高應力區(qū)巖石統(tǒng)計損傷本構模型研究

賈 逸，魏良帥，黃安邦，和 銘，黃細超，藍康文

(1. 中國地質(zhì)科學院探礦工藝研究所，四川 成都 611734；2. 中國地質(zhì)調(diào)查局地質(zhì)災害防治技術中心，四川 成都 611734；3. 成都理工大學地質(zhì)災害防治與地質(zhì)環(huán)境保護國家重點實驗室，四川 成都 610059；4. 西南交通大學地球科學與環(huán)境工程學院，四川 成都 610031)

《水利水電工程地質(zhì)勘察規(guī)范》[1]定義高應力區(qū)是指最大主應力超過20 MPa且強度應力比介于2～4的高地應力區(qū)域，深部巷道、隧洞多處于高應力區(qū)[2]。高應力區(qū)巖體具有成巖作用復雜、非均質(zhì)特性明顯和所處應力水平高等特點，往往處于較為復雜的應力狀態(tài)，為大型地下工程、水電工程的安全施工與建設帶來嚴峻挑戰(zhàn)[2]。自從COOK[3]于1965年提出巖石應力-應變關系的概念，人們對于巖石破裂有了更深認識，國內(nèi)外學者對巖石本構關系進行深入研究，構建大量巖石本構模型，但絕大多數(shù)難以闡述高應力區(qū)巖體變形力學特性。深部巖體受上覆巖層荷載和高應力水平影響，其節(jié)理、裂隙等初始缺陷更是復雜，巖體損傷理論將巖體內(nèi)部天然缺陷理想地簡化為巖體的損傷，這與巖體特性較吻合[4-5]。KRAJCINOVIC等[6]基于巖石材料內(nèi)部缺陷隨機分布，有機地結(jié)合了連續(xù)損傷理論與統(tǒng)計強度理論，據(jù)此提出統(tǒng)計損傷的概念。

目前，關于巖石統(tǒng)計損傷本構模型已有很多文獻進行討論分析。曹文貴等[7-10]、劉成學等[11]、韋立德等[12]、蔣維等[13]、石崇等[14]、ZHU等[15]基于LEMAITREL[16-17]應變等價性假說，假定巖石微元強度服從不同概率密度函數(shù)(如WEIBULL分布[8-10,12,14,17]、冪函數(shù)分布[11]、正態(tài)分布[7]等)，并根據(jù)是否考慮損傷閾值、節(jié)理裂隙尺寸和力學參數(shù)變化等情況構建了大量統(tǒng)計損傷本構模型。這類模型對于一般工程巖體變形力學特性雖有較好辨識效果，但對于復雜應力狀態(tài)下的高應力區(qū)巖體未必適用，究其原因，目前基于傳統(tǒng)強度準則所建立的巖石微元強度度量方法對于高應力區(qū)巖體可能存在一定局限。曹文貴等[7-11]對巖石微元強度度量方法進行一些改進，彌補了巖石微元強度的度量方法的一些不足，但現(xiàn)階段針對高應力區(qū)巖石統(tǒng)計損傷模型的研究較少，未有得到廣泛認可的系統(tǒng)性統(tǒng)計損傷本構模型。

已有研究中，確定微元強度的度量方式多是通過傳統(tǒng)MOHR-COULOMB(M-C)準則和DRUCKER-PRAGER(D-P)準則等而建立?；贒-P準則確定微元強度的合理性可能受該準則自身保守性的限制[14]；傳統(tǒng)M-C準則的MOHR強度包絡線近似直線，這樣的近似方法在應力變化范圍較小的淺部低應力區(qū)產(chǎn)生的誤差不大，得到廣大水利水電、巖土行業(yè)學者認可。然而在高應力條件下，應力變化范圍很大，巖石在高應力狀態(tài)下其MOHR強度包絡線將遠遠偏離直線，將MOHR強度包絡線近似為直線可能會造成較大誤差甚至偏于危險[18]。故作者引入一種雙參數(shù)拋物線型MOHR強度準則[19]建立微元強度度量方式，假定由該度量方式得到的微元強度服從冪函數(shù)概率密度分布，由此構建能反映高應力區(qū)巖石變形破壞全過程的統(tǒng)計損傷本構模型，此外對高應力區(qū)巖體損傷累積的擴展過程進行詳細分析。

1 巖石強度準則

傳統(tǒng)M-C準則是目前最常用的巖石強度準則之一，但傳統(tǒng)M-C準則的MOHR強度包絡線為線性，而高應力水平下的巖體處于復雜的非線性應力狀態(tài)下，應力變化范圍很大，傳統(tǒng)的近線性MOHR強度包絡線不適用于高應力區(qū)巖體。已有研究中，MOHR強度包絡線的形式有雙曲線、拋物線和擺線等形式，本文引入一種雙參數(shù)二次拋物線型MOHR破壞準則(圖1)，考慮到剪應力的對稱性，公式如下[19]：

