與常數(shù)列相關(guān)的兩個結(jié)論的妙用

江蘇省姜堰中學(xué)數(shù)學(xué)組 (郵編：225500)

眾所周知，如果一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，那么它一定是非零常數(shù)列.其實，以下兩個與常數(shù)列相關(guān)的結(jié)論，看似簡單明了，解題中如果巧妙運用，常可以另辟蹊徑.

結(jié)論1 設(shè)A、B是已知常數(shù)，若無窮等差數(shù)列{an}滿足：A

結(jié)論2 設(shè)A、B是已知正常數(shù)，若無窮正項等比數(shù)列{an}滿足：A

例1 (2016年江蘇省競賽初賽題)已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項依次構(gòu)成公差為d1的等差數(shù)列，偶數(shù)項依次構(gòu)成公差為d2的等差數(shù)列，且對任意n∈N*，都有an

解析依題意，a2n-1=a1+(n-1)d1,a2n=a2+(n-1)d2,a2n+1=a1+nd1,

由a2n-1

根據(jù)結(jié)論1可知，等差數(shù)列{(d2-d1)n}為常數(shù)列，所以d2=d1，

例2 (2018年南京高三三模試題)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=1，對任意正整數(shù)n，有an

解析設(shè)an=1+(n-1)d,d>0，代入an

(2d2-d)n>d2-3d+1，且(d-2d2)n>2d2-d-1均對任意正整數(shù)n恒成立，

例3 (2013年連云港高三期末試題)已知數(shù)列{an}的通項公式an=a(n-1)，問是否存在實數(shù)a、b，使得對于任意正整數(shù)p，數(shù)列{an}中滿足an+b≤p的最大項恰為第3p-2項？若存在，求出a、b的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解析因為an=a(n-1)，由an+b≤p得a(n-1)+b≤p，

若a=0，不合題意，舍去；

因為{an}中滿足an+b≤p的最大項恰為第3p-2項，

根據(jù)結(jié)論2可知，數(shù)列{cn}是常數(shù)列，其公比q的值為1.

解析(1)證明過程略；

又由于

根據(jù)結(jié)論2可知，{an+1}是常數(shù)列，從而等比數(shù)列{an}是常數(shù)列，各項為a1，