變常態(tài)之法 收出奇之效

王炎萍 錢科英

【摘要】小學(xué)生在理解知識(shí)和解決問(wèn)題時(shí)，往往習(xí)慣于注重局部而缺乏整體思考，從而影響了學(xué)生思維的廣度和深度，這就需要教師在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，突破定式思維，適當(dāng)改變，及時(shí)引導(dǎo)，幫助學(xué)生感悟和接受整體思想，從而達(dá)到觸類旁通、舉一反三的功效。在尊重教材的基礎(chǔ)上，從改變習(xí)題條件、改變教學(xué)定式、改變思維角度出發(fā)，滲透整體分析意識(shí)，內(nèi)化策略思想方法，提升宏觀理解能力，以期學(xué)生獲得最大發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】思維定式 數(shù)學(xué)思想 整體把握 課堂轉(zhuǎn)變

一、改變習(xí)題條件，滲透整體分析意識(shí)

從問(wèn)題的整體出發(fā)，克服思維定式，不把注意力僅僅停留在細(xì)枝末節(jié)上，而是把某些圖形或式子看成一個(gè)整體，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理。

練習(xí)題：如圖，大正方形的邊長(zhǎng)是10厘米，求圓的面積。

雖然班級(jí)很少有人做錯(cuò)，但是在教學(xué)時(shí)，筆者稍稍做了改變：

（1）大正方形的邊長(zhǎng)是10厘米，求圓里小正方形的面積。

（2）大正方形的面積是32平方厘米，求這個(gè)圓的面積。

第一個(gè)問(wèn)題學(xué)生通過(guò)連接小正方形的四個(gè)端點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)小正方形的面積等于大正方形面積的一半，讓學(xué)生初步感受整體思考問(wèn)題的價(jià)值。在解決第二個(gè)問(wèn)題時(shí)學(xué)生有點(diǎn)束手無(wú)策，那是因?yàn)殚L(zhǎng)期求圓的面積時(shí)，習(xí)慣要先知道半徑才能算，這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生如何用含有半徑的式子表示圖中小正方形的面積，發(fā)現(xiàn)可以用r×r表示，得到了r×r=8平方厘米，這樣圓的面積S=π×8=25.12平方厘米。引導(dǎo)學(xué)生反思：已知半徑只是求圓面積的一種情況，運(yùn)用整體思想，圓的面積是以半徑為邊長(zhǎng)的正方形面積的π倍。

同樣，在教學(xué)“已知棱長(zhǎng)為6厘米的正方體，把它削成一個(gè)最大的圓錐，這個(gè)圓錐的體積是多少立方厘米”時(shí)，筆者將其條件改編形成例題：“正方體的體積是360立方厘米，把它削成一個(gè)最大的圓錐，這個(gè)圓錐的體積是多少立方厘米？”圓錐的底面直徑和高正好是正方體的棱長(zhǎng)，但棱長(zhǎng)無(wú)法求得。那么，圓錐的體積與正方體的體積有什么關(guān)系呢？有了上一題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，很多學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果正方體的棱長(zhǎng)是a，那么它的體積就是a3，而圓錐的體積是 [1] [3]×π×[a] [2]×[a] [2]×a=[1] [12]πa3。因此，圓錐的體積=[1] [12]×3.14×360=94.2立方厘米。

通過(guò)改變例題條件中的一個(gè)數(shù)據(jù)，打破學(xué)生原來(lái)思維分析的定式，讓學(xué)生能夠體會(huì)整體分析的優(yōu)勢(shì)，形成了舉一反三的思維模式，同時(shí)，多樣化方法的分析也讓課堂練習(xí)豐盈厚實(shí)起來(lái)，更好地體現(xiàn)習(xí)題教學(xué)的價(jià)值和課堂效益的提升。這一切都需要教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況課前精心構(gòu)思，課上精彩演繹。

二、改變教學(xué)定式，內(nèi)化策略思想方法

小學(xué)數(shù)學(xué)教材體系貫穿著兩條線索：一條數(shù)學(xué)知識(shí)（這是明線），一條是數(shù)學(xué)思想方法（這是暗線）。由于教材呈現(xiàn)形式的局限，往往難以明確地展現(xiàn)內(nèi)在的思想和方法，所以教師要深入分析教材，明確概念，把握例題的本質(zhì)是什么，從怎樣的材料出發(fā)，經(jīng)過(guò)怎樣的過(guò)程概括出來(lái)，最終要形成怎樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，領(lǐng)悟怎樣的數(shù)學(xué)思想方法。

