淺談機(jī)電一體化技術(shù)專業(yè)中《復(fù)變函數(shù)與積分變換》的教學(xué)方法

高圓圓

摘要：《復(fù)變函數(shù)與積分變換》是機(jī)電一體化技術(shù)專業(yè)必修的基礎(chǔ)課程，由于其數(shù)學(xué)理論難度較大，公式定理較為復(fù)雜，大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)感到困難，無序可循。而數(shù)學(xué)專業(yè)出身的教師，缺乏該課程在解決機(jī)電領(lǐng)域?qū)嶋H問題的經(jīng)歷，因此不容易把握對(duì)于機(jī)電一體化專業(yè)學(xué)生的教學(xué)思路和方法。本文結(jié)合多年為機(jī)電專業(yè)學(xué)生教授本課程的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出針對(duì)機(jī)電一體化技術(shù)專業(yè)學(xué)生講授該門課程時(shí)需把握的若干教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：《復(fù)變函數(shù)與積分變換》;機(jī)電一體化技術(shù);教學(xué)思路

中圖分類號(hào)：G642.0???? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A???? 文章編號(hào)：1674-9324（2019）13-0206-02

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》是工科類專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課程，它是研究復(fù)數(shù)自變量復(fù)值函數(shù)的分析課程，包含復(fù)變函數(shù)和積分變換兩大部分。在一定程度上可以說，該課程是微積分學(xué)的推廣。獨(dú)立成為一門課程則是因?yàn)樗兄约邯?dú)特的研究對(duì)象和數(shù)學(xué)方法[1]。對(duì)于解決工程問題，尤其是機(jī)電一體化領(lǐng)域內(nèi)的自動(dòng)控制、系統(tǒng)分析等問題有著非常重要的作用。因此，在機(jī)電一體化領(lǐng)域的專業(yè)課程學(xué)習(xí)之前，開設(shè)《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程起到了至關(guān)重要的鋪墊和準(zhǔn)備作用?，F(xiàn)就該課程在針對(duì)機(jī)電一體化技術(shù)專業(yè)學(xué)生的授課過程中的一些問題進(jìn)行如下闡述。

一、積極類比高等數(shù)學(xué)的綱領(lǐng)性內(nèi)容，明確復(fù)變函數(shù)與積分變換的知識(shí)主線

機(jī)電一體化技術(shù)專業(yè)的學(xué)生在大一年級(jí)都會(huì)將《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)完畢，之后才會(huì)在大二年級(jí)中的第一學(xué)期學(xué)習(xí)《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程，因此學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思路會(huì)很自然地從高等數(shù)學(xué)上嫁接過來。《復(fù)變函數(shù)與積分變換》的主干知識(shí)鏈接起來為：變量—函數(shù)—極限—導(dǎo)數(shù)—微分—級(jí)數(shù)—積分變換，這樣的知識(shí)脈絡(luò)的確和高等數(shù)學(xué)有著相似之處，因此在復(fù)變函數(shù)與積分變換的教授之初就應(yīng)當(dāng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)這一學(xué)習(xí)思路。

在講解復(fù)變函數(shù)的主干知識(shí)點(diǎn)時(shí)，也可以積極類比高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)，舉例如下。

1.對(duì)復(fù)變函數(shù)極限的講解。復(fù)變函數(shù)極限的概念與一元實(shí)變函數(shù)極限的定義有著本質(zhì)的區(qū)別，但是在形式上相似，取值的思想一致。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從原有實(shí)變函數(shù)的極限概念上過渡過來，理解復(fù)變函數(shù)的極限問題。同時(shí)，也要著重強(qiáng)調(diào)其區(qū)別，即一元實(shí)變函數(shù)的極限limf（x）中的x→x₀是指在x₀的鄰域內(nèi)，x沿著數(shù)軸從x₀的左右兩個(gè)方向趨于x₀，從而產(chǎn)生了左極限和右極限的概念，而對(duì)于復(fù)變函數(shù)的極限limf（z）而言，z趨近于z₀的方式則是任意的，即從四面八方任意方向趨近于z₀。與之相關(guān)的復(fù)變函數(shù)的連續(xù)問題，也可按照這種方法來講解，即將復(fù)變函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在z₀點(diǎn)處的連續(xù)等價(jià)為高等數(shù)學(xué)中兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)u（x，y），v（x，y）在（x₀，y₀）的連續(xù)問題。這樣可以降低對(duì)復(fù)變函數(shù)極限、連續(xù)問題的理解難度，化解學(xué)生的畏難情緒，更好地掌握這樣的基礎(chǔ)性知識(shí)點(diǎn)。

