“幾倍”的意義，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力。

三、 在“畫”中強(qiáng)化概念

師：相信每個(gè)學(xué)生心中都有一幅與眾不同的“畫”，現(xiàn)在請(qǐng)你把它畫出來。

1.畫圖

出示學(xué)習(xí)要求：

想：自己最喜歡的倍數(shù)關(guān)系。

畫：簡(jiǎn)單、清楚且與眾不同。

說：（ ）是（ ）的幾倍。

2.學(xué)生展示匯報(bào)

在師生、生生互動(dòng)中理解若干倍數(shù)關(guān)系。

3.想象建模

如果減少2份還是倍數(shù)關(guān)系嗎？如果增加1個(gè)這么多就是幾倍關(guān)系？100個(gè)呢？

[思考]教師創(chuàng)造機(jī)會(huì)放手讓學(xué)生“畫”，讓學(xué)生在操作中積累豐富的表象認(rèn)識(shí)，使抽象知識(shí)具體化、形象化。通過畫一畫、圈一圈、說一說等活動(dòng)，讓學(xué)生將操作、理解概念、表述數(shù)理有機(jī)地結(jié)合起來，讓學(xué)生看自己畫的“畫”來說數(shù)理，降低了數(shù)理表述的難度。我們發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)畫”能讓“高冷”的數(shù)理瞬間變得那么親切，數(shù)學(xué)課因此也變得更加地自然、和諧、智慧。

四、在“比”中深化概念

1.獨(dú)立完成學(xué)習(xí)單

2.互動(dòng)交流

（1）手鏈中的倍數(shù)。

師：有倍數(shù)關(guān)系嗎？你是怎么找的？

生：我把4個(gè)紅珠子看成1份，藍(lán)珠子的個(gè)數(shù)有2個(gè)1，所以藍(lán)珠子的個(gè)數(shù)是紅珠子的2倍。

師：如果同意的給予掌聲支持。如果像這樣增加1串（如圖7），現(xiàn)在又是幾倍關(guān)系？

生1：現(xiàn)在藍(lán)珠子的個(gè)數(shù)是紅珠子的4倍。

生2（沒等生1說完就激動(dòng)地說）：不對(duì)，還是2倍。

師：現(xiàn)在有兩種答案，我們統(tǒng)計(jì)一下支持2倍的同學(xué)舉手（一半以上的學(xué)生舉手），剩下的都認(rèn)為是4倍嗎？數(shù)學(xué)是講道理的，現(xiàn)在看看哪方的道理能說服我們！

生3：我也認(rèn)為是4倍關(guān)系。剛才已經(jīng)是2倍，現(xiàn)在藍(lán)色珠子增加了8個(gè)，等于增加了2倍，所以就是4倍。

生4（迫不及待地反駁）：但是藍(lán)珠子個(gè)數(shù)增加了，紅珠子的個(gè)數(shù)也增加了，現(xiàn)在我們看紅珠子有8個(gè)，藍(lán)珠子的個(gè)數(shù)是16個(gè)，16里面有2個(gè)8，所以藍(lán)珠子的個(gè)數(shù)是紅珠子的2倍。

師：大家覺得哪方講得更有道理？（齊答：2倍）這道題我們發(fā)現(xiàn)紅珠子和藍(lán)珠子的個(gè)數(shù)都在成倍增加，但是它們之間的倍數(shù)關(guān)系是不變的。

[思考]函數(shù)的核心就是“把握并刻畫變化中的不變，其中變化的是過程，不變的是規(guī)律”。學(xué)生樂意去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能將規(guī)律表述出來。這個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)“一串手鏈中藍(lán)珠子的個(gè)數(shù)是紅珠子的2倍，為什么2串手鏈中藍(lán)珠子的個(gè)數(shù)也是紅珠子的2倍呢？”這樣的追問，再通過數(shù)形結(jié)合的辨析演示，讓學(xué)生既可以更全面更深入地認(rèn)識(shí)倍，又可以在觀察中體會(huì)數(shù)據(jù)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，感受到一個(gè)數(shù)據(jù)隨著另一個(gè)數(shù)據(jù)的變化而變化的過程，這就是函數(shù)思想在教學(xué)中的滲透。