如：“4支球隊(duì)，每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)，一共要比賽多少場(chǎng)？”因?yàn)閯倓倢W(xué)過(guò)列舉策略，大部分學(xué)生通過(guò)列表或畫(huà)圖給出的列式是“3+2+1”，這時(shí)有一個(gè)學(xué)生舉手發(fā)言，給出“1+2+3”，看上去一樣，但我還是想知道他的想法，于是有了下面的教學(xué)片段：

生：我先想兩支球隊(duì)，比賽一場(chǎng)，三支球隊(duì)就是比賽3場(chǎng)，也就是“1+2”，這樣四支球隊(duì)比賽6場(chǎng)也就是“1+2+3”。

師：是的，先研究簡(jiǎn)單的情況，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后就能解決復(fù)雜的問(wèn)題。

師：那么和列舉的方法有什么不同呢？

生：列舉時(shí)首先要確定第一個(gè)數(shù)是幾。

師：比如5支球隊(duì)？

生：首先是第一支球隊(duì)和其他四支球隊(duì)各比賽一場(chǎng)就是4場(chǎng)，然后分別是3場(chǎng)、2場(chǎng)、1場(chǎng)，最后結(jié)果就是4+3+2+1。

師：那找規(guī)律時(shí)要注意什么呢？

生：列式的最后一個(gè)數(shù)字比足球隊(duì)總數(shù)少1。

師：看來(lái)，你們已經(jīng)掌握這兩種方法的精髓，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)“50支球隊(duì)”應(yīng)該怎樣列式？

生：列舉法：49+48+47+…+1，找規(guī)律：1+2+3+…+49。

師：這兩種方法除了適用“足球比賽”這類問(wèn)題，還能解決哪些問(wèn)題呢？

生1：比如平面上有10個(gè)點(diǎn)，任意3個(gè)點(diǎn)不在一條直線上，過(guò)其中兩點(diǎn)畫(huà)一條直線，最多可以畫(huà)多少條直線。

生2：班上50個(gè)人，每?jī)蓚€(gè)人握一次手，一共要以握多少次？

生3：4個(gè)人，每?jī)蓚€(gè)人相互寄一張賀卡，一共要寄多少?gòu)垼?/p>

生4：不對(duì)，“寄賀卡”是在原來(lái)“比賽”或“握手”的基礎(chǔ)上乘2，也就是（3+2+1）×2=12（張）。

生5：我覺(jué)得不要那么麻煩，寄賀卡時(shí)每個(gè)人寄3張，共4個(gè)人也就是3×4=12（張）。

師：你們說(shuō)得真好，“寄賀卡”的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成“握手”問(wèn)題然后乘2，當(dāng)然也可以整體考慮每個(gè)人寄了幾張，有幾個(gè)人，求一共寄多少?gòu)埦褪怯贸朔?。還有想表達(dá)想法的嗎？

生：“握手”的問(wèn)題同樣也可以轉(zhuǎn)化成“寄賀卡”的問(wèn)題再除以2。

師：你有什么想法嗎？

生：我可以把剛才50支球隊(duì)“比賽”的問(wèn)題看成是“寄賀卡”，每個(gè)人寄49張，一共50個(gè)人，也就是49×50，因?yàn)樗皇羌馁R卡的問(wèn)題，有重復(fù)，最后還要除以2，最后的結(jié)果就是49×50÷2=1225（場(chǎng)）。（全班鼓掌）

師：看來(lái)，我們從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后可以去解決復(fù)雜的問(wèn)題，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)只是結(jié)果的教學(xué)，更應(yīng)注重過(guò)程的教學(xué)，以學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，善于捕捉課堂中別樣的聲音，探尋學(xué)生這些聲音中的深層含義和思維方式。關(guān)注教學(xué)設(shè)計(jì)之外的課堂即時(shí)思考，并將之放大、挖深，與常規(guī)方法深入比較，結(jié)合具體內(nèi)容讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中“經(jīng)歷過(guò)程”，運(yùn)用策略的同時(shí)感悟數(shù)學(xué)思想。

三、改變思維角度，提升宏觀理解能力

教學(xué)“復(fù)習(xí)平面圖形的周長(zhǎng)和公式”時(shí)，學(xué)生雖對(duì)平面圖形的面積計(jì)算公式記得很牢靠，公式的推導(dǎo)也大致能掌握，這樣的復(fù)習(xí)課若是將新課重新教學(xué)一遍，教師教得無(wú)味，學(xué)生學(xué)得也枯燥。這時(shí)不妨換個(gè)角度，著眼整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域，引入“軌跡”和“積分”思想，延伸原有知識(shí)的深度和廣度，用運(yùn)動(dòng)的眼光重新“審視”平面圖形的面積計(jì)算公式，提升思維品質(zhì)，整體把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。

