結(jié)合數(shù)學(xué)建模的微積分課堂教學(xué)改革與實(shí)踐分析

時(shí)彬彬 李仁所 王學(xué)蕾 周忠國 孔德洲

摘要：微積分是高等教育中難度較高的一門公共課程。上好微積分第一堂課，從講數(shù)學(xué)建模案例入手，以此為橋梁，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)應(yīng)用之廣泛，認(rèn)識到學(xué)好數(shù)學(xué)的重要性，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。利用經(jīng)典模型，分析微積分知識體系，并將課上教學(xué)與信息化輔助工具相結(jié)合，進(jìn)一步幫助學(xué)生掌握知識脈絡(luò)，抓住知識精髓并融會貫通。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；微積分；教學(xué)改革；教學(xué)實(shí)踐

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2019）15-0141-02

以創(chuàng)新教育為前提，以學(xué)生為中心，順應(yīng)新時(shí)代現(xiàn)代化發(fā)展的需求，是高等教育改革的根本任務(wù)。以此為前提貫徹新的教學(xué)理念，不斷涌現(xiàn)出各種新型教學(xué)模式[1]?，F(xiàn)今的社會大環(huán)境“實(shí)用主義”與“利益至上”大行其道，青年人“崇拜各種明星，不愿獻(xiàn)身科學(xué)， 不再以學(xué)術(shù)研究為榮，聰明拔尖的學(xué)生都去學(xué)金融、法律等賺錢的專業(yè)。[2]”而作為高校管理者和高等教育工作者，需清醒認(rèn)識到，大學(xué)的發(fā)展離不開學(xué)術(shù)這個(gè)根本，大學(xué)生更不能脫離學(xué)習(xí)這個(gè)核心。而科研創(chuàng)新能力，與數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展和數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量緊密相連。依托高等教育，使學(xué)生打下夯實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，建立較高水平的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，未來無論從事科研或某項(xiàng)具體工作，成功的機(jī)率將大大加強(qiáng)。

微積分作為高等數(shù)學(xué)主要組成部分，在傳統(tǒng)學(xué)科、新興學(xué)科以及交叉學(xué)科中起到了重要作用。而將實(shí)踐中帶有相同性質(zhì)的問題以數(shù)據(jù)化準(zhǔn)確描述，進(jìn)一步上升到理論，即抽象為數(shù)學(xué)模型。通過理論分析，進(jìn)而給出實(shí)踐指導(dǎo)，目的是構(gòu)建解決實(shí)際問題的橋梁?？梢?，數(shù)學(xué)建模揭示了事物發(fā)展的規(guī)律，只要需用數(shù)據(jù)說明的學(xué)科，就離不開數(shù)學(xué)建模。

數(shù)學(xué)建模促進(jìn)了導(dǎo)向性教育的開展。即使對于幾乎不親自做建模的學(xué)生，也將不可避免面對其他人的模型，比如撰寫畢業(yè)論文。數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)理論的實(shí)際應(yīng)用，注重隊(duì)員間的協(xié)同合作，鼓勵(lì)從“本源”入手理解問題，從而激發(fā)學(xué)生自主研究問題的興趣與積極性，拓展探索與研究的空間，尋找新的思想與方法。同時(shí)，數(shù)學(xué)建模并不過于追求方法的復(fù)雜性，反而更推薦以“合適”為前提的創(chuàng)新性。從這幾點(diǎn)可見，如果學(xué)生能具有一定的數(shù)學(xué)建模思想，掌握一定的建模方法，則認(rèn)為學(xué)生已培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維方式，已具備良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與素養(yǎng)。

通過近幾年的微積分教學(xué)工作，結(jié)合數(shù)學(xué)建模的課堂教學(xué)改革，實(shí)踐檢驗(yàn)得以下幾點(diǎn)認(rèn)識。

一、上好微積分第一堂課，將數(shù)學(xué)建模合理融入其中

首先，從開始抓住學(xué)生的興趣點(diǎn)，上好第一堂數(shù)學(xué)課至關(guān)重要。老師講好第一堂課，整部課程即開啟良好開端，之后的教學(xué)計(jì)劃才能流暢執(zhí)行。同時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性調(diào)動(dòng)起來，師生互動(dòng)得以加強(qiáng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和想法將更多地反饋回教師，有利于教師作深入思考，隨時(shí)調(diào)整教學(xué)手法，任課教師也就逐步樹立起個(gè)人獨(dú)特的教學(xué)風(fēng)格。

其次，第一堂微積課程教師一般準(zhǔn)備的內(nèi)容是介紹微積分的發(fā)展史，可以抽出一節(jié)課時(shí)，講一些與初等數(shù)學(xué)有關(guān)的數(shù)據(jù)分析模型，或者簡單優(yōu)化模型。比如：“解讀現(xiàn)今流行的選秀節(jié)目總冠軍是如何產(chǎn)生的?！薄俺邪艘粋€(gè)魚塘，怎樣才能有更好的效益？”“某地區(qū)的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）與什么有關(guān)？”等。需注意，將數(shù)學(xué)建模思想融入微積分的教學(xué)，其意義在于建模所選題目能夠幫助學(xué)生更好地理解、掌握微積分的重要概念、思想和方法，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生適當(dāng)對建模的思路與步驟做初步嘗試與實(shí)踐。因此，模型不能過多，不應(yīng)太過復(fù)雜，一切都以服務(wù)于微積分教學(xué)為前提，不能主次不分。