（2）組合圖形中的倍數(shù)。

思考：涂色部分是沒涂色部分的幾倍？

學(xué)生通過觀察比較迅速地找到圖中兩部分的倍數(shù)關(guān)系，于是教師追問：如果擦掉1塊呢？（出示圖8）

生：我們把沒涂色部分看成1份，涂色部分和沒涂色的同樣多，所以涂色部分是沒涂色的1倍。

生：現(xiàn)在兩部分同樣多，我們也可以把涂色部分看成1份，沒涂色部分是涂色部分的1倍。

師：當(dāng)比較的兩個(gè)量同樣多時(shí)，我們可以把任意1個(gè)量看成標(biāo)準(zhǔn)，另一個(gè)量就是它的1倍。繼續(xù)擦1塊（出示圖9）。

生（由于受到前面圖形的負(fù)遷移，不假思索地說）：涂色部分是沒涂色部分的3倍。

生（聽后馬上激動(dòng)起來）：現(xiàn)在是涂色的部分少?zèng)]涂色部分多，應(yīng)該以涂色的部分為標(biāo)準(zhǔn)，所以應(yīng)該說沒涂色部分是涂色部分的3倍。

大部分學(xué)生恍然大悟，教室里頓時(shí)響起雷鳴般的掌聲。

師：剛才在變化的過程中，雖然正方形的總數(shù)不變，但是涂色和沒涂色的倍數(shù)在不知不覺中發(fā)生了變化。如果我們以小數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，那么比出來的就是“整數(shù)倍”，那如果以大數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)能找到倍數(shù)關(guān)系嗎？

生：不能，以大數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，小數(shù)里面1份都不到，所以就沒有倍數(shù)關(guān)系。

師：其實(shí)除了整數(shù)，還有分?jǐn)?shù)、小數(shù)，大家學(xué)了第八單元就知道謎底了。

[思考]借助“形”直觀體驗(yàn)變化的規(guī)律：總數(shù)不變，但是其中的倍數(shù)關(guān)系發(fā)生變化的過程。而更為精彩的是：當(dāng)沒涂色部分多于涂色部分時(shí)追問“還能以沒涂色部分為標(biāo)準(zhǔn)嗎？”從“整數(shù)比”引出“分?jǐn)?shù)比”，為今后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)做好鋪墊。

（3）線段中的倍數(shù)。

生：我認(rèn)為掃地的人數(shù)是擦桌子的4倍。

師：哪兒來的4倍呀？

生：我以表示擦桌子人數(shù)的線段為標(biāo)準(zhǔn)，它的長(zhǎng)度剛好一個(gè)食指這么長(zhǎng)，而掃地人數(shù)的這條線段剛好有4個(gè)這么長(zhǎng)，所以，掃地的人數(shù)是擦桌子人數(shù)的4倍。

生：我發(fā)現(xiàn)擦桌子的人數(shù)剛好是一塊橡皮這么長(zhǎng)，掃地的人數(shù)有4塊橡皮的長(zhǎng)度。

生：我通過量一量，得出表示擦桌子的這條線段是2厘米，表示掃地的這條線段是8厘米，8里面有4個(gè)2，所以我也認(rèn)為掃地的人數(shù)是擦桌子的4倍。

師：剛才我們通過估一估、比一比、量一量等方法，得出掃地的人數(shù)是擦桌子的4倍。我們一起來驗(yàn)證一下你們的想法（出示圖10）。

[思考]跳出直接“比”，先讓學(xué)生估一估：“掃地的人數(shù)是擦桌子人數(shù)的幾倍?！蔽覀儠?huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的閘門馬上打開了：借助橡皮、手指、尺子進(jìn)行度量?？梢妼W(xué)生已經(jīng)擺脫最初的圈，直接去找“第二行有幾個(gè)第一行”，在不知不覺中已經(jīng)建立起“幾個(gè)幾就是幾倍”的模型。

五、在“聯(lián)”中溝通概念

1. 比較

師：同學(xué)們，以前我們?cè)诒容^兩個(gè)數(shù)“多”和“少”的關(guān)系時(shí)是怎樣比較的？

生：兩個(gè)數(shù)去掉相同的部分后，剩下的就是“多”或“少”部分。（電腦演示圖11）

師：今天研究的倍，我們是怎么進(jìn)行比較的？

生：我們是把第一行看成1份，第二行有這樣的2份，就說第二行是第一行的2倍。（電腦演示圖12）

2.小結(jié)

