三項(xiàng)式系數(shù)演示器

劉家軒

一、制作原理

三項(xiàng)式系數(shù)有其數(shù)陣模型，恰為一個(gè)正三棱錐，由此可以找到三項(xiàng)式定理的三棱錐模型，如圖1。

在第n層中，三個(gè)頂點(diǎn)分別為an、bn、cn，離三個(gè)頂點(diǎn)越遠(yuǎn)，對(duì)應(yīng)字母的次數(shù)越低。某一層非邊緣的一個(gè)數(shù)必然位于上層三個(gè)數(shù)的中心（若處于邊緣則為兩個(gè)數(shù)的中間），且其系數(shù)為上層三個(gè)系數(shù)之和。

例如，第四層的abc位于第三層ab ac bc的正中心，而其系數(shù)亦為ab ac bc系數(shù)之和，每個(gè)節(jié)點(diǎn)向下都恰好連接著三個(gè)節(jié)點(diǎn)。由此，可分析得到數(shù)陣模型對(duì)應(yīng)的演示模型，如圖2。

根據(jù)三棱錐模型的特性，我將每個(gè)系數(shù)節(jié)點(diǎn)都換成水罐，每個(gè)水罐與上層的三個(gè)水罐用粗細(xì)相同、長(zhǎng)度相等的水管相連，從最上層水罐倒水，每個(gè)水罐向下都連接三個(gè)水罐。這樣，每個(gè)水罐的水量就是上方相連的水罐總水量的1/3。當(dāng)水全部流至第n層時(shí)，n層內(nèi)水罐水量之比恰為三項(xiàng)式系數(shù)之比。

二、制作演示器

1.材料準(zhǔn)備

亞克力管20根（5cm直徑1根，2.9cm直徑3根，2.4cm直徑16根）及其底板、頂蓋，亞克力柱（高10cm、直徑10mm）、細(xì)水管（內(nèi)徑3mm、壁厚1mm）若干，微型水泵11個(gè)，微型電磁閥10個(gè)，金屬四通20個(gè)，塑膠轉(zhuǎn)接頭40個(gè)。

單片機(jī)開發(fā)板1塊，杜邦線若干，可調(diào)降壓模塊和繼電器各4塊，24V交流轉(zhuǎn)直流電源1個(gè)，交流電源插座1個(gè)，4V單片機(jī)電源線1根。

2.制作過程

（1）將預(yù)制的亞克力管和頂板、底板用膠粘牢，確保邊緣不漏水。

（2）用細(xì)水管將水閥接于水罐上，將水閥用熱熔膠固定在水罐下，將亞克力柱固定在預(yù)制的亞克力孔內(nèi)。

（3）將1～3層的亞克力柱底板預(yù)留孔與微型水泵、四通用水管連接，將四通的三根出水管插入下一層的亞克管上部預(yù)留孔。插入時(shí)應(yīng)注意，每根亞克力管的出水管需插入下一層邊緣的3個(gè)亞克力管預(yù)留孔中。第四層的亞克力管底部接入微型電磁閥，再將電磁閥出水口用水罐連接，最后接入粘貼在第四層底板上的微型水泵進(jìn)水口，將該出水口的水管插入第一層的進(jìn)水口，以實(shí)現(xiàn)循環(huán)演示。

（4）將主體結(jié)構(gòu)、水管等裝好后，用延長(zhǎng)線將微型水泵和微型電磁閥的電源線接在焊有接口的洞洞板上。同一層的微型水泵和微型電磁閥并聯(lián)。

（5）編寫并調(diào)試單片機(jī)程序，連接電路并調(diào)節(jié)輸出電壓。

（6）調(diào)試程序，并在每一根亞克力管壁貼上標(biāo)簽，更改單片機(jī)程序的時(shí)間設(shè)定。

三、演示效果

插上電源，為第一層水罐加水，啟動(dòng)自動(dòng)演示功能。三項(xiàng)式n=0，1，2，3時(shí)相應(yīng)的第0層、第1層、第2層和第3層的容器水位與三項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)，利用水體流動(dòng)表示乘法過程，形象生動(dòng)地展示了（a+b+c）n 這個(gè)抽象的數(shù)學(xué)式。