2.對(duì)初等函數(shù)的講解。復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域內(nèi)有指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等，雖然它們是被推廣到復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的函數(shù)，與實(shí)數(shù)函數(shù)有著本質(zhì)的區(qū)別，但其形式上與相對(duì)應(yīng)的一元實(shí)變函數(shù)相似。因此，教師在講解這一問題時(shí)，就可以積極引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)變函數(shù)中的相關(guān)性質(zhì)移植過來，例如指數(shù)函數(shù)的周期性、乘法計(jì)算規(guī)則等;三角函數(shù)的周期性、奇偶性以及一階導(dǎo)數(shù)公式等。同時(shí)，需要強(qiáng)調(diào)其差別，如三角函數(shù)在復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域內(nèi)是無界的，在實(shí)變函數(shù)內(nèi)卻是有界的;對(duì)數(shù)函數(shù)在復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域內(nèi)是多值函數(shù)，在實(shí)變函數(shù)內(nèi)卻是單值函數(shù)等。

二、緊扣機(jī)電一體化領(lǐng)域中要解決的實(shí)際問題，重點(diǎn)講解所需的數(shù)學(xué)理論

按照機(jī)電一體化技術(shù)專業(yè)的人才培養(yǎng)方案，《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程結(jié)束之后，才可以開設(shè)《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》、《傳感器與檢測(cè)技術(shù)》等專業(yè)核心課程。這些專業(yè)課程中會(huì)涉及《復(fù)變函數(shù)與積分變換》中的很多數(shù)學(xué)理論，而這些工程應(yīng)用，對(duì)于大部分學(xué)生來說，在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)與積分變換的過程中，不能預(yù)先感受到所需的數(shù)學(xué)理論有哪些，無法體會(huì)這門工程數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的作用，就會(huì)引起學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力不足，加之公式復(fù)雜煩瑣，學(xué)生的困難感就會(huì)加劇。如果教師在教授過程中沒有引入實(shí)際工程問題去做應(yīng)用型的講解，也會(huì)導(dǎo)致學(xué)生沒有重點(diǎn)的去學(xué)習(xí)，僅憑自我興趣進(jìn)行取舍，從而出現(xiàn)在后續(xù)學(xué)習(xí)這些專業(yè)核心課程時(shí)，遇到數(shù)學(xué)理論不扎實(shí)、定理含義不明確等問題，再回頭去《復(fù)變函數(shù)與積分變換》中查找定理、定義，再考慮其應(yīng)用問題，從而增加學(xué)習(xí)專業(yè)核心課程的難度。因此，在《復(fù)變函數(shù)與積分變換》的授課過程中，應(yīng)當(dāng)在以下幾點(diǎn)適當(dāng)引入機(jī)電一體化領(lǐng)域中的實(shí)例進(jìn)行講解。

1.講解傅里葉變換部分要與《傳感器與檢測(cè)技術(shù)》中的信號(hào)處理部分相結(jié)合。在機(jī)電一體化技術(shù)的專業(yè)課程《傳感器與檢測(cè)技術(shù)》中，會(huì)涉及傳感檢測(cè)系統(tǒng)的信號(hào)進(jìn)行處理的部分，要求學(xué)生將周期信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，將非周期信號(hào)展開為傅里葉變換，進(jìn)而繪制信號(hào)的傅里葉頻譜圖。而這一部分即為傅里葉變換的工程應(yīng)用之一。因此，教師在授課時(shí)，可將傳感器中的信號(hào)處理問題列舉部分實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握傅里葉變換的方法。