師：“倍”和我們以前學(xué)習(xí)的“多”和“少”一樣，都是比出來的，不同的是“倍”在比較時(shí)把標(biāo)準(zhǔn)量看作1份，看另一個(gè)數(shù)有這樣的幾份。（板書：比出來的——倍）。

[思考]選擇學(xué)生最初最容易混淆的一幅“畫”讓學(xué)生進(jìn)行“差比”和“倍比”的比較，既徹底地將學(xué)生帶出認(rèn)知盲區(qū)，又溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，幫助學(xué)生重新梳理知識(shí)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

六、在“用”中拓展概念

師：生活中還有很多地方也存在倍數(shù)關(guān)系，比如人體結(jié)構(gòu)中就是以“頭長(zhǎng)”為基本單位，那與“六頭身”存在怎樣的倍數(shù)關(guān)系呢？請(qǐng)打開閱讀材料開始閱讀。

1. 獨(dú)立閱讀思考：什么是“六頭身”

2.交流反饋

生：“六頭身”表示身長(zhǎng)是頭長(zhǎng)的6倍。

師：其他年齡階段頭長(zhǎng)和身長(zhǎng)又是幾倍關(guān)系？

生1：1～2歲身長(zhǎng)是頭長(zhǎng)的4倍。

生2：3～5歲身長(zhǎng)是頭長(zhǎng)的5倍。

……

師：看來人隨著年齡的增長(zhǎng)，頭長(zhǎng)和身長(zhǎng)的倍數(shù)也會(huì)隨之變化，據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，“八頭身”是男女青年的理想身材，請(qǐng)你利用今天學(xué)過的知識(shí)畫出“八頭身”！

[思考]溝通數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，用數(shù)學(xué)“畫”表示生活中的倍數(shù)關(guān)系，揭示人體結(jié)構(gòu)的秘密，深刻感受數(shù)學(xué)的生活性、藝術(shù)性，激發(fā)學(xué)生不斷探究數(shù)學(xué)秘密的興趣。

【教后思考】

對(duì)于“倍的認(rèn)識(shí)”這一課，教師利用數(shù)與圖之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化，搭建抽象思維和形象思維之間的橋梁，瞬間讓數(shù)學(xué)問題由抽象變直觀、由難變易。 這節(jié)課，筆者開展了集“主體性、實(shí)踐性、數(shù)學(xué)味”于一體的“畫倍數(shù)”的活動(dòng)，學(xué)生在自主互助的探究中深刻感悟“倍”的意義。

一、學(xué)生是“畫”的創(chuàng)造者

這節(jié)課中不管是課前的讓學(xué)生畫“2倍”的活動(dòng)，還是課中畫“與眾不同的倍數(shù)”的活動(dòng)，都是要讓學(xué)生充分暴露認(rèn)知上的“錯(cuò)誤”和“不完善”，然后，緊緊抓住學(xué)生畫中的“不完美”元素組織討論交流，讓“倍的意義”越辯越明。整堂課，每個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷了從一開始“盲目地畫”到后來“有計(jì)劃地畫”再到最后“快樂地賞”的過程，學(xué)生始終處于積極主動(dòng)探究的活動(dòng)中，他們是課堂教學(xué)材料和課堂活動(dòng)的主動(dòng)創(chuàng)造者。

二、數(shù)學(xué)化是“畫”的魂

整節(jié)課，教師放手讓學(xué)生在畫、賞、圈等活動(dòng)中找到“1份數(shù)”和“幾份數(shù)”，學(xué)生在直觀圖中積累豐富的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，此時(shí)，教師通過及時(shí)追問“他們畫的兩行圖形的個(gè)數(shù)各不相同，為什么都說三角形的個(gè)數(shù)是圓形的2倍呢？”“如果第二行是第一行的10倍，請(qǐng)你想象一下，畫出來的圖是怎樣的？”“如果以大數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)還能找到倍數(shù)關(guān)系嗎？”等問題，促使學(xué)生不斷思考和分析，感悟“幾個(gè)幾就是幾倍”。課堂中學(xué)生充分經(jīng)歷了從最初的“直觀圖”到后來的“集合圖”和“線段圖”的數(shù)學(xué)化過程，實(shí)現(xiàn)了認(rèn)知從“操作層面”向“結(jié)構(gòu)層面”的升華。

（浙江省瑞安市瑞祥實(shí)驗(yàn)學(xué)校 325000）