一元初等函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)探討

劉慶軍

摘要：一元初等函數(shù)求導(dǎo)是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。本文通過(guò)分析初等函數(shù)表達(dá)式的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，即函數(shù)間的運(yùn)算關(guān)系，包括四則運(yùn)算及復(fù)合運(yùn)算，提出一種基于“運(yùn)算結(jié)構(gòu)”的求導(dǎo)方法，從而正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

關(guān)鍵詞：初等函數(shù);運(yùn)算結(jié)構(gòu);復(fù)合函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0???? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A???? 文章編號(hào)：1674-9324（2019）13-0220-02

一、引言

高等數(shù)學(xué)一元微積分研究的重要內(nèi)容是初等函數(shù)，其表達(dá)式中不僅包含函數(shù)，還含有由這些函數(shù)組成的多種運(yùn)算結(jié)構(gòu)，主要有四則運(yùn)算及復(fù)合運(yùn)算。對(duì)初等函數(shù)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，有利于正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

二、基本知識(shí)回顧

（一）復(fù)合函數(shù)

定義1：設(shè)函數(shù)y=f（u）的定義域?yàn)镈，函數(shù)u=g（x）的定義域?yàn)镈，且其值域R？奐D，則y=f[g（x）]，x∈D，稱(chēng)為由函數(shù)y=f（u）與u=g（x）構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，u稱(chēng)為中間變量。一般地，稱(chēng)y=f（u）為外函數(shù)，u=g（x）為內(nèi)函數(shù)。

（二）初等函數(shù)

定義2：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù)。

（三）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)y=f（u），u=g（x）且f（u）及g（x）都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]的導(dǎo)數(shù)為=·

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則又稱(chēng)為鏈?zhǔn)椒▌t，按照復(fù)合函數(shù)的定義，分解出內(nèi)外層函數(shù)，由外往內(nèi)逐層求導(dǎo)。此法則可推廣到三層以上的復(fù)合函數(shù)。

三、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，首先分析初等函數(shù)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，即初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)了哪些四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算以及這些運(yùn)算的先后順序;其次基于這些運(yùn)算的先后順序，綜合運(yùn)用四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)初等函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)。

例1：求f（sinx）=sinx-3sinx+1的導(dǎo)數(shù)。

分析一：f（sinx）的運(yùn)算結(jié)構(gòu)為：sinx、-3sinx、1三個(gè)函數(shù)之和，sinx看成是sinx與sinx的乘積。對(duì)f（sinx）應(yīng)用四則運(yùn)算（加減法）的求導(dǎo)法則。

解一：f′（sinx）=（sinx·sinx）′-3（sinx）′+（1）′

=2cosx·sinx-3cosx

=2（sinx-3）·cosx

分析二：f（sinx）的運(yùn)算結(jié)構(gòu)為：由外函數(shù)f（u）=u2-3u+1與內(nèi)函數(shù)u=sinx復(fù)合而成。對(duì)f（sinx）應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

解二：f′（sinx）=·

=（2u-3）·u′

=2（sinx-3）·cosx

分析三：f（sinx）的運(yùn)算結(jié)構(gòu)為：sinx、-3sinx、1三個(gè)函數(shù)之和，sinx是由外函數(shù)u與內(nèi)函數(shù)u=sinx復(fù)合而成。對(duì)f（sinx）首先應(yīng)用四則運(yùn)算（加減法）的求導(dǎo)法則，在計(jì)算sinx的導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

解三：f′（sinx）=（sinx）′-3（sinx）′+（1）′

=2sinx·（sinx）′-3cosx

=2（sinx-3）·cosx

由例1可以看出，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，同一函數(shù)的不同運(yùn)算結(jié)構(gòu)，運(yùn)用的求導(dǎo)法則也會(huì)不同。一旦運(yùn)算結(jié)構(gòu)分析錯(cuò)誤，就很難正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。其中，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在計(jì)算中也容易出錯(cuò)，與復(fù)合運(yùn)算分解不徹底有關(guān)。

例2：求y=e的導(dǎo)數(shù)。

分析：y=e的運(yùn)算結(jié)構(gòu)為：由外函數(shù)y=e與內(nèi)函數(shù)u=sin2x+復(fù)合而成，u=sin2x+是sin2x與之和，而sin2x與還是復(fù)合函數(shù)，其中sin2x是sinv與v=2x復(fù)合而成，是與w=x+1復(fù)合而成。

y=e的求導(dǎo)過(guò)程為：對(duì)y=e應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，在計(jì)算u=sin2x+的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先應(yīng)用四則運(yùn)算（加法）的求導(dǎo)法則，然后對(duì)sin2x與分別應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

解：=e

=（sin2x）′+（）′=2cos2x+

=·=（2cos2x+）·e

例3：求y=cosnxcosnx的導(dǎo)數(shù)。

分析：y=cosnxcosnx的運(yùn)算結(jié)構(gòu)為：cosnx與cosnx的乘積，而cosnx與cosnx都是復(fù)合函數(shù)，其中cosnx是un與u=cosx復(fù)合而成，cosnx是cosv與v=nx復(fù)合而成。

y=cosnxcosnx的求導(dǎo)過(guò)程為：首先應(yīng)用四則運(yùn)算（乘法）的求導(dǎo)法則，然后對(duì)cosnx與cosnx分別應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

解：=（cosnx）′·cosnx+cosnx·（cosnx）′

（cosnx）′=ncosn-1x·（-sinx）

（cosnx）′=（-sinnx）·n

=-ncosn-1x·（sinx·cosnx-cosx·sinnx）

四、小結(jié)

在給學(xué)生講解初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)注重對(duì)函數(shù)表達(dá)式運(yùn)算結(jié)構(gòu)的分析，結(jié)構(gòu)分析準(zhǔn)確是正確求導(dǎo)的基礎(chǔ)，并用典型例題加以講解，能夠取得非常好的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2007.

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A Probe into the Teaching of the Derivative of the Elementary Function

LIU Qing-jun

（Department of Basic Teaching and Research，ChongQing Police College，Chongqing 401331，China）

Abstract：The derivative of one-dimensional elementary function is an important part of higher mathematics.In this paper，by analyzing the operating structure of the expression of elementary function，that is，the operating relationship between functions，including four arithmetic operations and composite operations，a method of derivation based on "operating structure" is proposed.Thus the derivative of the function is correctly obtained.

Key words：elementary function;operating structure;composite function