創(chuàng)造性挖掘試題 針對性提升素養(yǎng)
——關于一道高考模擬解析幾何題的評講

廣東省東莞市麻涌中學 (郵編：523000)

1 引言

目前，教學一線的高三復習課仍然以老套路“教師選取奇、巧、新、特等題目+教師包辦例題解答，不暴露解題思維+學生機械模仿重復訓練+教師總結解題技巧”的教學模式為主，這樣不但禁錮了學生的思維，對培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)鮮有作用，而且加重了學生的負擔，影響學習積極性和自信心[1].2019年佛山高三一模理科數(shù)學解析幾何題是對2018年全國I卷理科數(shù)學第19題改編而來，是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的絕佳載體.該試題的講評以問題為核心，探究為主線，學生自主探究與合作探究相結合，充分調動各方面的積極因素參與課堂教學，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng).

2 試題評講

2.1 試題背景分析—落實數(shù)據(jù)分析

(1)若x1=0，求△OAB的面積；

(2)在x軸上是否存在定點T，使直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形.

本題考查橢圓的標準方程及簡單性質，直線與橢圓的位置關系，三角形面積，直線關于x軸對稱等，考查學生的推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合，化歸轉化思想，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析.試題的重點是題設幾何條件的代數(shù)轉化，難點是選擇恰當?shù)幕瘹w方式優(yōu)化運算.第(1)問滿分5分，班級平均為4.2分，第(2)問滿分7分，班級平均為1.6分.因此本題著重講評第(2)問.

問題1同學們要善于觀察，認真審題，你從這道題中獲取了哪些信息？解題的突破口在哪里？

學生獨立思考處理信息，小組同伴相互交流，教師巡堂、觀察，適時點撥.

設計意圖數(shù)學解答題，尤其是壓軸題有大量的數(shù)據(jù)，信息量很多，并且數(shù)據(jù)間聯(lián)系盤根錯節(jié)，教師必須引導學生通過數(shù)形結合，合理猜想，嚴謹推理，對獲取的信息進行有效辨析、重組，才能形成解題思路的雛形.學生能否高效正確地解答試題，取決于學生分析試題時是否將數(shù)據(jù)分析的數(shù)學素養(yǎng)落實到位.本題的核心結論是“TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形”，明顯可見題目的問法“隱藏”了多種信息，譬如∠OTA與∠OTB互補，TA與TB的傾斜角互補，kTA+kTB=0等，若能高效對題目設問的辨識，轉化，重組為kTA+kTB=0，自然而然就有許多可供選擇的解題路徑.而如何優(yōu)化解題將是數(shù)學運算的主題了.

2.2 試題解法選取—優(yōu)化數(shù)學運算

下面通過投影第一小組學生1的解答來點評.

(2)由題知，直線l的斜率k存在，且k≠0，設直線l方程為y=kx-4k.聯(lián)立

故在x軸上存在定點T(1,0)，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形.

師：哇，第一小組的解答太完美了，簡直就是標準答案，太棒啦，讓我們一起為第一小組喝彩！

此時班級響起了雷鳴般的掌聲……

師：其他小組還有更好的方法嗎？

即刻第二小組的學生2站在來分享小組的成果.

生1：我們小組的解答第(2)問的方法本質與第一小組的是一樣的，只是我們根據(jù)以往過x軸上定點(t,0)的直線設法為x=my+t來優(yōu)化運算.

學生2投影第二小組的解答過程.

要使直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形，則kTA+kTB=0，

故在x軸上存在定點T(1,0)，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形.