2.講解拉普拉斯變換部分要與《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》中的傳遞函數(shù)的推導(dǎo)、系統(tǒng)框圖的建立相結(jié)合?！稒C(jī)械工程控制基礎(chǔ)》是經(jīng)典控制理論的基本內(nèi)容[2]，是實(shí)現(xiàn)機(jī)電領(lǐng)域內(nèi)自動(dòng)控制所需的基礎(chǔ)性控制理論，但也是機(jī)電一體化專業(yè)的學(xué)生普遍感到困難的專業(yè)核心課程之一，主要是因?yàn)樯婕暗臄?shù)學(xué)理論較為復(fù)雜，尤其是在很大程度上借助了復(fù)變函數(shù)和拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法。在機(jī)電領(lǐng)域中，要想對(duì)某一機(jī)械系統(tǒng)或電學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，最重要的步驟就是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并且用系統(tǒng)框圖的形式表示出來。而框圖中的每一個(gè)環(huán)節(jié)就是工程實(shí)際模塊對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的推導(dǎo)來源于對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，這也是拉普拉斯變換在機(jī)電領(lǐng)域中最重要的應(yīng)用之一。因此，在講授《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程中的拉普拉斯變換時(shí)，如果能夠以機(jī)電領(lǐng)域中典型的工程模型，如質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)、液壓伺服系統(tǒng)、二端口電網(wǎng)路等為例，結(jié)合學(xué)生在大學(xué)物理課程中已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)力學(xué)公式、電學(xué)定律來建立微分方程，應(yīng)用拉普拉斯變換進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出代數(shù)形式的傳遞函數(shù)，學(xué)生會(huì)更加明確學(xué)習(xí)的內(nèi)容及應(yīng)用意義，加深對(duì)拉普拉斯變換的重要性認(rèn)識(shí)，并且當(dāng)再學(xué)到《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》等專業(yè)課程中的系統(tǒng)模型建立時(shí)，也會(huì)很容易利用復(fù)變函數(shù)與積分變換中的拉普拉斯變換這一重要的數(shù)學(xué)理論工具。

三、及時(shí)歸納關(guān)聯(lián)問題，總結(jié)有助于機(jī)電領(lǐng)域?qū)嶋H問題的工程數(shù)學(xué)思路

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程的開篇為復(fù)數(shù)、解析函數(shù)，而后就開始進(jìn)入復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算問題，而這一問題也潛伏在后續(xù)的級(jí)數(shù)、留數(shù)等問題中。復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算能力在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，屬于較為難掌握的數(shù)學(xué)能力之一，學(xué)生會(huì)感到在面對(duì)各種復(fù)雜的積分計(jì)算的題目時(shí)，不知如何尋找求解的方法。與此同時(shí)，他們也會(huì)感到涉及復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算的公式、定理有很多，如柯西積分定理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、留數(shù)定理、特殊類型積分等，不知該作何選擇。這就要求授課教師在講解《復(fù)變函數(shù)與積分變換》的過程中，要把握前后章節(jié)中潛在的同類型問題的講解思路，及時(shí)歸納計(jì)算積分的不同情況的應(yīng)對(duì)方法，明確各種情況下選擇計(jì)算方法的策略，使得學(xué)生在眾多解決積分計(jì)算問題的途徑中思路清晰。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉吉佑.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].第1版.北京：高等教育出版社，2015.

[2]董霞，李天石，陳康寧.機(jī)械工程控制基礎(chǔ)[M].第1版.機(jī)械工業(yè)出版社，2012.

On the Teaching Method of "Complex Variable Function and Integral Transformation"

in Mechatronics Technology Specialty

GAO Yuan-yuan

（Qingdao Campus ，Technological Vocational College of Dezhou，Jimo，Shandong 266232，China）

Abstract："Complex Variable Function and Integral Transformation" is a compulsory basic course for the major of mechatronics technology.Because of its great difficulty in mathematical theory and complicated formula and theorem，most students find it difficult and disorderly to study.However，the teacher majoring in mathematics lacks the experience of solving the practical problems in the field of electromechanical，so it is not easy to grasp the teaching ideas and methods for the students majoring in mechatronics.Based on the experience of teaching this course for many years for the students majoring in mechanical and electrical engineering，this paper summarizes some teaching methods which should be grasped when teaching this course to the students majoring in electromechanical integration technology.

Key words："Complex Variable Function and Integral Transformation";mechatronics technology;teaching thought