σ=aτ2+b(1)

式中：σ，τ——破壞面上的正應力和剪應力；

a，b——拋物線待定參數(shù)。

圖1 二次拋物線型Mohr破壞包絡線Fig.1 Curves of the parabolic Mohr failure envelope

圖1中(σ1+σ3)/2和(σ1-σ3)/2分別代表巖石在任意應力狀態(tài)下的MOHR圓心坐標和半徑。假設巖石在某一應力狀態(tài)(σ1，σ3)達到屈服，由此可得：

(2)

對MOHR包絡線方程即式(1)求偏微分可得：

(3)

對式(2)求偏微分可得：

(4)

由于包絡線和MOHR應力圓外切，故在外切點曲線斜率相等，聯(lián)立式(3)、(4)得：

(5)

式(1)可變形為：

(6)

將式(5)(6)代入式(2)可得：

(7)

式(7)即本文所建高應力區(qū)巖石強度準則表達式，該式具備一定非線性特征，明顯不同于傳統(tǒng)M-C準則所體現(xiàn)的線性形式。

2 巖石統(tǒng)計損傷本構模型

2.1 基本假定及本構關系

LEMAITREL[18]應變等價性假說的核心假定是宏觀應力σ引起損傷材料上的應變ε與有效應力σ′引起無損材料的應變ε′相等，即：

ε=ε′ (8)

考慮三向應力狀態(tài)，則有：

(9)

式中：D——損傷變量。

假設無損巖石服從廣義HOOKE定律，即：

(10)

式中：E——彈性模量；

μ——泊松比。

由于巖石屈服后存在一個殘余強度，故引入一個損傷修正系數(shù)q[20]，即：

(11)

式中：σr，σ1p——殘余強度和峰值強度。

巖石常規(guī)三軸試驗中，圍壓σ3=σ2，再結(jié)合式(8)～(11)可得損傷本構模型，即：

σ1=Eε1(1-qD)+2μσ3(12)

2.2 統(tǒng)計損傷本構模型

實際上，巖石強度取決于巖石材料中未損部分，本文認為巖石材料一旦受損便失去承載能力，參考曹文貴等[7-11]微元強度度量方法，基于式(7)建立本文高應力區(qū)巖石微元強度度量方式：

(13)

聯(lián)立式(9)、(12)和(13)可得：

(14)

假設巖石微元強度F=f(σ′)[7-14]服從某種概率分布P(F)，則其損傷變量D為：

統(tǒng)計分布主要有Weibull分布[8-10,12,14,17]、冪函數(shù)分布[11]、正態(tài)分布[7]等，冪函數(shù)形式簡單，參數(shù)較少，其概率密度分布函數(shù)P(F)為：

(16)

將式(16)代入式(15)可得：

(17)

結(jié)合式(12)、(14)和(17)可得：

(18)

式(18)即本文所建模型。

3 模型參數(shù)確定

模型參數(shù)的確定是本文模型建立的關鍵，目前主要有兩大類模型參數(shù)確定方法。其一是數(shù)據(jù)擬合法[9]，雖然該方法較為簡單，但擬合求解法不能嚴格滿足各項求解條件，參數(shù)本身物理意義也不明確。其二是多元函數(shù)求極值的方法[11]，利用應力-應變曲線中峰值點的極值性，由此確定的模型參數(shù)不僅物理意義較為明確，更可得到適用于不同應力狀態(tài)的參數(shù)表達式，該方法相較前者更具優(yōu)越性。將式(14)代入(18)再求偏微分得到：

設巖石全應力-應變曲線的峰值點為p，由于其峰值點的極值性，故其峰值條件為：

(20)

將式(20)代入式(19)可得：

式(18)可變形為：

(22)

聯(lián)立式(21)和式(22)可得：

(23)

式(19)～(25)即本文模型參數(shù)m和F0的確定方法。而參數(shù)a,b的取值基于圖1所示的擬合結(jié)果，3個圍壓條件下的參數(shù)a,b值相同。

4 模型驗證

4.1 試驗方案

本次試驗以三疊系中統(tǒng)竹卡組(T2z)英安巖為研究對象，采用YSJ-01-00巖石三軸流變試驗機進行常規(guī)三軸壓縮試驗，試樣取自某水電站壩肩邊坡平洞洞底，取樣點實測最大主應力22 MPa，強度應力比2.7，平洞開挖過程中未見巖爆現(xiàn)象，洞壁巖體有較多新生裂隙，存在剝離和掉塊現(xiàn)象，參考《水利水電工程地質(zhì)勘察規(guī)范》[1]認為該區(qū)域?qū)儆诟邞^(qū)。取樣后密封運回實驗室制備成Φ50 mm ×100 mm的圓柱樣，圍壓設置為10，20，30 MPa。圖2為巖樣典型破壞形態(tài)，以張剪組合破壞和剪切破壞為主。

