三角形在折疊背景下的變式探究與應(yīng)用

馬興官

摘要：本文以一道折疊三角形的題目為例，引導(dǎo)學(xué)生動手操作，助推抽象思維、空間想象思維的生長，真正體會到數(shù)學(xué)解題思路的形成來源于哪里，用在哪里，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)涵的學(xué)習(xí)意義.

關(guān)鍵詞：變式探究;設(shè)元構(gòu)建;通性通法

1 問題提出

例如圖1，翻折AABC，使得點C與點B重合，折痕DE分別交邊AC，BC于點D，E，連結(jié)BD.能得到哪些結(jié)論？

解析 由折疊可得到ADCE與ADBE關(guān)于直線DE對稱，所以由軸對稱的性質(zhì)可知ADCE≌ADBE.

因為點C與點B重合，所以DE垂直平分BC.即DB= DC.從而得到∠C=∠DBC.

本題是折疊三角形中的一個角，使這個角的頂點落在另一個頂點上（特殊情況）而得到的一些隱含的結(jié)論，若這個角的頂點落在三角形的邊上、三角形的內(nèi)部或外部等非特殊情況時，又可以衍生出哪些新的問題或可以編擬哪些試題.

2 變式探究

2.1 點C落在三角形的頂點上

變式1如圖1，∠C =40°，翻折AABC，使得點C與點B重合，折痕DE分別交邊AC，BC于點D，E，連結(jié)BD.若△ABD恰好是等腰三角形，求∠ABC的度數(shù).

解因為翻折△ABC，使得點C與點B重合，所以△DCE≌△DBF.

所以∠C= ∠CBD =40°，∠ADB= 80°.

若△ABD恰好是等腰三角形，則AD =AB或AD=BD或AB= BD.

當(dāng)AD =AB時，∠ABD= ∠BDA= 80°，

所以∠ABC =40° +80°= 120°;

當(dāng)AD=BD時，∠A= ∠ABD=180°-80°/2=50°，

所以∠ABC =40° +50° =90°;

當(dāng)AB= BD時，∠ABD =180°-80°×2=20°，

所以∠ABC= 40° +20°=60°.

所以當(dāng)△ABD恰好是等腰三角形時，∠ABC的度數(shù)為120°或90°或60.

點評 通過三角形的折疊產(chǎn)生全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)定理得到邊、角的對應(yīng)相等關(guān)系;其次，AABD是等腰三角形，但不能確定哪兩條邊是相等的，所以利用分類討論的數(shù)學(xué)思想及設(shè)元構(gòu)建方程模型進(jìn)行解答得到三種答案.

2.2 點C落在AABC的對邊上

變式2如圖2，∠BAC =60°，翻折△ABC，使得點C落在AB邊上的點D處，折痕AE交邊AB于點E，連結(jié)DE.若ABDE恰好是等腰三角形，求∠ABC的度數(shù).

解由折疊可知∠BAE=∠CAE=1/2∠BAC=1/2×60°= 30°， ∠C=∠ADE，且∠C+∠B =180°- 60°= 120°.

設(shè)∠B =x，則∠C =120° -x.

所以∠BDE =180°- ∠ADE =60°+x.

所以∠BED =120° -2x.

若△BDE恰好是等腰三角形，則BD= BE或BD= DE或BE= DE.

當(dāng)BD= BE時，∠BDE=∠BED，所以60° +x=120°- 2x，解得x=20°;

當(dāng)BD= DE時，∠B= ∠BED，所以x=120°- 2x，解得x= 40°;

當(dāng)BE= DE時，∠B=∠BDE，所以x=60°+x，無解.

所以當(dāng)△BDE恰好是等腰三角形時，∠ABC的度數(shù)為20°或40°.

點評通過折疊變換使點C的對應(yīng)點從特殊位置到非特殊位置，但依舊滿足折疊前后的兩個三角形全等;其次，△BDE恰好是等腰三角形，類似上述分析解法，易得結(jié)果.