1.引導(dǎo)學(xué)生感悟長(zhǎng)方形的形成過(guò)程

師生談話：剛剛，我們用靜止的眼光看平面圖形，如果用運(yùn)動(dòng)的眼光看一個(gè)長(zhǎng)方形，它是由一條運(yùn)動(dòng)的線段，從AB沿垂直于這條線段的方向平移到CD，留下的軌跡。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可以看出，這個(gè)長(zhǎng)方形的大小（面積）由兩個(gè)因素決定：第一是運(yùn)動(dòng)線段的長(zhǎng)度也就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，第二是線段運(yùn)動(dòng)的距離也就是長(zhǎng)方形的寬，兩者的乘積就是長(zhǎng)方形的面積：S=ab。

2.小組討論研究平行四邊形的形成過(guò)程

討論發(fā)現(xiàn)，平行四邊形運(yùn)動(dòng)的距離不是另一邊的長(zhǎng)度，而是平移前后兩條線段間的垂直距離也就是平行四邊形的高，所以它的面積S=ah。

3.全班交流梯形、三角形的形成過(guò)程

探究發(fā)現(xiàn)，與長(zhǎng)方形和平行四邊形不同的是，形成梯形的運(yùn)動(dòng)線段其長(zhǎng)度在連續(xù)、均勻地變化（均勻變化指的是線段上升距離一樣時(shí)線段變化的長(zhǎng)度也相同，類似于等差數(shù)列的變化規(guī)律）。這時(shí)運(yùn)動(dòng)線段的長(zhǎng)度可以用變化的平均值[a+b] [2]代替。這樣就得到了梯形的面積計(jì)算公式S=[a+b] [2]×h=[1] [2]（a+b）h。

三角形則是線段繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，且長(zhǎng)度變?yōu)?的特殊情況，這樣三角形的面積S=[a+0] [2]×h=[1] [2]ah。

4.教師引導(dǎo)感悟圓的形成過(guò)程

細(xì)心感悟，圓是由一條曲線也就是圓周線，由外向里垂直運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，其長(zhǎng)度縮短為一個(gè)點(diǎn)O（圓心）時(shí)停止了運(yùn)動(dòng)。因?yàn)閳A周長(zhǎng)C=2πr，曲線的長(zhǎng)度均勻地減少，所以平均值可以用（2πr+0）÷2來(lái)代替，這樣圓的面積S=[C+0] [2]×r=πr2。在這個(gè)過(guò)程中，其實(shí)我們還能得到環(huán)形的面積公式S=[C1+C2] [2]×（r1-r2）。

換個(gè)角度，圓還可以看作是由半徑旋轉(zhuǎn)一周得到的，運(yùn)動(dòng)線段的長(zhǎng)度r從頭到尾沒(méi)有變化，而半徑上每一個(gè)點(diǎn)的垂直運(yùn)動(dòng)距離發(fā)生著變化，且是均勻地減少，如圓心位置的運(yùn)動(dòng)距離就是0，端點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)距離就是2πr，所以平均值用（2πr+0）÷2來(lái)代替，這樣圓的面積S=r×[C+0] [2]=πr2。

這樣平面圖形的面積計(jì)算公式就可以用S=a×b（a表示運(yùn)動(dòng)線段的平均值，b表示運(yùn)動(dòng)中垂直距離的平均值）。

從運(yùn)動(dòng)角度了解“線動(dòng)成面”，整體把握平面圖形的形成及面積的推導(dǎo)過(guò)程，為高學(xué)段的學(xué)習(xí)奠定了思想基礎(chǔ)。以上四個(gè)過(guò)程的學(xué)習(xí)，教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法高度整合，改變了學(xué)生的思維角度，讓學(xué)生嘗試著從現(xiàn)有的割裂的知識(shí)點(diǎn)跳出來(lái)，站在更高的層次來(lái)反觀問(wèn)題，提升了他們從宏觀上來(lái)分析一類問(wèn)題的能力，這對(duì)于數(shù)學(xué)的更高層次的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升將起到影響深遠(yuǎn)的作用。

上述三點(diǎn)充分說(shuō)明，教師要把眼光從長(zhǎng)期“定式”的教學(xué)模式中抽離出來(lái)，盡可能地將知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，發(fā)掘知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，通過(guò)長(zhǎng)期的誘與思、導(dǎo)與學(xué)，發(fā)現(xiàn)新的迷人的通道或風(fēng)景，讓學(xué)生真正喜歡數(shù)學(xué)，肯鉆研數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真的很好玩，最終達(dá)到最佳的課堂學(xué)習(xí)效果。