賦Orlicz范數(shù)的Musielak Orlicz序列空間的kβ點

左明霞　劉紅嬌

摘要：Musielak?Orlicz空間是經典Orlicz空間的推廣，研究了賦Orlicz范數(shù)的Musielak?Orlicz序列空間的?k?β?點的刻畫問題?首先在Banach空間中引入了?k?β?點的定義，然后給出了賦Orlicz范數(shù)的Musielak?Orlicz序列空間中?k?β?點的判別條件，從而得出了該空間具有局部?k?β?性質的等價條件

關鍵詞：Musielak?Orlicz序列空間;Orlicz范數(shù);?k?β?點;局部?k?β?性質

DOI：10.15938/j.jhust.2019.01.020

中圖分類號： O177.3

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2019）01-0118-06

On the （?k?β?） Points of Musielak?Orlicz Sequence Spaces

Equipped with the Orlicz Norm

ZUO Ming?xia，LIU Hong?jiao

（School of Applied Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：Musielak?Orlicz spaces is the generalization of classical Orlicz spaces?In this paper， we investigated the problem of characterization of the （?k?β?） points in Musielak?Orlicz sequence spaces equipped with the Orlicz norm?Firstly， the definition of （?k?β?） point is introduced?Afterward a criteria for （?k?β?） points in Musielak?Orlicz sequence spaces equipped with the Orlicz norm was given， and then we got the equivalent condition for local property （?k?β?） of these spaces

Keywords：Musielak?Orlicz sequence spaces; Orlicz norm; （?k?β?） points; local property （?k?β?）

1引言及預備知識

β點是?Banach?空間中一個重要的點態(tài)性質，它與一致凸點、緊局部一致凸點以及H點有著密切的聯(lián)系[1]。?Banach?空間X單位球面S（X）上的一點x稱為β點是指對于任意ε>0，存在δ=δ（ε，x）>0，使得對于任意的序列（x?n）S（X）滿足sep（x?n）=?inf?{‖x?n-x?m‖：n≠m}≥ε，都存在正整數(shù)n，使得不等式x+x?n2<1-δ成立[1]。在經典?Orlicz?空間中，β點的判別準則已經由文獻[1]給出。本文對β點的概念進行推廣，引入k?β點的定義。設k為一個正整數(shù)，?Banach?空間X單位球面S（X）上的一點x稱為k?β點是指對于任意ε>0，存在δ=δ（ε，x）>0，使得對于任意的序列（x?n）S（X）滿足sep（x?n）=?inf?{‖x?n-x?m‖：n≠m}≥ε，存在k個正整數(shù)n?1，n?2，…，n?k，使得不等式‖11+k （x?n?1?+x?n?2?+…+x?n?k?+x）‖<1-δ成立。顯然，當k=1時，k?β點就是β點。如果單位球面S（X）上每一點都為k?β點，則稱該?Banach?空間X具有局部k?β性質。?Musielak?Orlicz空間是經典Orlicz空間的推廣，近幾年，對Musielak?Orlicz空間幾何性質及點態(tài)幾何性質的研究已經取得了一些成果[2-4]。 本文將在賦Orlicz范數(shù)的Musielak?Orlicz?序列空間中討論k?β點的刻畫問題，并進一步得到該空間具有局部k?β性質的等價條件。

設X為?Banach?空間，B（X）和S（X）分別表示X的閉單位球和單位球面。

分別表示正整數(shù)集和實數(shù)集。

下面給出?Musielak?Orlicz?序列空間的定義以及一些相關結果[5-8]。

定義1函數(shù)序列M=（M?i）?∞?i=1?稱為一個?Musielak?Orlicz?函數(shù)是指對每一個i∈

1）M?i：（-∞，+∞）→[0，+∞]是偶的、凸函數(shù)，并且在u=0處連續(xù);

2）M?i（0）=0且?lim??u→0?M?i（u）u=0。

稱函數(shù)N?i（v）=?sup??u≥0?{u|v|-M?i（u）}為M?i（u）的余函數(shù)。顯然，N=?（N?i）?∞?i=1?也是一個?Musielak?Orlicz?函數(shù)。用p?i（u）和p?-?i（u）（或q?i（v）和q?-?i（v））分別表示M?i（或N?i）的右導數(shù)和左導數(shù)。

不失一般性，下面假設M?i（1）=1（i∈）。對每一個i∈，定義?b～（i）=?sup?{v≥0：N?i（v）<∞}

定義2稱?Musielak?Orlicz?函數(shù)M=?（M?i）?∞?i=1?滿足δ?2-條件（記為M∈δ?2）是指存在常數(shù)a>0，K>0以及c?i>0（i=1，2，…）滿足∑∞?i=1?c?i<∞，使得

M?i（2u）≤KM?i（u）+c?i（i∈，M?i（u）≤a）

定義3設ε>0，稱?Musielak?Orlicz?函數(shù)M=（M?i）?∞?i=1?滿足δ?ε?2-條件（記為M∈ δ?ε?2）是指存在常數(shù)a>0， K>0以及c?i≥0 （i=1，2，…）滿足∑∞?i=1?c?i≤ε，使得

M?i（2u）≤KM?i（u）+c?i（i∈M?i（u）≤a）

已經證明，若對任意的i∈，u≠0，有M?i（u）>0，則M∈δ?2的充分必要條件為對任意的ε>0，M∈δ?ε?2[9]。

定義4設x=?（x（i））?∞?i=1?是一個實數(shù)列，x關于?Musielak?Orlicz?函數(shù)M=（M?i）?∞?i=1?的模定義為：

ρ?M（x）=∑∞?i=1?M?i（x（i））

線性集

{x=（x（i））：存在λ>0，使得ρ?M（λx）<∞}

關于?Luxemburg?范數(shù)

‖x‖=‖x‖?M=?inf?λ>0：ρ?Mxλ≤1

或?Orlicz?范數(shù)

‖x‖?o=‖x‖?o?M=?sup?∑∞?i=1?x（i）y（i）：ρ?N（y）≤1

=?inf??k>0?1k（1+ρ?M（kx））

皆為?Banach?空間，分別記為l?M和l?o?M，稱為?Musielak?Orlicz?序列空間。h?M和h?o?M是指集合

{x=（x（i））：對任意的λ>0，ρ?M（λx）<∞}

繼承同一范數(shù)形成的l?M和l?o?M的子空間。

文[7]中已經證明l?M=h?M或l?o?M=h?o?M的充分必要條件是M∈δ?2。

對任意的x∈l?o?M，令

supp?x={i∈瘙綃

：x（i）≠0}，

k?*?x=?inf?{k>0：ρ?N（p（k|x|））≥1}，

k?**?x=?sup?{k>0：ρ?N（p（k|x|））≤1}，

K（x）=[k?*?x，k?**?x]，k?**?x<∞

[k?*?x，∞]，k?*?x<∞，k?**?x=∞

，k?*?x=∞，

θ?M（x）=?inf?λ>0：存在i?0∈瘙綃

，∑?i>i?0?M?ix（i）λ<∞。