2.3 點C落在△ABC的內(nèi)部

變式3如圖3，在△ABC中，AB =AC，∠BAC=64°，AG是BC邊上的中線，翻折AABC，使得點C落在AG邊上的點F處，折痕為DE，連結(jié)BF.若BF是∠ABC的平分線，求∠EFG的度數(shù).

解由翻折知EF= EC.

所以∠EFC= ∠ECF=1/2∠FEG.

因為AB =AC，AG是BC邊上的中線，由“等腰三角形的三線合一”性質(zhì)，知AG垂直平分BC.

連結(jié)FC，得BF= FC，所以∠FBC= ∠FCB.

因為BF是∠ABC的平分線，所以∠FCB=∠FBC=1/2∠ABC=1/2×180°-64°/2=29°，

所以∠FEG =2∠ECF =2 x29° =58°.

所以∠EFG =90° -58° =32°.

點評 在變式2的基礎(chǔ)上，通過折疊的動態(tài)變化，使點C的對應(yīng)點落在三角形的內(nèi)部而產(chǎn)生新的圖形，新的問題從圖形的直觀上感知圖形由簡單變?yōu)閺?fù)雜，顯然難度也隨之提升.解決問題的關(guān)鍵是能否挖掘折疊中所隱含的要素（EF= EC），以及對等腰三角形的性質(zhì)定理的認(rèn)知程度（AG垂直平分BC）和“在同一個三角形中，等邊對等角”的性質(zhì)定理的應(yīng)用能力.

變式4 如圖4，在AABC中，AB= AC，∠BAC=64°，AG是BC邊上的中線，翻折△ABC，使得點C落在AG邊上的點F處，折痕為DE.若點F在AB的垂直平分線上時，即FH垂直平分AB，求∠EFG的度數(shù).

解由翻折知EF= EC.

所以∠EFC= ∠ECF=1/2∠FEG.

因為AB =AC，AG是BC邊上的中線，由“等腰三角形的三線合一”性質(zhì)，知AG垂直平分BC.

因為點F在AB的垂直平分線上，連結(jié)BF，得AF= BF =FC.

所以∠ABF=∠BAF=1/2∠BAC=1/2×64° =32°，

∠FCB=∠FBC=180°-64°/2一32° =26°.

所以∠FEG=2∠FCG=2 x26° =52°.

所以∠EFG= 90°-52°=38°.

點評在變式3的基礎(chǔ)上，從點F落在∠ABC的平分線上改變?yōu)槁湓诰€段AB的垂直平分線上而產(chǎn)生新的問題.所以利用線段中垂線的性質(zhì)定理“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”，連結(jié)BF、FC構(gòu)造輔助線段，得到三條相等的線段（FA= FB=FC），再利用變式3的解法進(jìn)行解答探究.

2.4 點C落在AABC的外部

變式5如圖5，在△ABC中，已知AB =AC，∠A= 52°，翻折△ABC，使得點C落在△ABC的外部點D處，折痕為EF，若ADCH是等腰三角形，求∠CFE的度數(shù).

解因為AB =AC，∠A =52。，

所以∠B=∠C=180°-52°/2=64°.

由折疊知∠CFE= ∠DFE =x，∠C= ∠D =64°.

所以∠DHG= ∠BHF= ∠HFC - ∠B =2x -64°.

所以∠DGH =180° -2x·

若△DCH是等腰三角形，則DC= DH或DC= HG或DH =HG.

當(dāng)DG= DH時，∠DGH=∠DHG，所以180°- 2x= 2x - 64°，解得x=61°;

當(dāng)DG= HG時，∠D=∠DHG，所以64°=2x -64°，解得x= 64°;

當(dāng)DH= HG時，∠D=∠DGH，所以64° =180° -2x，解得x=58°.

所以當(dāng)△DGH是等腰三角形時，∠CFE的度數(shù)為61°或64°或58°.