師：你們都很棒，都做得很漂亮，老師佩服你們，為你們感到驕傲！這兩個小組所用的方法都是破解此類解析幾何題的通性通法：一是“圖形”引路，一般需畫出大致圖形，把已知條件翻譯到圖形中，利用直線方程的點斜式，即可迅速表示出直線方程；二是“轉化”橋梁，即會把求的“在x軸上是否存在定點T，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形”，根據(jù)圖形特征，轉化為斜率之間的關系，再把直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關系，以及斜率公式即可求出定點.但在代數(shù)運算中，第二小組設的直線方程使得計算簡化了好多！

設計意圖數(shù)學運算是對試題中的數(shù)據(jù)分析，形成正確的解題思路后，選擇最優(yōu)化的運算方法，求得運算結果.在代數(shù)運算中需要選擇恰當?shù)拇鷶?shù)形式，即需考慮直線的方程式對于優(yōu)化運算的價值.本題中方程形式1：y=k(x-4)(k≠0)，方程形式2：x=my+4，將直線l的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理解答，比較上述兩種方程形式，第二種韋達定理表達要簡潔許多，同時目標式也很簡潔，因而運算過程也簡潔許多.從而促進學生數(shù)學運算核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2.3 試題的來源—巧借數(shù)學抽象

試題2(2018年全國I卷理科數(shù)學第19題)設橢圓

的右焦點F，過F的直線l與C交于A、B兩點，點M的坐標為(2,0).

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明: ∠OMA=∠OMB.

問題2請同學們思考試題2，并比較試題1與試題2有什么聯(lián)系與區(qū)別？解題思想方法類似嗎？聯(lián)系高考題，比較兩題的異同，能讓我們更好地把握命題規(guī)律.

設計意圖試題1、試題2雖呈現(xiàn)的方式不同，但考查的核心知識點是一致的，仍然考查直線與圓錐曲線有兩個交點的位置關系，都是“方程”與“直線傾斜角互補”問題，試題1是把試題2穿上了一層是否存在型的外衣，另外兩題直線過的定點不同.在強調高考改革的今天，通過改編、創(chuàng)新等手段賦予高考典型試題新的生命，這成為高考命題的一種新走向，因此在高考備考中，要注意對高考真題考查核心知識和思想方法進行深度挖掘，把握其本質，掌握其規(guī)律，規(guī)范其步驟，做到“胸中有高考真題”，那么就能做到以不變應萬變.讓學生解答試題2并深度比較兩題的異同，激發(fā)學生的探究樂趣，為進一步深挖試題的本質，培養(yǎng)學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)做好鋪墊.

教師巡堂，適時對各小組點撥引導，幾分鐘后，第三小組學生3舉手分享小組合作探究成果.

師：哇，第三小組同學太棒了，你的想法太富有想象力了，極具創(chuàng)造性，讓我們再次為他們喝彩！同學們在學習過程中就是要敢于猜想，善于猜想，這樣才能有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)造！但猜想僅僅是建立在直觀想象與歸納的基礎上的，只有嚴密地推邏輯推理才能獲得最本質、最核心的結論.

此時，學生心中已燃起了探究的火花，于是教師拋出了問題3.

各小組根據(jù)解答試題1、2的通性通法開始緊張地小組合作探究，過了5分鐘，第四小組通過嚴密的邏輯推理得出了結論1，并向全班同學投影證明過程并解釋.

所以kAQ+kBQ=0，即∠OQA=∠OQB.

筆者大力表揚了第四小組的學生后，乘勢而上，給出了問題4.

問題4結論1逆過來成立嗎？請同學們繼續(xù)思考、探究.

學生小組合作探究，教師巡視，也參與各小組的討論，很快師生便共同得出了結論2并給出了證明.

所以直線l恒過(t,0).

設計意圖學生在問題2中比較試題1、2異同，教師鼓勵學生根據(jù)橢圓的基本量與定點之間的關系合理猜想，培養(yǎng)了學生直觀想象、數(shù)據(jù)處理的核心素養(yǎng)，然后給出了問題3、4，引導學生對一般點的探究，抽象出更一般的結論，目的是培養(yǎng)學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象，邏輯推理等核心素養(yǎng).

課堂進行到此時，試題1、2得到了一定程度的挖掘，但學生的探究激情已被點燃，意猶未盡，如果此時停止對試題本質的進一步挖掘，實屬可惜，于是教師繼續(xù)引導學生探究，給出了問題5.

學生通過探究發(fā)現(xiàn)了結論3、4.