圖2 巖樣破壞形態(tài)Fig.2 Failure pattern of rock specimen

4.2 模型驗證

現(xiàn)通過高應力區(qū)英安巖變形破壞全過程曲線對本文模型進行驗證。引用文獻[9]中基于線性M-C準則所建立的適用于淺部地層低應力水平巖石的統(tǒng)計損傷本構模型，與本文所建適用于高應力區(qū)巖石的統(tǒng)計損傷本構進行對比驗證。表1為本文模型參數(shù)，圖3為兩種模型的試驗值與預測值對比曲線。由圖3可看出，本文所建模型的理論曲線與試驗曲線吻合較好，平均相關性系數(shù)為0.988 2，誤差較小，而文獻[9]模型的理論曲線難以描述高應力區(qū)英安巖的峰后階段，高應力區(qū)英安巖有較大的應力變化范圍，文獻[9]模型對于高應力區(qū)英安巖的峰值強度和殘余強度的識別誤差較大，平均相關性系數(shù)僅有0.795 3，實際工程應用可能會出現(xiàn)較大誤差甚至偏于危險。本文所建模型能夠較好地辨識高應力區(qū)英安巖應力-應變?nèi)^程曲線。為了驗證本文模型對高應力區(qū)其它巖石的適用性，引用文獻[21]、[22]中高應力區(qū)砂巖和高應力區(qū)花崗巖的三軸壓縮試驗數(shù)據(jù)，模型驗證結(jié)果如圖4、圖5所示。

表1 統(tǒng)計損傷本構模型參數(shù)Table 1 Parameters of the statistical damage model

由圖4、圖5可看出，本文所建模型對高應力區(qū)砂巖和花崗巖的辨識效果較好，證明本文模型反映高應力區(qū)巖石變形破壞全過程的適用性。

圖3 模型預測對比Fig.3 Model prediction contrast

圖4 高應力區(qū)砂巖擬合對比曲線Fig.4 Fitting contrast curves for sandstone in high stress areas

圖5 高應力區(qū)花崗巖擬合對比曲線Fig.5 Fitting contrast curves for granite in high stress areas

4.3 累積損傷的擴展過程

巖石變形破壞過程實際上是累積損傷的擴展過程。圖6為依據(jù)式(17)繪制的英安巖損傷累積曲線。圖6曲線近似“S”型曲線，該曲線初始階段損傷無明顯累積，對應巖石初始加載時應變量較小。接著是迅速攀升階段，對應隨著巖石逐漸加載，內(nèi)部微裂紋相互摩擦擠壓，損傷不斷累積匯聚。最后曲線漸緩，表明巖石內(nèi)部結(jié)構完全破壞。對比圖3、圖6發(fā)現(xiàn)，在不同圍壓下，巖石損傷皆在峰值點附近開始迅速累積，在相同的損傷量下，高圍壓的軸向應變總是高于低圍壓，說明低圍壓的損傷累積更快，圍壓可能會抑制損傷累積擴展。

圖6 損傷累積曲線Fig.6 Cumulative damage curves

5 結(jié)論

(1)通過研究英安巖在高應力狀態(tài)下的變形力學特性，引入適用于高應力區(qū)巖體的雙參數(shù)拋物線型Mohr強度準則，建立一種適用于高應力區(qū)巖石的微元強度度量方式。假定本文微元強度度量方式服從冪函數(shù)概率密度分布，結(jié)合連續(xù)損傷理論，考慮損傷變量修正，構建高應力區(qū)巖石統(tǒng)計損傷本構模型。

(2)通過引用基于線性Mohr強度準則而建適用于淺部低應力水平巖體的相關統(tǒng)計損傷模型，依據(jù)英安巖試驗數(shù)據(jù)與本文所建模型進行對比驗證，證明本文引入的雙參數(shù)拋物線型Mohr強度準則應用于高應力區(qū)巖體的優(yōu)越性，驗證了本文模型的可行性和正確性。并采用相關文獻中高應力區(qū)砂巖及花崗巖試驗數(shù)據(jù)進行辨識，證明本文模型描述高應力區(qū)巖石變形破壞全過程的合理性和適用性。

(3)分析英安巖累積損傷的擴展過程，巖石損傷曲線近“S”型，峰值點附近損傷迅速累積，最后無限趨近于1，圍壓對損傷累積擴展具有抑制作用。