點評 利用折疊操作的隨意性，把點C的對應(yīng)點的位置從三角形內(nèi)部移到三角形的外部時，再添加一些條件而產(chǎn)生新的問題.由折疊的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)對應(yīng)角相等（∠CFE=∠DFE，∠C= ∠D），結(jié)合設(shè)元建立含參數(shù)的代數(shù)式表示ADGH的各個內(nèi)角的度數(shù)，利用△DGH是等腰三角形進(jìn)行分類討論和方程思想解決問題.

以上論述的是通過三角形的折疊問題.即圍繞某一數(shù)學(xué)主題（點的位置變化），通過知識聚焦整合，設(shè)計一系列的問題，探究充滿未知的神奇經(jīng)歷，使試題自然的變式生長拓展，在解決問題的方法中利用分類討論思想、方程思想、中垂線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等探尋通性通法，追求“解一題，會一片”的效果;其次，問題的解決依賴于對折疊中所隱藏的圖形位置和數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識與理解，如：圖形折疊后，可以得到對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等，對稱軸垂直平分對稱點的連線段的性質(zhì)而添加相應(yīng)的輔助線揭示圖形的本質(zhì)規(guī)律，感受幾何圖形的魅力.

3 拓展應(yīng)用

例2 在△ABC中，∠B =2∠C.

（1）如圖6，若D為線段BC上一點，AD平分∠BAC，猜想AB，BD，AC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（2）如圖7，若AB =5，BC =11，求△ABC的面積.

解 （1）猜想：AC =AB +BD.

理由：如圖6，因為AD平分∠BAC，

所以∠BAD=∠CAD.

所以把△ABC沿AD折疊，則點曰落在射線AC的點B1處.由折疊的性質(zhì)可得AB =AB1，∠B= ∠AB1D，BD= B1D.因為∠B =2∠C，所以2∠C=∠AB1D=∠C+ ∠B1DC，即∠C= ∠B1DC.

所以BD= DB1 =B1C.

因為AC =AB1 +B1C，所以AC =AB +BD.

（2）如圖7，折疊△ABC使點B落在射線BC的點F處，折痕為AE.

由折疊知AB =AF，AE垂直平分BF.

所以∠B=∠AFB，BE= EF.

因為∠B =2 ∠C，所以2∠C=∠AFB=∠C+∠CAF.所以∠C=∠CAF.

所以FC =AF =AB =5.

所以BE= EF =1/2BF=1/2×（11 -5） =3.

所以AE：√AF²-FE²=√5²-3²=4.

所以S△ABC=1/2·BC·AE：1/2xll x4：22.

點評 正如喻平教授所講：數(shù)學(xué)知識分為三個能級，即知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新.本題在理解三角形折疊變化所產(chǎn)生的新的問題和解題方法，通過知識的遷移，方法的引領(lǐng)，發(fā)現(xiàn)本題的（1）、（2）兩小題同樣可以通過折疊的方式解決，讓所學(xué)知識在實際問題的解答中充分的發(fā)揮作用，即學(xué)以致用.

4 結(jié)束語

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾提出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，而動手操作正是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的催化劑.本文沿著“操作探究——運算推理——操作探究——深化應(yīng)用”的軌跡，探究圖形變換的性質(zhì)，感悟圖形研究中運動變換的思想，以動態(tài)和相互聯(lián)系的觀點理解圖形的性質(zhì)和相互關(guān)系，發(fā)現(xiàn)運動中的變與不變，研究變化中的數(shù)量關(guān)系，整個過程體現(xiàn)了“做數(shù)學(xué)、思數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的理念;其次，通過動手操作的方式引導(dǎo)學(xué)生用自己的思維方式重新變換創(chuàng)造，進(jìn)一步助推抽象思維、空間想象思維的生長，真正體會到數(shù)學(xué)解題思路的形成來源于哪里，用在哪里，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)涵的學(xué)習(xí)意義.