由橢圓類比到雙曲線、拋物線，教師繼續(xù)鼓勵學生深度探究.

問題6根據(jù)我們已有的經(jīng)驗，橢圓、雙曲線、拋物線的性質一般是統(tǒng)一優(yōu)美的，剛才我們探究得出了橢圓的4個優(yōu)美的一般性結論，在雙曲線與拋物線中是否也存在呢？請同學繼續(xù)展開探究.

學生小組合作探究，教師適時點撥，發(fā)現(xiàn)了如下結論.

結論9拋物線C:y2=2px(其中p>0)，若點P(t,0)，點Q(-t,0)，過點P的直線l與拋物線相交于A、B，則 ∠OQA=∠OQB.

結論10拋物線C:y2=2px(其中p>0)，點Q(-t,0)，直線l與拋物線相交于A、B，且滿足∠OQA與∠OQB相等,l不垂直于x軸，則直線l恒過定點(t,0).

結論11拋物線C:y2=2px(其中p>0)，若點P(t,0)，點Q(-t,0)，過點Q的直線與拋物線相交于A、B，則∠OPA與∠OPB互補.

結論12拋物線C:y2=2px(其中p>0)，點P(t,0)，直線l與拋物線相交于A、B，且滿足∠OPA與∠OPB互補,l不垂直于x軸，則直線l恒過定點(-t,0).

設計意圖經(jīng)過師生共同探究得到橢圓的一般結論后，教師乘勢鼓勵學生類比探究雙曲線、拋物線的一般結論.自然的想法，合理、恰當?shù)闹R遷移，學生們的探究精神在課堂上得到淋漓盡致的體現(xiàn)，培養(yǎng)了學生類比推理的能力，發(fā)展了學生邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

此時課堂探究即將進入尾聲，同學們沉浸在探究成功及發(fā)現(xiàn)數(shù)學美的喜悅中……教師鼓勵學生課后繼續(xù)探究，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).

請大家選做課后習題中的其中一道：

(1)當k=0時，分別求曲線C在點M和N處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

2.(2013年陜西高考理科數(shù)學第20題)設拋物線C:y2=8x，若點B(-1,0)，設不垂直于x軸的直線l與C有兩個不同交點P、Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明l過定點(1,0)，反之也成立.

(1)求C的方程；

(2)x軸上是否存在點Q，使得k變化時，總有∠AQO=∠BQO，若存在請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.

設計意圖因材施教，彈性作業(yè)，鞏固所學，培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng).

3 評后感受

南京大學段康產(chǎn)教授說：“研究高考真題，典型模擬題，才能把握命題規(guī)律，它們就是最好的復習資料.”認真研究歷年高考真題，典型模擬題，充分挖掘，不難找出命題軌跡，從而把握難度[2].教師在講解高考真題或典型模擬題時不要一味地替學生讀題，讀完之后馬上提問“該題是什么題型，用什么方法？”，這其實是造成學生不良解題習慣的根本原因.教師應當引導學生關注“本題所涉及的基本知識”，“每個條件得到什么結論？”，“求解的目標需要哪些條件？”，“本題與我們頭腦里的哪些解題經(jīng)驗相關”，從而促進學生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等素養(yǎng)的發(fā)展.課堂上應給予學生充分的動腦、動手、動口的時間和空間，學生合作探究，教師巡視、觀察，適時給予點撥，讓學生上臺交流解題思路，相互評價，然后教師點評，適時給予點晴之筆，追問“解決該類題目的通性通法是什么？”，“能否推廣試題的一般結論”，引導學生深度挖掘試題隱藏的知識本質，不斷地讓學生把“觸類旁通”，“舉一反三”放在心上，實踐于課堂，從而促進學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算等數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展.也正如陜西師大羅增儒教授所說：要讓學生通過有限的典型考題的學習去領悟無限道題的數(shù)學機智.數(shù)學解題重在一個悟字，從一個題拓展為一類題，舉一反三才能觸類旁通，通者方能渡過題海，登上勝利的彼岸[3].