另外，一堂課畢竟時(shí)間有限，教師應(yīng)注意后續(xù)系列措施，在教學(xué)改革中尤顯關(guān)鍵。比如，第一堂課以“承包了一個(gè)魚塘，怎樣才能有更好的效益？”為例，從離散型模型過渡到連續(xù)型模型，不僅銜接初等數(shù)學(xué)知識，而且明確提醒學(xué)生，作為定量地研究變量變化的微積分學(xué)，離散和連續(xù)的概念不要人為去割裂。在講到連續(xù)定義時(shí)，可將連續(xù)模型和為什么要學(xué)好微積分相結(jié)合。在講到導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，許多學(xué)生反映中學(xué)已學(xué)習(xí)過此概念，教師可在此處強(qiáng)調(diào)與中學(xué)知識體系異同，作為開講前的伏筆。特別是講到導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時(shí)，引入一個(gè)帶有“相關(guān)變化率”的數(shù)學(xué)模型，承前啟后，加深對導(dǎo)數(shù)概念的認(rèn)知。

二、結(jié)合數(shù)學(xué)建模，微積分教學(xué)改革與創(chuàng)新形式更加靈活多樣

如今，應(yīng)用多媒體教學(xué)與使用板書相結(jié)合是微積分教學(xué)常用模式[3]。結(jié)合數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)，可以將課上教學(xué)與信息化輔助工具相結(jié)合，實(shí)踐發(fā)現(xiàn)教學(xué)效果會更好；在授課方式方面，重點(diǎn)難點(diǎn)精講與其他非重點(diǎn)蜻蜓點(diǎn)水式教學(xué)相結(jié)合，將啟發(fā)式教學(xué)和適度灌輸相結(jié)合，張弛有度，使學(xué)生在授課過程中聽與思并進(jìn)；在應(yīng)用舉例方面，選擇一個(gè)既簡單又經(jīng)典的建模實(shí)例，在知識體系中反復(fù)使用，分析多個(gè)概念，解決多個(gè)問題，這樣在教學(xué)中更容易將知識進(jìn)行橫向、縱向的雙重對比，加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解；在軟件應(yīng)用方面，適當(dāng)解讀算法的設(shè)計(jì)思路，并與常用數(shù)學(xué)軟件相結(jié)合，可以闡述數(shù)學(xué)軟件的優(yōu)點(diǎn)與劣勢，便于學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作。而在許多創(chuàng)新實(shí)踐競賽或課程設(shè)計(jì)中，數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用已非常廣泛。

現(xiàn)代化終端軟件的開發(fā)與應(yīng)用已涉及生產(chǎn)生活的方方面面，作為信息化的一代更加普及。通過課上或課下、電腦或手機(jī)終端軟件的應(yīng)用，教師可發(fā)布隨堂測驗(yàn)、問卷調(diào)查或小課題形式，既能作為隨堂考勤的輔助工具，又能使學(xué)生多思考、多研究、多動(dòng)手、多提問、多討論、多交流。通過終端軟件的應(yīng)用，可隨時(shí)觀察學(xué)生是否注意到數(shù)學(xué)建模的四個(gè)關(guān)鍵步驟：合理假設(shè)、模型建立、模型求解和檢驗(yàn)論證[4]，而這四個(gè)步驟，也正映射數(shù)學(xué)對問題的觀察、思考？分析和解決的經(jīng)典分析模式。

三、微積分與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合的教學(xué)改革，需注意幾點(diǎn)時(shí)效性

作為教學(xué)改革的重點(diǎn)，教師需注意所用數(shù)學(xué)模型的時(shí)效性。比如，應(yīng)用“預(yù)測”和“控制”所建模型系統(tǒng)，如果結(jié)合近期發(fā)生的新聞，如“實(shí)事政治”“社會經(jīng)濟(jì)”或“體育賽事”等，更容易引起學(xué)生的共鳴，提高聽課興趣。另外，教師還需注意教學(xué)輔助工具應(yīng)用中的時(shí)效性。比如，隨堂測驗(yàn)等輔助活動(dòng)提倡在規(guī)定時(shí)間段內(nèi)高質(zhì)量的互動(dòng)，檢驗(yàn)的時(shí)效性是關(guān)鍵。對能夠按時(shí)提交測驗(yàn)或認(rèn)真完成小課題的學(xué)生，教師可用提高平時(shí)成績的方法提高學(xué)生的積極性。而除上述工作之余，教師盡量真實(shí)詳盡地記錄教學(xué)效果與學(xué)生的反應(yīng)情況，之后在課題組討論會中與其他教師一起探討，共同研究問題所在，從而提出合理有效的改進(jìn)方法。

總之，通過近幾年教學(xué)實(shí)踐，將數(shù)學(xué)建模引入微積分教學(xué)，做到兩者融會貫通、相得益彰，不僅使學(xué)生掌握知識的方式變得靈活多樣，而且在學(xué)習(xí)過程中逐步意識到，微積分作為人類智慧的集大成者，其應(yīng)用范圍正隨著時(shí)代的發(fā)展而不斷擴(kuò)大，對其學(xué)習(xí)積極性有較大的提高。從學(xué)生的平時(shí)表現(xiàn)及期末成績兩方面綜合分析發(fā)現(xiàn)，教學(xué)效果比較理想。

參考文獻(xiàn)：

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[2]魯鳴.正在丟失的硬能力[J].文苑，2014，（2）：57.

[3]秦宣云，李軍英.融入啟發(fā)式、探究式、討論式、參與式教學(xué)方法的高等數(shù)學(xué)課程課堂教學(xué)改革的研究與實(shí)踐[J].大學(xué)教育，2015，（5）：95-96.

[4]姜啟源.數(shù)學(xué)模型（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2018，（5）.